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微专题03 一元二次方程动点问题通关专练
一、单选题
1．如图，在中，，cm，cm，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为15cm2，则点运动的时间是（ ）
A．s B．5s C．4s D．3s
2．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
4．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
5．如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为( )
A． B． C．6 D．
7．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（ ）
A． B．
C．或 D．
8．如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒
9．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
11．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（ ）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
12．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒
14．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连接AM，则AM∥FB；②连接FE，当F，E，M共线时，AE＝4﹣4；③连接EF，EC，FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4，其中正确的个数有（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．0
15．如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( )
A． B．或 C． D．或
二、填空题
16．中，，，．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度在线段上向点B做直线运动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度在线段上向点C做直线运动（当其中一个点到达终点时，另一个点立即停止），运动 秒后，面积为5．
17．如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为 ．
18．在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是 ．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为 s．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动 秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的．
21．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
22．如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿边向终点做匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿边向终点移动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，则经过 秒，的面积为．
23．如图，在正方形中，，以B为圆心，长为半径画弧，点E为弧上一点，于F，连接，若，则的值为 ．
24．在中，且，点E是上一动点，连接，过点E作的垂线，交边于点F，则的最大值为 ．
25．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发， 秒后△PBQ的面积等于8cm2．
三、解答题
26．如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
(1)当时，四边形的面积是多少？
(2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？
(3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）
27．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为 ．
(1)用含x的式子表示：
，
，
，
(2)当的面积为时，求运动时间；
(3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
28．如图①，在中，于D，，点E是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G、H在上，设，连接．
(1)设矩形的面积为，的面积为，令，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围）
(2)如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为，当为等腰三角形时，求点M的坐标．
29．如下图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为．
(1)当运动时间为时，__________，__________；（用含的代数式表示）
(2)若的面积是面积的，求的值．
30．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
31．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形
32．如图，在矩形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点在坐标轴上，点P在边上，直线，直线．
（1）分别求直线与x轴，直线与的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线上的点，若是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）已知矩形的顶点N在直线上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值范围．
33．如图：在直角坐标系中，长方形中，，点D从点C出发，沿射线方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E的运动时间为t秒．
（1）如图1，当t为何值时，的面积为1；
（2）当是的角平分线时，求出此时点E的坐标；
（3）当t为何值时，是等腰三角形？
34．如图，在直角梯形中，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，沿射线 的方向以每秒1个单位的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
35．如图，中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
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微专题03 一元二次方程动点问题通关专练
一、单选题
1．如图，在中，，cm，cm，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为15cm2，则点运动的时间是（ ）
A．s B．5s C．4s D．3s
【答案】D
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为(8 t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×(8 t)×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故答案为:D
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
2．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
3．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【答案】A
【分析】设点P的坐标为（，），根据题意列出方程组，再根据的取值不同，分、、三种情况进行讨论，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为（，），根据题意得： ，
∵点P 的位置不确定，分三种情况进行讨论：
①当时，则，
则，解得：，（舍去）；
②当时，，
则，即，此时，此方程无解；
③当时，，
则，即，解得：（舍去），；
故符合条件的P点坐标有2个，分别是（，）、（，）．
【点睛】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键．
4．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设交于H，交于点G，
由平移的性质知，，
∴四边形是平行四边形，
∵由正方形的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
设，则阴影部分的底长为x，高，
∴，
∴．
即．
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键.
5．如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当P点在上运动时，面积逐渐增大，当P点到达B点时，面积最大为3．
∴，即．
当P点在上运动时，面积逐渐减小，当P点到达C点时，面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以．
故选：B．
6．如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为( )
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
设点E运动的时间是．
根据题意可得，
解得， ，
∵，
∴两点运动了后停止运动．
∴ ．
故选∶B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
7．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解；
【详解】，．
当运动时间为时，，，，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：， 不符合题意，舍去，
秒时的面积是．
故选：B．
8．如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒
【答案】D
【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】解：由题意，，
，
，
，
解得或5，
或时，的面积为．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
9．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键．
设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2．
则，，，
则．
∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为，
∴，
∴，
∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为
故选：C．
10．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
【答案】D
【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
11．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（ ）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
【答案】A
【分析】设点运动的时间为 ，则， ，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间．
【详解】解：设点运动的时间为 ，则， ，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当到达点时两点同时停止运动，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8 x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据 PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可．
【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8 x）cm，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，
∴∠A＝45°，
∵PRBC，
∴∠APR＝90°，
∴PR＝PA＝xcm，
∵ PQCR的面积为△ABC面积的一半，
∴，
解得：，
∴点P移动的路程为4cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键．
13．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒
【答案】A
【分析】根据题意当运动时间为秒时，，则，，可用含的式子表示的面积，列方程求解即可．
【详解】解：当运动时间为秒时，，则，，
根据题意得：，即，整理得：，解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
∴运动时间为秒，
故选：．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点运动的规律，掌握几何图形面积的计算方法，解一元二次方程的方法等是解题的关键．
14．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连接AM，则AM∥FB；②连接FE，当F，E，M共线时，AE＝4﹣4；③连接EF，EC，FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4，其中正确的个数有（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】①正确，如图1中，连接AM，延长DE交BF于J，想办法证明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可；
②正确，如图2中，当F、E、M共线时，易证∠DEA=∠DEM=67.5°，在MD上取一点J，使得ME=MJ，连接EJ，设AE=EM=MJ=x，则EJ=JD=x，构建方程即可解决问题；
③正确，如图3中，连接EC，CF，当EF=CE时，设AE=AF=m，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：①如下图，连接AM，延长DE交BF于J，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAE=∠BAF=90°，
由题意可得AE=AF，
∴△BAF≌△DAE(SAS)，
∴∠ABF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED=∠BEJ，
∴∠BEJ+∠EBJ=90°，
∴∠BJE=90°，
∴DJ⊥BF，
由翻折可知：EA=EM，DM=DA，
∴DE垂直平分线段AM，
∴BF∥AM，故①正确；
②如下图，当F、E、M共线时，易证∠DEA=∠DEM=67.5°，
在MD上取一点J，使得ME=MJ，连接EJ，
则由题意可得∠M=90°，
∴∠MEJ=∠MJE=45°，
∴∠JED=∠JDE=22.5°，
∴EJ=JD，
设AE=EM=MJ=x,则EJ=JD=x，
则有x+x =4，
∴x=4﹣4，
∴AE=4﹣4，故②正确；
③如下图，连接CF，
当EF=CE时，设AE=AF=m，
则在△BCE中，有2m =4 +(4-m)2，
∴m=4﹣4或-4﹣4 (舍弃)，
∴AE=4﹣4，故③正确；
故选A．
【点睛】本题考查旋转变换，翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15．如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( )
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时△BPQ的面积，设运动时间为t，则，，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可．
【详解】解：∵在中，，AB=，BC=，
∴，
∴当四边形的面积为时，
，
设运动时间为t，则，，
∴，
解得：，，
∵点P在AB上的运动时间为：，
∴，
∴不符合题意，
即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．
二、填空题
16．中，，，．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度在线段上向点B做直线运动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度在线段上向点C做直线运动（当其中一个点到达终点时，另一个点立即停止），运动 秒后，面积为5．
【答案】1
【分析】设运动时间为t，再根据题意用t表示出的长，再根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图：设运动时间为t，
由题意可得：，
则，
解得：，
∵面积为5，
∴，即，解得：（舍去），
∴当时，即1秒运动后，的面积为5．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据题意列出关于时间t的方程以及检验是解答本题的关键．
17．如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为 ．
【答案】或
【分析】在中，利用勾股定理可求出的长，设顶端上移x米，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：在中，，
∴．
设顶端上移米， 如图，
∴
依题意得：
故答案为：或．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是 ．
【答案】
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点，运动秒时，能使的面积为，
则的长为，的长为．
可列方程为，
解得，（舍去），
动点，运动3秒时，能使的面积为．
故答案为：3．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为 s．
【答案】2．
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动 秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的．
【答案】2
【分析】设运动了t秒，根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可．
【详解】解：∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
即：运动2秒时△PCQ的面积为△ABC面积的．
故答案是：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程、三角形的面积，根据题目给出的条件，找出相等关系构造方程是解题的难点和关键．
21．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
【答案】 2 或或
【分析】（1）当四边形为平行四边形时，，由此构建方程解决问题即可；
（2）分两种情况进行讨论：即①当点P在线段上，②当点P在线段上，根据两种情况点的位置，可以确定t的值．
【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，，
，，
如图，
，，
，
解得：，
故答案为：2；
（2）如图1，过A点作于M，则四边形是矩形，
，，
，
，
；
①当点P在线段上时，即时，如图3，
，
解得；
②当点P在线段上时，即时，如图4，
，，
，
整理得：，即，
解得：或，
，
或，
综上所述，或或，的面积为，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用以及三角形的面积等，分类讨论的思想是本题的关键．
22．如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿边向终点做匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿边向终点移动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，则经过 秒，的面积为．
【答案】1
【分析】设经过t秒的面积为，根据题意得：，，再根据，得到关于t的方程，即可求解．
【详解】解：设经过t秒的面积为，
根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：或4（舍去），
即经过1秒，的面积为．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，直角三角形的面积，根据题意得到关于t的方程是解题的关键．
23．如图，在正方形中，，以B为圆心，长为半径画弧，点E为弧上一点，于F，连接，若，则的值为 ．
【答案】2
【分析】过E作EG⊥BC于G，连结BE，设EF=x，由EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，可证四边形EGCF为矩形，可求BG=4-x，在Rt△EBG中， EG=，在Rt△EGC中，CE=，由EC-EF=2，可得-x=2，移项两边平方得,解得,可求CE=,从而求得CF=2．
【详解】解：过E作EG⊥BC于G，连结BE，
设EF=x，
∵EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，
∴∠EFC=∠FCG=∠EGC=90°，AB=BC=BE=4，
∴四边形EGCF为矩形，
∴EF=GC=x，EG=FC，
∴BG=4-x，
在Rt△EBG中， EG=
在Rt△EGC中，CE=
∵EC-EF=2，
∴-x=2，
∴ =2+x，
两边平方得，
整理得，
解得，
∴CE=，
∴CF=
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，，掌握正方形的性质。矩形的判定与性质，勾股定理，利用构造方程是解题关键．
24．在中，且，点E是上一动点，连接，过点E作的垂线，交边于点F，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确得出点的位置是解题关键．取的中点，连接，先确定出点为以点为圆心，为直径的圆与边的交点，从而可得当与相切时，最小，取最大值，再设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
由圆周角定理可知，点为以点为圆心，为直径的圆与边的交点，
，
则当取最大值时，最小，即最小，
由圆的性质可知，当与相切时，最小，
则此时，
∵在中，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
，
，
所以的最大值为，
故答案为：．
25．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发， 秒后△PBQ的面积等于8cm2．
【答案】4或2
【分析】首先设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，进而可得PB=6-x，QB=2x，再根据三角形的面积公式可得（6-x）2x=8，再解即可．
【详解】解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
（6-x）2x=8，
解得：x1=2，x2=4，
故答案为2或4．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握三角形的面积公式．
三、解答题
26．如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
(1)当时，四边形的面积是多少？
(2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？
(3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）
【答案】(1)5cm
(2)或
(3)或或或
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，梯形的面积公式，一元二次方程的解法的应用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
(1)当时， 可以得出，就有，由梯形的面积就可以得出四边形的面积；
(2)如图1， 作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2， 作于E，在中， 由勾股定理建立方程求出其解即可；
(3)分情况讨论， 如图3， 当时， 如图4， 当时， 如图5， 当
时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【详解】（1）解： ∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∴．
答：四边形面积是 5cm ；
（2）解：如图1， 作于E，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
在中， 由勾股定理， 得
，
解得：；
如图2，作于E，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∴
在中，由勾股定理，得
，
解得：．
综上所述： 或；
（3）解：如图3， 当时， 作于E，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴ ，
在中， 由勾股定理， 得
，
解得：．
如图4， 当时， 作于E，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∴，
解得：；
如图5， 当时，
∵，
∴，
∵，
在中，由勾股定理，得
解得， (舍去)，
综上所述： 或或或．
故答案为：或或或．
27．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为 ．
(1)用含x的式子表示：
，
，
，
(2)当的面积为时，求运动时间；
(3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
【答案】(1)；；
(2)2或4
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）由题意可得，，从而可以解决问题；
（2）表示出，，解方程即可；
（3）表示出，，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∵
，
故答案为：2x；；4x；
（2）解：，
，
∴，
解得：或4，
当的面积为时，或4；
（3）解：四边形的面积不能等于172，理由如下：
，
∴，
解得或，
，
四边形的面积不可能等于．
【点睛】本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关键是能够化动为静，并且注意的取值范围，属于常考题．
28．如图①，在中，于D，，点E是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G、H在上，设，连接．
(1)设矩形的面积为，的面积为，令，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围）
(2)如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为，当为等腰三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由题意可求出，即得出，再结合矩形的性质可求出,即得出，从而得出，，进而可求出．又可证，结合勾股定理即可求出，从而可求出，再作比，化简即可得出答案，最后由题意即可确定x的取值范围；
（2）根据题意画出图象，分类讨论：①当时，如图点；②当时，如图点；③当时，如图点，分别根据等腰三角形的定义结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，．
∴,
∴，
∴，，
∴．
∵，,
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵点E是上一动点（不与点A，D重合），
∴，
∴y关于x的函数解析式为；
（2）解：分类讨论：①当时，如图点，
∵，
∴，
∴，
∴此时点坐标为；
②当时，如图点，过点作轴于点P．
∵，
∴．
设，
∴
解得：（舍去负值），
∴，
∴此时点坐标为；
③当时，如图点，过点作轴于点P．
∵，
∴．
设，
∴．
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴，
∴此时点坐标为．
综上可知点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查矩形的性质，一次函数的实际应用，等腰三角形的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的实际应用等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
29．如下图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为．
(1)当运动时间为时，__________，__________；（用含的代数式表示）
(2)若的面积是面积的，求的值．
【答案】(1)，；
(2)的值为2；
【分析】（1）本题考查三角形上动点问题的列代数，根据路程等于速度乘以时间结合线段长度即可得到答案；
（2）本题考查三角形上动点问题及一元二次方程应用问题，根据面积列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
∵，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，解得：．
答：的值为2．
30．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
【答案】存在，长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为．
【分析】假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（-x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（﹣x），
依题意，得：x（﹣x）＝×8×1，
整理，得：x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝，x2＝．
当x＝时，﹣x＝，符合题意；
当x＝时，﹣x＝＞，不合题意，舍去．
∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
31．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形
【答案】（1）s=96﹣6t （2）或
【分析】（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据三角形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式；
（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t.
【详解】解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12，
∵QB=16﹣t，
∴S=QB PM=（16﹣t）×12=96﹣6t
（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，由PB2=BQ2得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，
此时，△=（﹣32）2﹣4×3×144=﹣704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查梯形、等腰三角形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合，注意分情况讨论.
32．如图，在矩形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点在坐标轴上，点P在边上，直线，直线．
（1）分别求直线与x轴，直线与的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线上的点，若是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）已知矩形的顶点N在直线上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值范围．
【答案】（1）直线l1与x轴交点坐标为（，0），直线l2与AB的交点坐标为（1，1）；（2）（2，3）或（，）；（3）≤x≤或≤x≤
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；
（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．
【详解】解：（1）将y=0代入直线l1：当y=0时，2x+1=0，
则直线l1与x轴交点坐标为（，0），
直线l2：当y=1时，2x-1=1，即x=1，
则直线l2与AB的交点坐标为（1，1）；
（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，
如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，
∴△APM不可能是等腰直角三角形，
∴点M不存在；
②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，
过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵∠APM=∠APB+∠MPN=90°，∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠MPN，又AP=PM，∠ABP=∠MNP=90°，
∴Rt△ABP≌Rt△PNM（AAS），
∴AB=PN=2，MN=BP，
设M（x，2x-1），则MN=x-2，
∴2x-1=2+1-（x-2），
∴x=2，
∴M（ 2，3）；
③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，
设M1（x，2x-1），
过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，
同②可得：Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，
∴AG1=M1H1=1-（2x-1），
∴x+1-（2x-1）=2，
解得，x=0，
∴M1（0，-1）（不合题意舍去）；
设M2（x，2x-1），
同理可得x+2x-1-1=2，
∴x=，
∴M2（，）；
综上所述，点M的坐标为（2，3）或（，）；
（3）当点N在直线l2上时，
∵点N的横坐标为x，
∴N（x，2x-1），
当点P和点B重合时，P（2，1），
∴AP的中点G坐标为（1，1），
∵四边形ANPQ是矩形，
∴∠ANB=90°，
∴NG=AP=1，
∴（x-1）2+（2x-1-1）2=1，
∴x=（点N在AB上方的横坐标）或x=（点N在AB下方的横坐标），
当点P和点C重合时，P（2，0），AP的中点G'坐标为（1，），
同理：NG'=AP=，
∴（x-1）2+（2x-1-）2=，
∴x=（和点N在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或x=（和点N在AB下方构成的四边形是矩形的横坐标），
∴≤x≤或≤x≤．
【点睛】本题考查了四边形综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
33．如图：在直角坐标系中，长方形中，，点D从点C出发，沿射线方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E的运动时间为t秒．
（1）如图1，当t为何值时，的面积为1；
（2）当是的角平分线时，求出此时点E的坐标；
（3）当t为何值时，是等腰三角形？
【答案】（1）秒或2秒或秒；（2）（，0）或（，0）；（3）秒或秒或秒或5秒
【分析】（1）分点E在y轴正半轴时，点E在y轴负半轴时，两种情况，根据三角形面积公式列出方程求解；
（2）分点E在点A左侧，点E在点A右侧，画出图形，求出OE的长即可得到点E坐标；
（3）分CD=CE，DC=DE，CE=DE三种情况，结合等腰三角形的性质和勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵长方形OABC中，OA=BC=10，OC=AB=5，
∴C（0，5），A（10，0），B（10，5），
若△ODE的面积为1，
当点E在y轴正半轴时，
则，
解得：或；
当点E在y轴负半轴时，
则，
解得：（舍）或；
综上：当t为秒或2秒或秒时，△ODE的面积为1；
（2）如图，若点E在点A左侧，
∵CE平分∠OEB，
则∠OEC=∠BEC，
∵OA∥BC，
∴∠BCE=∠OEC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=10，
∴AE==，
∴OE=OA-AE=，即E（，0）；
若点E在点A右侧，
同理可得：BC=BE=10，
∴AE==，
∴OE=OA+AE=，即E（，0）；
（3）∵是等腰三角形，
若CD=CE，
∵CE≥CO，
∴此时点D必在y轴负半轴，
则CD=CE=2t，OE=t，
在△OCE中，，
解得：t=（负值舍去）；
若DC=DE，当点D在y轴正半轴时，
CD=DE=2t，OE=t，则OD=5-2t，
在△ODE中，，
解得：t=或（舍）；
当点D在y轴负半轴时，
CD=DE=2t，OE=t，则OD=2t-5，
在△ODE中，，
解得：t=（舍）或；
若CE=DE，∵OE⊥CD，
∴OC=OD=5，即CD=10，
∴t=10÷2=5．
综上：当t为或或或5时，是等腰三角形．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，角平分线的意义，等腰三角形的性质，用运动时间t表示线段是解本题的关键，根据题意画出图形是本题的难点．
34．如图，在直角梯形中，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，沿射线 的方向以每秒1个单位的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】或
【详解】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当时，当时，当时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
【分析】解：如图1，当时，过点P作于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
解得：；
如图2，当时，过点Q作于E，
同理可证四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：；
如图3，当时，过点P作于E，
同理可证明四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故方程无解．
综上所述，或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键．
35．如图，中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
【答案】（1）2或4；（2）2；（3）．
【分析】本题可设P出发x秒后，符合已知条件：
在（1）中，，，，根据题意列方程求解即可；
在（2）中，，，，进而可列出方程，求出答案；
在（3）中，，，，利用勾股定理和列出方程，即可求出答案．
【详解】（1）P、Q同时出发，经过秒钟，，
由题意得：
∴，
解得：，．
经2秒点P到离A点1×2＝2cm处，点Q离C点2×2＝4cm处，经4秒点P到离A点1×4＝4cm处，点Q到离C点2×4＝8cm处，经验证，它们都符合要求．
答：P、Q同时出发，经过2秒或4秒，．
（2）设P出发t秒时，则Q运动的时间为秒，由题意得：
，
∴，
解得：．
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意．
答：P先出发2秒，Q再从C出发，经过2秒后．
（3）设经过秒钟后PQ＝BQ，则，，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：经过秒钟后PQ＝BQ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．
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