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专题01 一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一般形式： ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
（3）【注意】
①只含有一个未知数；
②所含未知数的最高次数是2；
③整式方程。
（二）方程解的应用
（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
（2）方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想）
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中，一定是关于x的一元二次方程有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．熟练掌握定义，是解题的关键．一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一进行判断即可．
【详解】（1），不是关于x的一元二次方程；
（2），一定是关于x的一元二次方程；
（3），
∵
∴，不是关于x的一元二次方程；
（4），
∵，
∴，一定是关于x的一元二次方程；
（5），不是关于x的一元二次方程；
（6），
当时，方程为，不是关于x的一元二次方程．
∴有2个方程一定是关于x的一元二次方程．
故选：B．
【变式1】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，求出即可，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义得出k 1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k 1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝ 1，
故答案为： 1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
【变式3】下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ．
【答案】①③⑤．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程，
故答案为：①③⑤．
【点睛】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
考点2：一元二次方程——求字母
典例2：若关于的方程是一元二次方程，则的值不能为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，据此即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
【变式1】已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．4或
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得．
故选：A．
【变式2】方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，解得，
故答案为：．
【变式3】若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，
∴，，
解得：，
故答案为：．
考点3：一元二次方程——求取值范围
典例3：若方程是关于的一元二次方程，则的范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0的整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的二次项系数不能为0．
【变式1】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式2】已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】直接利用一元二次方程的定义与二次根式有意义条件分析即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义与二次根式有意义条件是解题关键．
【变式3】（1）若(m﹣2)x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝ ．
【答案】 m≠2 1
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可进行求解；
（2）把x＝0代入方程即可求解．
【详解】解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，解得m≠2．
故答案为：m≠2；
（2）将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝1或m＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义及其它的解是解题的关键，注意二次项系数不能为0．
考点4：一元二次方程一般式
典例4：关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．
根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．
【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，，
故选：A．
【变式1】将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】∵方程化成一般形式是，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、，
故选：．
【变式2】方程化为一般形式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项、去括号、合并同类项即可求解，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】解：移项得，，
去括号得，，
合并同类项得，，
∴方程化为一般形式为，
故答案为：．
【变式3】已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
根据该方程各项系数之和是，列出方程求出m的值即可．
【详解】解：∵方程的各项系数之和是，
∴，
解得：，
故答案为：．
考点5：一元二次方程解的应用——求字母
典例5：若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把代入方程得，然后解关于b的方程即可．
【详解】解：把代入一元二次方程，得
，
解得：．
故选：C．
【变式1】已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的两个根分别为，3，得到或，即可求解，解题的关键是理解方程的解的定义．
【详解】解：∵的两个根分别为，3，
∴中，或，
解得：或，
故选：C．
【变式2】已知关于的方程有，，则该方程的两个根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的解的定义，分析即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：关于的一元二次方程，，，
即，
方程的解为，
故答案为：．
【变式3】若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，直接将方程的解代入，得到关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：将代入中，可得，
解得：，
故答案为：．
考点6：一元二次方程解的应用——求代数式
典例6：两个关于的一元二次方程和，其中，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：∵，， ，
∴，
∵和，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【变式1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2】若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求代数式即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
把代入得，．即．
∴．
故答案为：4．
【变式3】已知m为方程的一个根，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．把代入方程得出，把化成，代入求出即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
∴
，
故答案为：．
考点7：一元二次方程解的应用——求根
典例7：下表是代数式随取值变化的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ）
… 0 1 2 3 4 …
… 24 15 8 3 0 0 3 8 …
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由表格中变量的对应关系求方程的根，根据题中的表格，求出代数式值即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键．
【详解】解：由题中表格，可得
… 0 1 2 3 4 …
… 16 7 0 0 …
方程的根，
故选：C．
【变式1】若，则一元二次方程必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
由可知令即成立，则可求出答案．
【详解】∵
∴
∴方程必有一根为．
故选：C．
【变式2】已知关于x的一元二次方程的一个根为，则关于x的方程的两个根分别为 ．
【答案】1或2025
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．先移项，合并同类项得出，再分别讨论和的情况．
【详解】解：∵，
∴，
即时方程有根，
∵一元二次方程 的一个根为，
∴，
此时，
故答案为：1或2025．
【变式3】已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是 ；
【答案】，
【分析】根据一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，可得关于a的方程，解方程可求a的值，将a的值代入方程求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，
则设这两个根依次分别为：，，
∴，
即：，
则有：，
解得（舍去），，
把代入得，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相反数、一元二次方程的解，关键是根据相反数的定义得到关于a的方程，解方程求得a的值．
考点8：一元二次方程解的应用——综合
典例8：关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义．
根据题意得到，，代入即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴
．
故选：A．
【变式1】已知二次方程的两根和为，两根平方和为，两根立方和为，试求的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】设方程的两根分别为，则，，，根据方程的根的定义得出，，则，即可求解．
【详解】解：设方程的两根分别为，
∴，，，
∵的两根分别为，
∴，，
∴，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是方程的根．
【变式2】已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ．
【答案】0
【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
【详解】解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t）20，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
【变式3】若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
．
故答案是：．
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专题01 一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一般形式： ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
（3）【注意】
①只含有一个未知数；
②所含未知数的最高次数是2；
③整式方程。
（二）方程解的应用
（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
（2）方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想）
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中，一定是关于x的一元二次方程有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【变式3】下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ．
考点2：一元二次方程——求字母
典例2：若关于的方程是一元二次方程，则的值不能为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．4或
【变式2】方程是关于的一元二次方程，则 ．
【变式3】若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为 ．
考点3：一元二次方程——求取值范围
典例3：若方程是关于的一元二次方程，则的范围是（ ）
A． B． C． D．且
【变式1】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是 ．
【变式3】（1）若(m﹣2)x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝ ．
考点4：一元二次方程一般式
典例4：关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1
【变式1】将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【变式2】方程化为一般形式是 ．
【变式3】已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ．
考点5：一元二次方程解的应用——求字母
典例5：若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式1】已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，
【变式2】已知关于的方程有，，则该方程的两个根是 ．
【变式3】若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
考点6：一元二次方程解的应用——求代数式
典例6：两个关于的一元二次方程和，其中，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【变式2】若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【变式3】已知m为方程的一个根，则代数式的值是 ．
考点7：一元二次方程解的应用——求根
典例7：下表是代数式随取值变化的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ）
… 0 1 2 3 4 …
… 24 15 8 3 0 0 3 8 …
A． B． C． D．
【变式1】若，则一元二次方程必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式2】已知关于x的一元二次方程的一个根为，则关于x的方程的两个根分别为 ．
【变式3】已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是 ；
考点8：一元二次方程解的应用——综合
典例8：关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
【变式1】已知二次方程的两根和为，两根平方和为，两根立方和为，试求的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式2】已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ．
【变式3】若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。
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