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专题03 根的判别式、根与系数的关系
考点类型
知识一遍过
（一）根的判别式
概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac
①b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。
②b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。
③b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
④b2－4ac≥0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。
（二）根与系数的关系
（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
（2）注意事项：
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
（三）根与系数的关系常见变形
常见与两根有关的代数式变形
①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=;
③+=; ④=-4x1x2
考点一遍过
考点1：由△判断根的情况
典例1：定义运算：，例如：方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【变式1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】一元二次方程的根的判别式的值为 ．
【变式3】一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）．
考点2：由根的情况求字母取值
典例2：已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
【变式1】若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【变式2】关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
解：根据题意得且，
解得且．
【变式3】已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
考点3：由△证明根的必然情况
典例3：已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值．
【变式1】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程一定有两个实数根；
(2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值．
【变式2】已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【变式3】已知关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是2，请求好的值及方程的另一个根．
考点4：△与三角形的综合
典例5：已知a，b，c为的三边，如果一元二次方程有两个相等的实数根，试判断的形状．
【变式1】已知：关于的方程．
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)若等腰三角形的底边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【变式2】已知关于的方程．若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【变式3】已知关于的方程．
(1)若此方程有实数根，求的取值范围；
(2)当时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长．
考点5：由根与系数的关系求代数式
典例5：已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若，是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式2】若实数a，b是一元二次方程的两根，则 ．
解：实数a，b是一元二次方程的两根，
【变式3】若关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10，则 ．
考点6：由根与系数的关系求根
典例6：已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（ ）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
【变式1】已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-2
【变式2】若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为 ．
【变式3】关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
考点7：由根与系数的关系求变形式
典例7：已知实数，满足，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若实数，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，且满足，，那么的值为 .
【变式3】（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ．
（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ．
考点8：由根与系数的关系求取值范围
典例8：关于的方程有实数根；则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根同号，则m的取值范围是 ．
【变式3】已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根．
（1）m的取值范围是 ．
（2）若满足，则m的值为 ．
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专题03 根的判别式、根与系数的关系
考点类型
知识一遍过
（一）根的判别式
概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac
①b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。
②b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。
③b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
④b2－4ac≥0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。
（二）根与系数的关系
（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
（2）注意事项：
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
（三）根与系数的关系常见变形
常见与两根有关的代数式变形
①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=;
③+=; ④=-4x1x2
考点一遍过
考点1：由△判断根的情况
典例1：定义运算：，例如：方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况．
【详解】解：由新定义得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；逐项判断即可．
【详解】解：A．中，有两个不相等实数根，不符合题意；
B．中，有两个不相等实数根，不符合题意；
C．中，没有实数根，符合题意；
D．中，有两个相等的实数根，不符合题意；
故选：C．
【变式2】一元二次方程的根的判别式的值为 ．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式可直接得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的公式．
【变式3】一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）．
【答案】没有
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：在此方程中，a=2，b=-1，c=1，
，
，
一元二次方程2x2﹣x+1＝0没有实数根，
故答案为：没有．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
考点2：由根的情况求字母取值
典例2：已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当时，一元二次方程有两个相等的实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得，
故选：A．
【变式1】若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程的根与的关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．
分两种情形：，，求出的取值范围即可．
【详解】解：若关于的方程有实数根，
当时，
，
，
当时，方程有实数根．
综上所述，．
故选：B．
【变式2】关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的判别式，明确一元二次方程二次项的系数不为．
根据题意计算，求解即可；
【详解】
解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且
【变式3】已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是根的判别式，根据方程有两个相等的实数根得出，求出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得．
故答案为：．
考点3：由△证明根的必然情况
典例3：已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立；
（2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可．
本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根．
【详解】（1）证明：依题意，得，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
解得，
∵，
，，
，
，
．
【变式1】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程一定有两个实数根；
(2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)或0
【分析】本题主要考查根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得a的值．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程．
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
解得：或，
方程的两个根均为整数，
为整数，
，即，
a为整数，，
或0．
【变式2】已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等，
（1）运用根的判别式、平方数的非负性进行判断求证即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；分析计算求出的三边长，计算得出的周长即可；
熟练掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：在关于的一元二次方程中，，，，
∴
，
∵
∴无论取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）解：∵等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，
①当时，即方程两根相等，
∴，
解得：，
∴方程可化为：，
解得：，
∴，
∴三边为长分别为，，，
∵，
∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
②当或者时，即是原方程的一个根，
把代入得：，
解得：，
∴原方程可化为：，
解得：或，
即的两腰长为，底边长为，
∴的周长．
【变式3】已知关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是2，请求好的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，方程的另一个根为
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（2）把方程的一个根为2代入关于的一元二次方程求出，然后利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
，，，
．
无论为任意实数，
原方程总有两个不等的实数根．
（2）解：是方程的一个根，
，
解得：，
原方程变为，
设方程的另一个根为，
，
．
，方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
考点4：△与三角形的综合
典例5：已知a，b，c为的三边，如果一元二次方程有两个相等的实数根，试判断的形状．
【答案】直角三角形
【分析】整理一元二次方程得到，根据有两个相等的实数根得到，得到，即可判断三角形的形状．
【详解】解：由整理得到，
，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理，熟练根据一元二次方程有两个相等的实数根得到是解题的关键．
【变式1】已知：关于的方程．
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)若等腰三角形的底边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）依题意有，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
【详解】（1）证明：，
，即，
无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：依题意有，则，
方程化为，
解得，
故的周长．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，还考查了等腰三角形的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【变式2】已知关于的方程．若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】周长为
【分析】当时，求出k值，进而找出方程的根，再进行分类讨论从而得出三角形的周长．
【详解】解：∵，
∴无论取何值，方程总有实数根．
①若为底边，则，为腰长，则，则，
∴，解得．
此时原方程化为，∴，即．
此时三边为6，2，2，不能构成三角形，舍去；
②若为腰，则，中一边为腰，不妨设，
将代入方程，得，解得，
则原方程化为，∴，，即，，
此时三边为6，6，2，能构成三角形．
综上所述，三边为，
∴周长为．
【点睛】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键．
【变式3】已知关于的方程．
(1)若此方程有实数根，求的取值范围；
(2)当时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长．
【答案】(1)k≥
(2)5
【分析】（1）先将方程化为一般式，通过方程有实数根，则，将各个系数代入求解即可；
（2）将k=-1代入方程，求出方程的两个根即可．
【详解】（1）解：将方程化为一般式：
∵原方程有实数根，
∴，
则，解得：k≥，
∴k≥；
（2）将k=-1代入得：，解得：，，
∴，，
经分析，等腰三角形腰长为2，底边长为1，
∴等腰三角形周长=2×2+1=5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及三角形三边的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键．当时，方程有实数根；当时，方程无实数根．
考点5：由根与系数的关系求代数式
典例5：已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据两根之和等于，两根之积等于，求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，
∴，，
∴，
故选：．
【变式1】若，是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系，．
由一元二次方程根与系数的关系直接求出的值，再将问题中代数式展开代入即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，
∴，
故选A．
【变式2】若实数a，b是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】5
【分析】利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，计算即可．
本题考查了根与系数的关系，牢记，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．
【详解】
解：实数a，b是一元二次方程的两根，
∴，
∴
故答案为：5
【变式3】若关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，设方程的两个根分别为a、b，方程的两个根分别为c、d，则由根与系数的关系得到，，进而得到，，据此求出p、q的值即可得到答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为a、b，方程的两个根分别为c、d，
∴，，
∵关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
考点6：由根与系数的关系求根
典例6：已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（ ）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1，的另一个根为4，利用根与系数关系得到，方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为．
【详解】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，
解得，
∴正根为1，
∵的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则，
∴，
∴另一个根为，
∴的两个根分别为1，，
故选：D．
【变式1】已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-2
【答案】B
【分析】把代入，转化为m的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】解：把代入，
得，
解得，
∴，
设另一个根为，
根据题意，得，
故选：B．
【变式2】若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义．把代入，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．再根据根与系数关系即可求出方程的另一个根．
【详解】解：把代入得，
解得：，
而．
所以．
令方程的另一个根为，则，
∴，
故答案为：．
【变式3】关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
【答案】2，24
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根为，根据根与系数的关系得出，根据，得出，整理得出，根据方程的解为正整数，求出结果即可．
【详解】解：设方程的两根为，则
．
∵，
∴，
∴，
得，或．
解得：，或．
∴方程的两根为：2，24．
故答案为：2，24．
考点7：由根与系数的关系求变形式
典例7：已知实数，满足，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，配方的应用，由实数，满足，，则，是方程的两个实数根，则有，，，然后代入可得，又，故，从而求解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵实数，满足，，
∴，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
即的最小值是，
故选：．
【变式1】若实数，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】∵，，且，
∴为方程的两个不同的根，
∴，，
∴，
故选：．
【变式2】已知，且满足，，那么的值为 .
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论．
【详解】解： ，且满足，，
、b为方程的两个实数根，
，，
故答案为：．
【变式3】（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ．
（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】 2042
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．
（1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，再整体代入即可求出结论．
（2）由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案．
【详解】解：（1）∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）∵m，n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2042．
考点8：由根与系数的关系求取值范围
典例8：关于的方程有实数根；则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，求出的范围，由根与系数关系得：，将的范围代入求解即可．
【详解】解：方程有两个实数根，
，
，
解得：，
，
，
，
．
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟记公式是解题关键．
【变式1】已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有两个实数根，得到，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可．
【详解】解：设方程的两个根为，则，
∴，
∴解得，
又方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，列出不等式，是解题的关键．
【变式2】已知一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根同号，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，掌握 是解题的关键．根据题意可知时，方程有两个不相等的实数根，且，求出m的取值范围即可；
【详解】解：根据题意，
解得：．
根据题意得，解得：．
∴．
故答案为：．
【变式3】已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根．
（1）m的取值范围是 ．
（2）若满足，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键；
（1）根据方程有两个不相等的实数根可知，求出的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出与的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，解得，
故答案为：；
（2），是方程的两个实数根，
，．
，
，解得，（舍弃）．
，
故答案为：．
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