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微专题01 反比例函数与几何综合通关专练
一、单选题
1．如图，直线分别与轴、轴交于C、D两点，与反比例函数的图像相交于点和点，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，连接MN、OA、OB．下列结论：
①；②；③四边形与四边形MNCA的周长相等；④．其中正确的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据待定系数法求出直线和反比例函数的解析式，得到CD点的坐标，由此求出DM、AM、CN、NB的长，然后根据SAS得到，然后根据M、N的求出MN的解析式，从而判断②，再根据①的结论和周长判断出③，最后根据三角形的面积判断④．
【详解】解：∵直线分别与轴、轴交于C、D两点，与反比例函数的图像相交于点和点
∴一次函数的解析式为y=-2x+5，反比例函数的解析式为：y=
∴C点为（，0），D点为（0，5）
∴DM=2，AM=1，CN=1，NB=2
∵AM⊥y轴，BN⊥x轴
∴，
故①正确；
由M（0，3），N（，0），求得MN的解析式为：y=-2x+3，
∴，故②正确；
∵四边形的周长=BA+AD+DM+MN+NB=（BA+AD+MN）+DM+NB=（BA+AD+MN）+4
四边形MNCA的周长=AM+AB+BC+MN+NC=（BA+BC+MN）+AM+NC=（BA+AD+MN）+2
∴四边形与四边形MNCA的周长不相等
故③不正确；
由OD=5，AM=1，可得=，由OC=，NB=2，可得==，可知，故④正确．
故选C．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，注意灵活运用．
2．如图，点A的坐标是（4，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数（x>0）的图象经过点B，则k的值是（ ）．
A．4 B．8 C．4 D．
【答案】C
【分析】首先过点B作BC垂直OA于C,根据AO=4，△ABO是等辺三角形，得出B点坐标，进而求出k的值.
【详解】
解：过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是(2,0) ，AO=4，
∵△ABO是等边三角形
∴OC= 2，BC=
∴点B的坐标是(2，),
把(2，)代入，得:
k=xy=
故选：C
【点睛】本题考查的是利用等边三角形的性质来确定反比例函数的k值．
3．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点M是边BC上一动点（不与B、C重合）．过点M的双曲线（x>0）交AB于点N，连接OM、ON．下列结论：
①△OCM与△OAN的面积相等；
②矩形OABC的面积为2k；
③线段BM与BN的长度始终相等；
④若BM=CM，则有AN=BN．
其中一定正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据k的几何意义对①②作出判断，根据题意对②作出判断，设点M的坐标（m，），点N的坐标（n，），从而得出B点的坐标，对③④作出判断即可
【详解】解：根据k的几何意义可得：△OCM的面积=△OAN的面积=，故①正确；
∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，没有其它条件，
∴矩形OABC的面积不一定为2k，故②不正确
∵设点M的坐标（m，），点N的坐标（n，），则B(n，)，
∴BM=n-m，BN=
∴BM不一定等于BN，故③不正确；
若BM=CM，则n=2m，
∴AN=，BN=，
∴AN=BN，故④正确；
故选：A
【点睛】考查反比例函数k的几何意义以及反比例函数图像上点的特征，矩形的性质，掌握矩形的性质和反比例函数k的几何意义是解决问题的前提．
4．如图，点是反比例函数的图象在第一象限上的一个动点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为点，且垂线分别交反比例函数的图象于点，连接，则下列说法不正确的是（ ）．
A．始终成立 B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，的几何意义，相似三角形的判定和性质，设点的横坐标为，分别用含有的代数式表示出，，，的坐标，进而表示出，，，的长,即可判断A,B选项，再推出，可判断C选项, 根据的几何意义可判断D选项.
【详解】解：轴，轴，
四边形为矩形，
设点的横坐标为，
点在函数上，点在上，
则点，点，点，点，
点的纵坐标为，
，
，
即点，
，，
故，A选项错误，符合题意；
,故B选项正确，不符合题意；
，，
，
又，
，
，
，故C选项正确，不符合题意；
，
故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
5．如图，点是反比例函数上的一个动点，点分别在轴、轴上．当点到所在直线距离最大时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点M作MB⊥AP，垂足为B，分析得出当AB最小时，MB最大，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，证明△PAN∽△AMO，得到AN=4PN，设PN=x，表示出点P坐标，代入反比例函数表达式，求出x值即可．
【详解】解：过点M作MB⊥AP，垂足为B，
可知△AMB为直角三角形，
∵AM固定不变，则当AB最小时，MB最大，
此时点B与点A重合，
过点P作PN⊥x轴，垂足为N，
∵∠MAP=90°，
∴∠PAN+∠MAO=90°，又∠PAN+∠APN=90°，
∴∠MAO=∠APN，又∠PNA=∠MOA=90°，
∴△PAN∽△AMO，
∴，即，
∴AN=4PN，
∴ON=AO+AN=2+4PN，设PN=x，
∴P（-2-4x，x），代入中，
得：，
解得：x=1或x=（舍），
∴P（-6，1），
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数综合，相似三角形的判定和性质，最短距离，解题的关键是分析出MB最小时的位置情况，从而构造相似三角形得到线段的关系．
6．如图，矩形的两条边、分别在、的正半轴上，另两条边、分别与函数（）的图像交于，两点，且是的中点，连接，，若的面积为3，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出E或F的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【详解】∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），则E的坐标为F（a，），
∵E为AB的中点，
∴E（a，b）
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴ab=k，
∵S△OEF=S矩形OCBA-S△AOE-S△OCF-S△BEF=，
∴，
解得：k=4，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
7．如图，正的顶点A在反比例函数(x＞0)的图象上，则点B的坐标为（ ）
A．(2，0) B．(，0) C．(2，0) D．(，0)
【答案】A
【分析】过点作轴于，根据已知条件知道是正三角形，然后设，则，这样点的坐标可以用表示，再把这点代入反比例函数的解析式就可以求出从而求出点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于，
是正三角形，
，
，
设，则，
点则坐标是，
把这点代入反比例函数的解析式就得到，
，
根据图象在第一象限，，
则，
，
则点的坐标为．
故选：A．
【点睛】此题综合考查了反比例函数的性质，正三角形等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
8．如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，点A在第一象限，点B在第二象限，且AO：BO＝1：2，若经过点A的反比例函数解析式为y＝，则经过点B（x，y）的反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可证明△AOC∽△OBD，由点A在y=上，可求得△AOC的面积，由相似三角形的性质可求得△BOD的面积，可求得答案．
【详解】
如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，垂足分别为C. D，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
设A点坐标为(xA,yA)，
∵点A在函数y=的图象上，
∴xAyA=1，
∴=xAyA=，
∴=4=2，
设B点坐标为(xB,yB)，
∴xByB=2，
∴xByB=4，
∴过B点的反比例函数的解析式为y= ，
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质和待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的性质并设出解析式.
9．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，AC垂直x轴于C，则△ABC的面积为( )
A．2 B．3 C．k D．k2
【答案】B
【分析】根据对称性即可得到AO=BO，再根据反比例函数系数k的几何意义，即可得到△AOC的面积，进而得到△ABC的面积为3．
【详解】解：∵反比例函数y= 与正比例函数y=kx（k＜0）的图象相交于A、B两点，
∴AO=BO，
∵AC垂直x轴于C，
∴△AOC的面积=×|-3|=，
∴△BOC的面积=，
∴△ABC的面积为3，
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是反比例函数系数k的几何意义的运用，解题时注意：过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
10．如图，的顶点A是双曲线上的动点，过点A作轴交双曲线于点C，顶点B在y轴上，下列说法正确的是（ ）
A．的周长存在最大值 B．的面积存在最小值
C．的周长始终不变 D．的面积始终不变
【答案】D
【分析】设点，由题意易得，，，然后问题可求解．
【详解】解：设点，
∵轴，
∴，
∴的高即为点A的横坐标，
∴，故D选项正确，B选项错误；
由两点距离公式可得，，
∴，
∴的周长由a、b的值决定，故A、C错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点B的坐标是，D是的中点，、交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据四边形是矩形，点B的坐标是，D是的中点，得到，，设直线的解析式为、的解析式为，，，得到直线的解析式为，的解析式为，联立，确定，根据函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，故反比例函数一定过点E关于x轴的对称点，继而确定解析式为，本题考查了反比例函数的解析式的确定，熟练掌握解析式的确定是解题的关键．
【详解】∵四边形是矩形，点B的坐标是，D是的中点，
∴，，
设直线的解析式为、的解析式为，
∴，，
解得，，
∴直线的解析式为，的解析式为，
联立，
解得，
∴，
∵函数的图象过点B．E．
∴，
解得，
∴，
∴，
故函数向左平移3个单位，再向下平移4个单位，可得反比例函数，
故选：D．
12．如图，A（1，2）、B（–1，–2）是函数的图象上关于原点对称的两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S = 2 B．S = 4 C．S = 8 D．S = 1
【答案】B
【分析】先根据A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的两点，BC∥x轴，AC∥y轴，可知AC⊥x轴，BC⊥y轴，故S△AOD=S△BOE=1，再根据A（1，2）、B（-1，-2）可知OD=1，CD=2，所以S矩形OECD=2，由S=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD即可得出结论．
【详解】
∵A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的两点，BC∥x轴，AC∥y轴，
∴AC⊥x轴，BC⊥y轴，四边形OECD是矩形，
∴S△AOD=S△BOE=1，
∵A(1,2)、B( 1, 2)，
∴OD=1，CD=2，
∴S矩形OECD=2，
∴S=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=1+1+2=4，
故答案选B.
【点睛】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数系数k的几何意义.
13．如图所示，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，轴，轴，的面积为S，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，根据题意得到，，再根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】解：设，则，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正确设出A、B坐标，进而表示出的长是解题的关键．
14．如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，，得出，根据，得出，根据平行线的性质，得出，得出等于点P到直线距离的倍，得出，得出的最小值即为的最小值，即当F、P、N三点共线时，最小，求出最值即可．
【详解】解：∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∵轴交直线于点M，
∴，
∴等于点P到直线距离的倍，
∵点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，
∴，
∴的最小值即为的最小值，
当F、P、N三点共线时，最小，
∴其最小值为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是求出，得出的最小值即为的最小值，是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中， 四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（4，0），顶点C在反比例函数y=的图像上，若 AO:OB=1：2且 AD:AB=1：2，则k的值是（ ）
A．32 B．35 C．40 D．42
【答案】C
【分析】过点C作轴于点E，先求出OA、OB的长，再根据矩形的性质得出，，然后根据相似三角形的判定证出，从而求出BE、CE的长，从而可得出点C的坐标，将其代入反比例函数的解析式即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作轴于点E
点A的坐标为，AO:OB=1：2
四边形ABCD是矩形，
，
又
，即
解得
点C的坐标为
将点代入反比例函数的解析式得：
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
二、填空题
16．已知：如图所示，矩形在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，反比例函数与直线交于点E，与直线交于点F．
（1）当F为边上中点时，则点E的坐标为 ；
（2）点在（1）中反比例函数图象上，使点P满足，则点P的横坐标m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）求出点F的坐标代入求出a的值，即可求出点E的坐标；
（2）根据点P满足∠OAC≤∠PCA≤∠ACO，可知当点P在点E时，∠OAC=∠PCA，此时m=2，又∠OAC≤∠PCA，可得m≤2，当∠PCA=∠ACO时，m的值最小，利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可求出m的最小值，从而确定m的取值范围．
【详解】解：（1）矩形OABC，O为坐标原点，点A（4，0），点C（0，2），
∴OA=BC=4，OC=AB=2，
∵F是AB的中点，
∴AF=BF=1，
∴点F（4，1）代入y=得，a=4，
∴
当y=2时，x=2，
∴点E（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）由（1）可知：点E（2，2），
当点P与点E重合时，∠OAC=∠PCA，此时m=2，
又∠OAC≤∠PCA，
∴点P在点E上方的双曲线上，即m≤2，
当∠PCA=∠ACO时，m的值最小，
如图，过点P作PM⊥BC于M，延长CP、AB交于H，
∵OC∥AB，
∴∠OCA=∠BAC，
∵∠PCA=∠OCA，
∴∠PCA=∠BAC，
∴CH=AH，
在Rt△HBC中，由勾股定理得，CH2=BC2+BH2，
即（BH+2）2=42+BH2，
解得BH=3，
由于PM∥BH，
∴
∴，即，
又∵，
∴
即3m2+8m-16=0，
解得m=或m=-4（舍去）
∴m的取值范围为：≤m≤2，
故答案为：≤m≤2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质是正确解答的前提，确定何时m的最大值和最小值是解决问题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上一点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，点C在第一象限，若点C在函数（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为 ．
【答案】/2.5
【分析】过点C作轴，可证≌，可得，即可求OM的长，由勾股定理可求AC的长，即可求的面积．
【详解】解：如图，过点C作CM⊥y轴，
∵点A的坐标为（0，1），
∴OA＝1
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝90°
∴∠CAM+∠OAB＝90°，且∠OAB+∠ABO＝90°
∴∠CAM＝∠ABO，且AC＝AB，∠CMA＝∠AOB＝90°
∴△AOB≌△CMA（AAS）
∴MC＝AO＝1
∴点C的横坐标为1，
∵若点C在函数（x＞0）的图象上，
∴当x＝1时，y＝3
∴OM＝3，
∴AM＝OM﹣OA＝2
∴AC＝
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是本题的关键．
18．如图，点在双曲线上，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交轴于点，交轴于点，连接.若，则的值为 ．
【答案】
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设AO与BC交于点N，易证，得，设AM=a，可得：MO=3a，由勾股定理，列出关于a的方程，求出a的值，进而的点A的坐标，即可求解．
【详解】过点A作AM⊥x轴于点M，设AO与BC交于点N，
∵由作图可知：BC垂直平分AO，
∴∠AOM+∠CON=∠CON+∠DCO=90°，，
∴∠AOM=∠DCO，
∵∠AMO=∠BOC=90°，
∴，
∴，
设AM=a，
∴，即：MO=3a，
∴BM=3a-1，
∵在RtABM中，AB2=AM2+BM2，
∴12=a2+（3a-1）2，解得：（舍去），
∴AM=，MO=，
∴A(-，)，
∵点在双曲线上，
∴k=（-）×=．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查中垂线的性质定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数图象上的点的坐标特征，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
19．已知点都在函数的图像上，若将这个函数图像向左平行个单位长度，则曲线所扫过的图形的面积是 ．
【答案】
【分析】将、两点代入函数解析式，求出、、，根据平移法则求出平移后、，求出平行四边形的面积即是曲线所扫过的图形的面积．
【详解】解：将、两点代入函数解析式，
得：，，
、、，
向左平行3个单位长度后 的对应点，的对应点．
平行四边形的底，高，
平行四边形的面积，
曲线所扫过的图形的面积平行四边形的面积．
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的面积计算和图形的平移，解题的关键是：将所求图形的面积转化为平行四边形的面积．
20．如图，，，，是等腰直角三角形，点，，，在函数的图象上，斜边，，，都在x轴上，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，用数形结合的方法解答反比例函数的综合性问题是解答本题的关键．分别过点，，作x轴的垂线段，，，垂足分别为点B，C，D，设，可得点的坐标为，代入求得a的值，从而得到点的坐标，再设，可求得点的坐标为，同样可求得b的值，得到点的坐标，同理可进一步求得点的坐标，最后根据点，，的坐标变化规律，即得点的坐标．
【详解】分别过点，，作轴，轴，轴，垂足分别为点B，C，D，
设，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标为，则，
解得，
，
，
点的坐标为，
设，可求得点的坐标为，
则，
解得，
，
即点的坐标为，
同理可求得点的坐标为，
点的坐标为．
21．如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线（）相交于点，过作轴于点，，在点右侧的双曲线上取一点，作轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】先求出点A、点B的坐标，设点M的坐标为（m，n），分两种情况：当△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出点M的坐标．
【详解】解：直线y=x+1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，
令x=0得y=1，令y=0得x=-2，
∴A（-2，0），B（0，1）．
设点M的坐标为（m，n），
∵点M在双曲线上，
∴n=．
当△MCH∽△BAO时，
可得，
即，
∴m-2=2n，即m-2=，
∴m2-2m-8=0，
解得：m1=4，m2=-2（舍去），
∴n==1，
∴M（4，1）；
当△MCH∽△ABO时，
可得，
即
整理得：2m-4=，
∴m2-2m-2=0，
解得：m1=1+，m2=1-（舍去），
∴n==-2，
∴M（1+，-2）．
综上，M（4，1）或M（1+，-2）．
故答案为（4，1）或（1+，-2）．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，一次函数图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点M的坐标然后分两种情况进行讨论是解本题的关键．
22．如图，已知反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，则：①的面积为 ；② ．
-
【答案】
【分析】设点，可得，进而可求的坐标，根据即可求解；②证即可求解．
【详解】解：①设点
由题意得：
∵均为图象上的点
∴
∴
②由①得：
∴
故答案为：①②
【点睛】本题考查了反比例函数得性质、相似三角形的判定与性质．根据反比例函数的解析式设点是解题关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝ 在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB＝BC，②AC＝BC，即可解题．
【详解】解：∵点B是y＝kx和y＝ 的交点，y＝kx＝，
∴点B坐标为（，4），
同理可求出点A的坐标为（，2），
∵BD⊥x轴，
∴点C横坐标为，纵坐标为，
∴BA＝，AC＝，BC＝3，
∴BA2﹣AC2＝3k＞0，
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
①AB＝BC，则＝3，
解得：k＝；
②AC＝BC，则
＝3 ，
解得：k＝；
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键．
24．如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、，分别在x轴和y轴的正半轴上，、横坐标相等，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则正方形的面积为 ，的坐标为 ．
【答案】 4
【分析】过点作轴于点C，根据正方形的性质，反比例函数的性质，构造一线三直角全等模型，一元二次方程的解法，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解方程是解题的关键．
【详解】过点作轴于点C，
正方形，
则， ，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵点、在反比例函数的图象上，且、横坐标相等，
设，则，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
故正方形的面积为4，
故答案为：4；
过点作轴于点D，过点作轴于点E，轴于点F，
∵正方形，
∴四边形是矩形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∵点、在反比例函数的图象上，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
故，
故答案为：．
25．如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段的中点，又D点在x轴上，且，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】设，则有，，根据函数解析式可知，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】设，
∵，
∴，，
由反比例函数可知：，
∵B为线段的中点，，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标与系数的关系，反比例函数的系数与图象面积的关系．关键是明确线段之间的关系．
三、解答题
26．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）将点和代入一次函数求出a、b的值，得出点，，将点代入，求出m的值即可；
（2）作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，当A、P、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，最后求出点P的坐标即可；
（3）设点D的坐标为，分三种情况进行讨论，为平行四边形的对角线，为平行四边形的边，且点A平移到点P，点B平移到点D，为平行四边形的边，且点A平移到点D，点B平移到点P，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：将点和代入一次函数得：
，
解得：，
∴点，，
将点代入，解得，即．
（2）解：作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，
∴，
∴，
当A、P、三点共线时，的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
把代入得：，
∴；
（3）解：设点D的坐标为，
当为平行四边形的对角线时，如图所示：
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴的中点也是的中点，
∴，
解得：，
∴此时点D的坐标为；
当为平行四边形的边，且点A平移到点P，点B平移到点D时，如图所示：
，
解得：，
∴此时点D的坐标为：；
当为平行四边形的边，且点A平移到点D，点B平移到点P时，如图所示：
，
解得：，
∴此时点D的坐标为：；
综上分析可知，点D的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数解析式，中点坐标公式，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，注意分类讨论．
27．如图，，均是等腰直角三角形，点，在反比例函数的图象上，直角顶点，均在轴上，求点的坐标．
【答案】
【分析】由△OAP是等腰直角三角形得到PA=OA，可以设P点的坐标是（a，a），然后把（a，a）代入解析式求出a=2，从而求出P的坐标，接着求出OA的长，再根据△ABC是等腰直角三角形得到BC=AB，可以设C的纵坐标是b，因而横坐标是b+2，把C的坐标代入解析式即可求出B的坐标．
【详解】解：如图，
∵△OAP是等腰直角三角形
∴PA=OA
∴设P点的坐标是（a，a）
∵点在函数的图象上，
∴．∴（，舍去）．
∴P的坐标是（2，2）
则OA=2
∵△ABC是等腰直角三角形
∴BC=AB
∴设C的纵坐标是b，
∴横坐标是b+2，
把C的坐标代入解析式，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为（，0）．
∴点C的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰直角三角形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
28．如图，一次函数y＝k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与反比例函数与反比例函数y＝的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOM的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣2x﹣2；y＝﹣；（2）S△AOM＝3；（3）存在．P点坐标为（﹣11，0）．
【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）过M点作MC⊥y轴于C，则MC＝3，根据三角形面积公式求得即可；
（3）先利用两点间的距离公式计算出AB＝，BM＝2，再证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出PB＝10，则OP＝11，于是可得到P点坐标．
【详解】（1）∵一次函数y＝k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣2；
把M（m，4）代入y＝2x﹣2得﹣2m﹣2＝4，
解得m＝﹣3，
则M点坐标为（﹣3，4），
把M（﹣3，4）代入y＝得k2＝﹣3×4＝﹣12，
所以反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）如图，过M点作MC⊥y轴于C，则MC＝3，
∵A（0，﹣2），
∴OA＝2，
∴S△AOM＝OA MC＝×2×3＝3；
（3）存在．
∵A（0，﹣2），B（﹣1，0），M（﹣3，4），
∴AB＝，BM＝＝2，
∵PM⊥AM，
∴∠BMP＝90°，
∵∠OBA＝∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴＝，即＝，
∴PB＝10，
∴OP＝11，
∴P点坐标为（﹣11，0）．
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质.
29．一次函数与反比例函数的图像交于，两点．求：
(1)的面积；
(2)根据图像，直接写出满足的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可以求得的值，从而可以求得点的坐标，求出直线的解析式，得到与轴的交点的坐标，从而可以求得的面积；
（2）观察图像求得即可．
【详解】（1）∵反比例函数的图像过点，两点，
∴，
∴，，
∴点，
∵一次函数过点，，
∴，解得，
∴，
当时，，得，
∴与轴的交点，
∵，，
∴，
故的面积是
（2）由图像可知，的解集为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，主要考查了待定系数法求解析式、函数图像上点的坐标特征、三角形的面积，解答本题的关键是数形结合．
30．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点B和A，与反比例函数的图像交于C、D，CE⊥x轴于点E，若OB=2OA，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）直线AB的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）8．
【分析】（1）先根据线段的长求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据直线AB的解析式可求出点C的坐标，最后利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）先联立两个函数的解析式求出点D的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得．
【详解】（1），
，点B的坐标为，
，
设直线AB的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线AB的解析式为，
，轴，且点C位于第二象限，
点C的横坐标为，
对于，
当时，，
即，
设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，解得，
则反比例函数的解析式为；
（2）由题意，联立，
解得或，
则点D的坐标为，
，
的OA边上的高为，的OA边上的高为6，
则，
故的面积为8．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、利用待定系数法求函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
31．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．
（1）求过点的反比例函数的解析式；
（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
【答案】（1）反比例函数解析式为；（2）直线的解析式为．
【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可．
【详解】过点A作轴，过B作轴，垂足分别为E，F，如图，
，，
∵四边形OABC是菱形，
，轴，
，
，
，
设过B点的反比例函数解析式为
把B点坐标代入得，k=32,
所以，反比例函数解析式为；
（2），
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得，，
设BD所在直线解析式为，
把，分别代入，得：
解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
32．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点(c，p)和(n，q)是反比例函数y＝图象上任意两点，且满足c＝n+1时，求的值．
(3)若点M(x1，y1)和N(x2，y2)在直线AB(不与A、B重合)上，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知x1＜-3，0＜x2＜1，当x1x2＝-3时，判断四边形NFEM的形状．并说明理由．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝，一次函数解析式为y＝x+2；（2）；（3）四边形MNFE为平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据反比例函数的定义，求出t的值，然后得到点A和点B的坐标，利用待定系数法进行求解，即可得到答案；
（2）根据反比例函数的定义，表示出c和n的值，由c＝n+1，代入计算，即可得到答案；
（3）先由点的坐标，得到ME和NF的长度，利用作差法证明两条线段相等，然后根据一组对边平行且相等即可证明是平行四边形.
【详解】解：（1）∵A(1，t+1)，B(t﹣5，﹣1)两点在反比例函数y＝的图象上，
∴t+1＝﹣(t﹣5)＝m，
即t+1＝5﹣t，
解得t＝2．
当t＝2时，A(1，3)，B(﹣3，﹣1)，
∴m＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝．
∵A、B在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x+2；
（2）∵点(c，p)和(n，q)在反比例函数y＝图象上，
∴cp＝nq＝m＝3
c=，n=
∵c＝n+1，
∴，
∴；
（3）四边形MNFE为平行四边形，
由题意可知，M(x1，x1+2)，N(x2，x2+2)，E(x1，)，F(x2，)，
即ME＝x1+2﹣，NF＝x2+2﹣，
∵ME﹣NF=(x1+2﹣)－(x2+2﹣)
即ME﹣NF=(x1﹣x2)(1+)
∵x1＜﹣3，0＜x2＜1，
∴x1﹣x2≠0，
∵x1x2＝﹣3
∴1+＝0，
∴ME﹣NF＝0，
即ME＝NF
又∵ME∥NF，
∴四边形MNFE为平行四边形
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，待定系数法求解析式，平行四边形的判定和性质，作差法证明线段相等，以及坐标与图形，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握所学的知识，对题目进行分析，从而得到参数之间的关系.
33．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点．
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式．
(2)设点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，请根据图象直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
（1）把B的坐标代入一次函数解析式求出b的值，再把A的坐标代入一次函数解析式求出a的值，最后把A的坐标代入反比例函数解析式求解即可；
（2）确定n的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，
∴，
∴或，
当时，；当时，，
由图象可知，若点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，则m的取值范围为或．
34．如图，直线与在第一象限内的交于点，且．
（1）求，的值；
（2）A为正半轴上的点，B为直线上的一点，C为平面内一点；
①当四边形OABC是以点P为对角线交点的矩形时，求直线AC的解析式；
②当四边形OABC是以点P为对角线交点的菱形时，直接写出点A、C的坐标，并判断点C是否在上．
【答案】（1）a=4，k=8；（2）① ②A（5,0）；B（3,4）；不在
【分析】（1）直接根据勾股定理即可求得a，进而得到P点坐标，即可求解．
（2）①根据矩形的性质即可得出A点和C点坐标，再用待定系数法即可求解；
②作BD⊥x轴，点D为垂足，易得，即可求解．
【详解】（1）解：
解得：；（舍去）
∴代入中，得：
综上，a=4，k=8；
（2）①解：如图，点P是矩形OABC对角线的交点，即矩形的中心，
∴
∴
设将A、C两点代入，可得：
所以
②解：如图，点P是菱形OABC对角线的交点，作BD⊥x轴，点D为垂足，
∵P（4,2）
∴
∵∠APO=∠ODB，∠AOP=∠BOD
∴
∴
∴
OA=5
∴A（5,0）；C（3,4）
把x=3代入中，
∴点C不在的图象上．
【点睛】此题主要考查勾股定理、矩形和菱形的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握函数与几何综合是解题关键．
35．如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线 上的一动点，轴于，交线段于，轴于，交线段于．
(1)点E的坐标为 ，点F的坐标为 (用a，b的式子表示)；
(2)当点运动且线段、均与线段有交点时，在下列个问题中任选一题探究；
①与是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由；
②、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．
(3)的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①与一定相似，理由见解析，②BE、EF、FA这三条线段能组成一个直角三角形，理由见解析
(3)的大小不变，为
【分析】（1）根据点的坐标得出的纵坐标以及的横坐标，分别代入一次函数即可求解；
（2）①根据（1）的坐标，得出，继而得出，又，即可判断，继而证明；
②根据点的坐标得出，根据勾股定理的逆定理来进行判断即可求解；
（3）同（2）①得，得出，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，
，，
故答案为：，；
（2）①与一定相似，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
② ，
，
点在 上，
，
，
，
、、这三条线段能组成一个直角三角形；
（3）的大小不变，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的大小不变，为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，勾股定理及其逆定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
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微专题01 反比例函数与几何综合通关专练
一、单选题
1．如图，直线分别与轴、轴交于C、D两点，与反比例函数的图像相交于点和点，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，连接MN、OA、OB．下列结论：
①；②；③四边形与四边形MNCA的周长相等；④．其中正确的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点A的坐标是（4，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数（x>0）的图象经过点B，则k的值是（ ）．
A．4 B．8 C．4 D．
3．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点M是边BC上一动点（不与B、C重合）．过点M的双曲线（x>0）交AB于点N，连接OM、ON．下列结论：
①△OCM与△OAN的面积相等；
②矩形OABC的面积为2k；
③线段BM与BN的长度始终相等；
④若BM=CM，则有AN=BN．
其中一定正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②④ D．①③④
4．如图，点是反比例函数的图象在第一象限上的一个动点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为点，且垂线分别交反比例函数的图象于点，连接，则下列说法不正确的是（ ）．
A．始终成立 B． C． D．
5．如图，点是反比例函数上的一个动点，点分别在轴、轴上．当点到所在直线距离最大时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形的两条边、分别在、的正半轴上，另两条边、分别与函数（）的图像交于，两点，且是的中点，连接，，若的面积为3，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，正的顶点A在反比例函数(x＞0)的图象上，则点B的坐标为（ ）
A．(2，0) B．(，0) C．(2，0) D．(，0)
8．如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，点A在第一象限，点B在第二象限，且AO：BO＝1：2，若经过点A的反比例函数解析式为y＝，则经过点B（x，y）的反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，AC垂直x轴于C，则△ABC的面积为( )
A．2 B．3 C．k D．k2
10．如图，的顶点A是双曲线上的动点，过点A作轴交双曲线于点C，顶点B在y轴上，下列说法正确的是（ ）
A．的周长存在最大值 B．的面积存在最小值
C．的周长始终不变 D．的面积始终不变
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点B的坐标是，D是的中点，、交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，A（1，2）、B（–1，–2）是函数的图象上关于原点对称的两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S = 2 B．S = 4 C．S = 8 D．S = 1
13．如图所示，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，轴，轴，的面积为S，则（ ）
A． B． C． D．
14．如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中， 四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（4，0），顶点C在反比例函数y=的图像上，若 AO:OB=1：2且 AD:AB=1：2，则k的值是（ ）
A．32 B．35 C．40 D．42
二、填空题
16．已知：如图所示，矩形在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，反比例函数与直线交于点E，与直线交于点F．
（1）当F为边上中点时，则点E的坐标为 ；
（2）点在（1）中反比例函数图象上，使点P满足，则点P的横坐标m的取值范围是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上一点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，点C在第一象限，若点C在函数（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为 ．
18．如图，点在双曲线上，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交轴于点，交轴于点，连接.若，则的值为 ．
19．已知点都在函数的图像上，若将这个函数图像向左平行个单位长度，则曲线所扫过的图形的面积是 ．
20．如图，，，，是等腰直角三角形，点，，，在函数的图象上，斜边，，，都在x轴上，则点 的坐标是 ．
21．如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线（）相交于点，过作轴于点，，在点右侧的双曲线上取一点，作轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标是 ．
22．如图，已知反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，则：①的面积为 ；② ．
-
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝ 在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．
24．如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、，分别在x轴和y轴的正半轴上，、横坐标相等，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则正方形的面积为 ，的坐标为 ．
25．如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段的中点，又D点在x轴上，且，则的面积为 ．
三、解答题
26．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
27．如图，，均是等腰直角三角形，点，在反比例函数的图象上，直角顶点，均在轴上，求点的坐标．
28．如图，一次函数y＝k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与反比例函数与反比例函数y＝的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOM的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
29．一次函数与反比例函数的图像交于，两点．求：
(1)的面积；
(2)根据图像，直接写出满足的解集．
30．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点B和A，与反比例函数的图像交于C、D，CE⊥x轴于点E，若OB=2OA，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
31．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．
（1）求过点的反比例函数的解析式；
（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
32．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点(c，p)和(n，q)是反比例函数y＝图象上任意两点，且满足c＝n+1时，求的值．
(3)若点M(x1，y1)和N(x2，y2)在直线AB(不与A、B重合)上，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知x1＜-3，0＜x2＜1，当x1x2＝-3时，判断四边形NFEM的形状．并说明理由．
33．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点．
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式．
(2)设点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，请根据图象直接写出m的取值范围．
34．如图，直线与在第一象限内的交于点，且．
（1）求，的值；
（2）A为正半轴上的点，B为直线上的一点，C为平面内一点；
①当四边形OABC是以点P为对角线交点的矩形时，求直线AC的解析式；
②当四边形OABC是以点P为对角线交点的菱形时，直接写出点A、C的坐标，并判断点C是否在上．
35．如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线 上的一动点，轴于，交线段于，轴于，交线段于．
(1)点E的坐标为 ，点F的坐标为 (用a，b的式子表示)；
(2)当点运动且线段、均与线段有交点时，在下列个问题中任选一题探究；
①与是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由；
②、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．
(3)的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．
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