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专题03 反比例函数单元过关（基础版）
考试范围：第六章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象（ ）
A．y＝5x B．y＝2x+3 C． D．
2．某蓄水池当排水管的排水速度是，可将满池水全部排空．设排水速度为Q下列说法错误的是（ ）
A．蓄水池的容积
B．将满池水排空所需的时间与排水速度之间的关系式为
C．如果准备在内将满池水排空，那么排水速度至少为
D．已知排水管的最大排水速度为，那么最少时间可将满池水全部排空
3．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，若点是轴上一点，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的图象与直线没有交点，那么的取值范围是（ ）
A．m>1 B．m<1 C．m>0 D．m<0
6．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2=0的两根a、b满足a2﹣b2=0，双曲线 （x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），则S△OBC为（ ）
A．3 B． C．6 D．3或
7．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，A点坐标（－2，0），B点坐标为（1，1），点C在反比例函数上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在图象上，下列说法正确的是（ ）
A．当x1=x2< 2时，y1< y2 B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2 D．当y1=y2 > 1时，x1 > x2
9．如图，函数与函数的图像相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
12．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ．
13．如图，已知直线y=x+2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y=交于点C，A、D关于y轴对称，若S四边形OBCD=6，则k= ．
14．函数y＝（x＞0）的图象上有一动点P，过点P作直线l，l与x轴交于点A，与y轴交于点B，若BP＝2AP，则OA OB＝ ．
15．已知反比例函数的图像过点、，则 ．
16．如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点，交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为 ，的面积为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图所示，函数，的图象交于点．
(1)求出点的坐标；
(2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度．
18．已知反比例函数的解析式，并且当时，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求y的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)根据图象，当时，不等式的解集为______．
(3)将一次函数的图象向下平移个单位长度后，平移后的一次函数的图象与反比例函数的图象恰好只有一个公共点，求出的值．
20．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式：
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：
(3)求的面积．
21．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
(1)反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
22．设函数，函数（，，b是常数，，）．
(1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)，
①求函数，的表达式：
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
(2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
23．已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
24．
确定有效消毒的时间段
背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x…123…y…34…
表1
问题解决
任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．
任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．
任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．
25．我们知道：抛物线y＝a（x+m）2+n（其中a，m、n是常数，且a≠0）可以由抛物线y＝ax2平移得到；类似的：y＝+n（其中k，m，n是常数，且k≠0）的图象也可以由反比例函数y＝的图象平移得到．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0），（0，3），点D是OA的中点．连接OB，CD交于点E，函数y＝+n的图象经过B，E两点．
（1）求此函数的解析式；
（2）过线段BE中点M的一条直线与此函数的图象交于P，Q两点（P在线段BC上方），若四边形BPEQ面积为16，求点P的坐标．
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专题03 反比例函数单元过关（基础版）
考试范围：第六章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象（ ）
A．y＝5x B．y＝2x+3 C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象为双曲线可知其解析式为（k≠0），图象位于一三象限，故k＞0，符合此要求者即为正确答案．
【详解】解：∵函数图象为双曲线可知其解析式为（k≠0），图象位于一三象限可知k＞0，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图像，掌握反比例函数的图像是双曲线是本题的解题关键.
2．某蓄水池当排水管的排水速度是，可将满池水全部排空．设排水速度为Q下列说法错误的是（ ）
A．蓄水池的容积
B．将满池水排空所需的时间与排水速度之间的关系式为
C．如果准备在内将满池水排空，那么排水速度至少为
D．已知排水管的最大排水速度为，那么最少时间可将满池水全部排空
【答案】C
【分析】根据每小时排水量及排水时间，可求蓄水池的容积为，可判断A；由可得：，可判断B；分别将和代入可判断C、D．
【详解】蓄水池的容积是：，故A选项正确；
由可得：，故B选项正确；
将代入得，，故C选项错误；
将代入得，，故D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用函数关系式解题．
3．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，若点是轴上一点，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数系数的几何意义及反比例函数图象的位置即可确定的值．
【详解】如图，连接，
∵轴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴．
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义及反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
4．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将函数值代入函数，求解，然后直接比较大小即可．
【详解】解：因为A，B，C三点在反比例函数上，
把分别代入反比例函数得，
∵，
其大小为：．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可．
5．已知双曲线的图象与直线没有交点，那么的取值范围是（ ）
A．m>1 B．m<1 C．m>0 D．m<0
【答案】B
【分析】把y=x代入y=得出x2-（m-1）=0，求出b2-4ac＜0，即可求出答案．
【详解】把y=x代入y=得：x=，
x2-（m-1）=0，
∵双曲线y＝的图象与直线y=x没有交点，
∴02-4 1 [-（m-1）]＜0，
即m＜1，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的应用，关键是能根据题意得出关于m的不等式．
6．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2=0的两根a、b满足a2﹣b2=0，双曲线 （x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），则S△OBC为（ ）
A．3 B． C．6 D．3或
【答案】B
【分析】首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围,然后由a2﹣b2=0得出a+b=0或a-b=0,再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值,由k的几何意义,可知S△OBA= .如果过D作DE⊥OA于E,则S△OCA= .易证△ODE∽△OBA,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得出S△OBA,最后由S△OBC=S△OBA-S△OCA,得出结果.
【详解】∵x2+（2k-1）x+k2=0有两根，
∴△=（2k-1）2-4k2≥0，
即k≤．
由a2﹣b2=0得：（a-b）（a+b）=0．
当a+b=0时，-（2k-1）=0，解得k=，不合题意，舍去；
当a-b=0时，a=b，△=（2k-1）2-4k2=0，
解得：k=符合题意．
∵，
∴双曲线的解析式为：．
过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=S△OCA=×1=．
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，
∴，∴S△OBA=4×=2，
∴S△OBC=S△OBA-S△OCA=2-=．
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活运用.
7．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，A点坐标（－2，0），B点坐标为（1，1），点C在反比例函数上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作轴于，轴于，于，交轴于，通过证得，求得的坐标，即可求得的值．
【详解】解：作轴于，轴于，于，交轴于，
点坐标，点坐标为，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
点在反比例函数上，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，利用了数形结合思想．求得点的坐标是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在图象上，下列说法正确的是（ ）
A．当x1=x2< 2时，y1< y2 B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2 D．当y1=y2 > 1时，x1 > x2
【答案】D
【分析】求出点P的坐标为（2，1），在图象上作出直线x=2和y=1，利用数形结合的方法，逐次求解即可．
【详解】解：将点P的坐标代入反比例函数表达式得：m==1，
故点P的坐标为（2，1），如图：在图象上作出直线x=2和y=1，
当x1=x2＜2时，A、B在平行线y轴的直线上，且直线直线x=2的左侧，
当x＜2时，此时y1、y2的大小，不确定，故A错误；
当x1=x2＜2时，A、B在平行线y轴的直线上，且在x=2的右侧，
从图象看，在x＞2时，y1＞y2，故B错误，不符合题意；
当y1=y2＜1时，即点A、B在平行线x轴的直线上，且在直线y=1的下方，
此时x1、x2的大小，不确定，故C错误；
当y1=y2＞1时，即点A、B在平行线x轴的直线上，且在直线y=1的上方，
此时x1＞x2，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，数形结合和确定直线x=2、y=1是本题解题的关键．
9．如图，函数与函数的图像相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】两函数解析式联立求出A,B的坐标，进而确定BD、CD的长，最后求平行四边形的面积即可.
【详解】解：由和 联立，可得A(-2,2),B(2,2);
∴BD=2，DC=4
∴四边形ACBD的面积为2×4=8
故答案为C.
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数和几何的结合，利用函数图像交点坐标的特点，确定平行四边形的底和高是解答本题的关键.
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【分析】①先用十字相乘法解一元二次方程，然后再验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，再利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可确定两根之间的关系．
【详解】解：①x2＋2x﹣8＝（x＋4）（x－2）＝0，∴x1＝－4，x2＝2，x1＝－2x2，不是倍根方程，错误；
②由题意得：2x12＝2，∴x1＝±1，∴x1＝1，x2＝2，x1＝－1，x2＝－2，则a＝x1＋x2＝±3，正确；
③ ∵x1＝3，x2＝，当x1＝2x2时，3m＝2n，当x2＝2x1时，n＝6m，错误；
④由题意得：n＝，∴mx2－3x＋＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， 整理得：2x12－5x1x2＋2x22＝0，∴（x1－2x2）（2x1－x2）＝0，∴x1＝2x2， 或x2＝2x1，正确；
综上，正确的是 ②④．
故答案为D．
【点睛】本题考查了运用十字相乘法解一元二次方程、根与系数的关系、反比例函数的性质以及“倍根方程”的概念，理解“倍根方程”的概念是解答本题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法即可．
【详解】解：将点代入得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法，熟练掌握其基本知识是解题的关键．
12．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞4
【分析】根据反比例函数的图象和性质，当4 k＜0时，图象分别位于第二、四象限，即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴4 k＜0，
解得k＞4，
故答案为：k＞4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题的关键．
13．如图，已知直线y=x+2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y=交于点C，A、D关于y轴对称，若S四边形OBCD=6，则k= ．
【答案】
【详解】试题分析：求出A、B的坐标，求出D的坐标，求出AD、OB的值，设C的坐标是（x，x+2），根据已知得出S△ACD﹣S△AOB=6，推出×（4+4）×（x+2）﹣×4×2=6，求出C的坐标即可．
解：∵y=x+2，
∴当x=0时，y=2，
当y=0时，0=x+2，
x=﹣4，
即A（﹣4，0），B（0，2），
∵A、D关于y轴对称，
∴D（4，0），
∵C在y=x+2上，
∴设C的坐标是（x，x+2），
∵S四边形OBCD=6，
∴S△ACD﹣S△AOB=6，
∴×（4+4）×（x+2）﹣×4×2=6，
x=1，
x+2=，
C（1，），
代入y=得：k=．
故答案为．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积等知识点，主要考查学生的计算能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
14．函数y＝（x＞0）的图象上有一动点P，过点P作直线l，l与x轴交于点A，与y轴交于点B，若BP＝2AP，则OA OB＝ ．
【答案】1或9
【分析】分两种情况讨论：①如图1，过P作PC⊥y轴于C，则△AOB∽△PCB，得到，即可得出OC＝OB，OA＝CP，设P（a，），表示出OA，OB，即可求得OA OB；②如图2，同理可得，设P（a，），表示出OA，OB，即可求得OA OB．
【详解】解：分情况讨论：
①如图1，过P作PC⊥y轴于C，则PC//OA，
∴△AOB∽△PCB，
∴，
∴OC＝OB，OA＝CP，
设P（a，），则OA＝PC＝，OB＝OC＝，
∴OA OB＝ ＝1，
②如图2，过P作PC⊥y轴于C，则PC//OA，
∴△AOB∽△PCB，
∴，
设P（a，），则OA＝PC＝a，OB＝3OC＝，
∴OA OB＝a ＝9，
故答案为1或9．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，表示出OA、OB的长度是解题的关键．
15．已知反比例函数的图像过点、，则 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的增减性，结合点A和点B的横坐标的大小，即可得到答案．
【详解】∵m2≥0，
∴m2+2＞m2+1，
∵反比例函数y=，k＞0，
∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
16．如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点，交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为 ，的面积为 ．
【答案】
【分析】设，则，，将代入，可得，将代入，可得，计算求解即可；如图，过作轴于，过作轴于，交于，则四边形是矩形，由题意知，，，，证明，，则有，，将各量代入求解用表示的，，，的值，然后根据，，求出，的值，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：设，则，，
将代入得，得，
将代入得，解得，
∴值为，
如图，过作轴于，过作轴于，交于，则四边形是矩形，
由题意知，，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，，
∴
∴的面积为；
故答案为：， ．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例与几何综合，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
评卷人得分
三、解答题
17．如图所示，函数，的图象交于点．
(1)求出点的坐标；
(2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键．
（1）联立，解交点坐标即可；
（2）当时求出，的值即可解题．
【详解】（1）解方程组，
解得或，
，
；
（2）当时，，，
．
18．已知反比例函数的解析式，并且当时，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）把代入解析式求值即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，，
∴；
∴；
（2）当时，．
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)根据图象，当时，不等式的解集为______．
(3)将一次函数的图象向下平移个单位长度后，平移后的一次函数的图象与反比例函数的图象恰好只有一个公共点，求出的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)的值为
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求解析，解二元一次方程组，图形平移的规律，根的判别式的运用是解题的关键．
（1）运用待定系数法将点，代入计算即可求解；
（2）图形结合分析即可求解；
（3）根据图形的平移，根的判别式即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴反比例函数的解析式．
将，代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵，，
∴根据图示可得，当时，，
∴不等式的解集为：，
故答案为：．
（3）解：设平移后的直线为，联立得，
，
∴，
∵平移后的直线与反比例函数的图象只有一个公共点，
∴，即，
∴，
∴（不合题意，舍去），，
∵的值为．
20．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式：
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)8
【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）根据图象可得结论；
（3）求出点的坐标，根据即可求解．
【详解】（1），在的图象上，
，
反比例函数的解析式是．
．
，在函数的图象上，
，
解得：．
则一次函数的解析式是．
所以一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是；
（2）由图象得：当或时，；
（3）直线与轴相交于点，
的坐标是．
．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键．
21．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
(1)反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)时，的面积最大，最大值为．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、二次函数的最值问题、反比例函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式求出m的值即可得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，即可确定反比例函数解析式；
（2）只需要找到当时，一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可解答；
（3）先求出，，进而得到，再根据三角形面积公式得到，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当时，，即，
∴不等式的解集为；
（3）解：由题意，点，的坐标为，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积最大，最大值为．
22．设函数，函数（，，b是常数，，）．
(1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)，
①求函数，的表达式：
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
(2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
【答案】(1)①，；②
(2)1
【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解；
（2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解．
【详解】（1）解：①把点B(3，1)代入，得，
∴．
∵函数的图象过点，
∴，
∴点B(3，1)代入，得：
，解得，
∴．
②根据题意，画出函数图象，如图∶
观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方，
∴．
（2）解∶∵点在函数的图象上，
∴，
∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，
∴点D的坐标为，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键．
23．已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
【详解】（1）解：把 代入，得
，
解得，，
所以反比例函数解析式是；
（2）存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，
和，
，
和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
24．
确定有效消毒的时间段
背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x…123…y…34…
表1
问题解决
任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．
任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．
任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．
【答案】任务1：；；任务2：；任务3：或．
【分析】任务1：利用待定系数法求解即可；任务2：求得时，对应的x的值，根据图象即可求解；任务3：分当和、时，三种情况讨论，求解即可．
【详解】任务1：解：设当药物释放阶段（即）时，
设，
把，代入，
得，解得，
∴；
设当药物释放后（即）时，设，
把代入，
得，
解得，
∴；
任务2：把分别代入，得，
解得，
由图象，得；
任务3：
（1）当时，
把代入，得，
解得；
把代入，得，满足题意；
．
（2）时，把代入，
得，
解得（舍去）；
∴无解；
（3）时，（即）
①把代入，得，
解得；
把代入，解得，满足要求（），
∴；
②把代入，
得，
解得；
把代入，解得，满足要求（），
∴．
综上，或．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
25．我们知道：抛物线y＝a（x+m）2+n（其中a，m、n是常数，且a≠0）可以由抛物线y＝ax2平移得到；类似的：y＝+n（其中k，m，n是常数，且k≠0）的图象也可以由反比例函数y＝的图象平移得到．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0），（0，3），点D是OA的中点．连接OB，CD交于点E，函数y＝+n的图象经过B，E两点．
（1）求此函数的解析式；
（2）过线段BE中点M的一条直线与此函数的图象交于P，Q两点（P在线段BC上方），若四边形BPEQ面积为16，求点P的坐标．
【答案】（1）函数的关系式为：y＝+2；（2）点P的坐标为（7，5）
【分析】（1）求出直线OB的关系式和直线CD的关系式，进而求出交点E的坐标，再把点E、B的坐标代入，求出k、n的值，即可确定函数关系式，
（2）求出点M的坐标，根据函数图象的平移规律和反比例函数的图象的对称性，可以得到三角形PMB的面积为四边形BPEQ面积的四分之一，再根据三角形PMB的面积与点P的坐标之间的关系列方程求解即可，
【详解】解：（1）由题意得，B（9，3），D（4.5，0），
设直线OB的函数关系式为y＝kx，将B（9，3）代入得，
9k＝3，解得，k＝，
∴y＝x，
设直线CD的关系式为y＝kx+b，把C（0，3）、D（4.5，0）代入得，
，解得，k＝﹣，b＝3，
∴y＝﹣x+3，
由题意的，
，解得，x＝3，y＝1，
∴E（3，1），
把B（9，3）、E（3，1）代入函数y＝+n得，
，解得，k＝3，n＝2，
∴函数的关系式为：y＝+2．
（2）∵E（3，1），B（9，3），M是BE的中点，
∴M（6，2）
根据反比例函数图象的对称性可知，MB＝ME，MP＝MQ，
∴四边形PEQB是平行四边形，
∴S△PMB＝S四边形PEQB＝4，
设点P的坐标为（x，+2），
由题意得，（+1）（9﹣x）＝4，
整理得，x2﹣4x﹣21＝0，
解得：x＝7，或x＝﹣3（舍去），
当x＝7时，+2＝5，
因此点P的坐标为（7，5）
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图象和性质，图形的平移以及一元二次方程的应用，将点的坐标转化为线段的长，用坐标表示面积，列出方程求解是常用的方法
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