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专题01 反比例函数
考点类型
知识一遍过
（一）反比例函数概念
（1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y=；②y=kx-1;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
（二）反比例函数图像性质
反比例函数
的符号
所在象限 一、三象限 二、四象限
大致图像
增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。
对称性 图像关于原点对称
（三）k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为.
（2）常见的面积类型：
考点一遍过
考点1：反比例函数概念
典例1：2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知是关于的反比例函数，则 ．
【变式3】当 时，函数是反比例函数．
考点2：求函数值、求自变量
典例2：反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ）
A．3 B． C．12 D．
【变式2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ．
【变式3】如图，点，分别在双曲线和上，轴，作轴于点，交于点．若，则的值是 ．
考点3：反比例函数的增减性
典例3：在下列函数中，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若直线经过第二、四象限，则函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
【变式2】如果反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，那么满足的条件是 ．
【变式3】在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）．
考点4：反比例函数的对称性
典例4：若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＞0；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也一定在图象上．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④
【变式2】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ．
考点5：k的几何意义求图形面积
典例5：如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．
【变式3】已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．
考点6：由图形面积求解解析式
典例6：如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是2和4，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点作轴于点，延长至点，使，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为 ．
【变式3】如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则 ．
考点7：求反比例函数解析式
典例7：很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．
(1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？
(2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？
【变式1】如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F.
(1)若点B坐标为，求m的值；
(2)若，求反比例函数的表达式
【变式2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点A
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接比较；当时，与的大小．
【变式3】如图，B，C是反比例函数在第一象限图象上的点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，，．
(1)求点C的坐标及此反比例函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
考点8：反比例函数与几何综合
典例8：如图，为等边三角形，点A为．若双曲线（，k为常数）经过的中点D，交于E．
(1)求k的值；
(2)若第一象限的双曲线（）与没有交点，求m的取值范围；
(3)将向左平移几个单位，使点B恰好落在（1）中的双曲线上，求n的值．
【变式1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标．
【变式2】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点 和都在反比例函数的图像上．
(1)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．）
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专题01 反比例函数
考点类型
知识一遍过
（一）反比例函数概念
（1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y=；②y=kx-1;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
（二）反比例函数图像性质
反比例函数
的符号
所在象限 一、三象限 二、四象限
大致图像
增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。
对称性 图像关于原点对称
（三）k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为.
（2）常见的面积类型：
考点一遍过
考点1：反比例函数概念
典例1：2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由总量=vt，求出v即可．
【详解】解（1）∵vt=106，
∴v=，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式1】下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数，根据反比例函数的定义：把形如的函数叫反比例函数，即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，故是反比例函数；
∵，
∴，故是反比例函数；
∵，
∴，故是反比例函数；
不是反比例函数；
∴是的反比例函数有，
故选：．
【变式2】已知是关于的反比例函数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
∴，
故答案为：．
【变式3】当 时，函数是反比例函数．
【答案】1
【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键．
考点2：求函数值、求自变量
典例2：反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了判断点是否反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为，则，
、当时，，图象一定经过点，符合题意；
、当时，，图象不经过点，不符合题意；
、当时，，图象不经过点，不符合题意；
、当时，，图象不经过点，不符合题意；
故选：．
【变式1】已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ）
A．3 B． C．12 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点代入得：
．
故选：B．
【变式2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和，
∴，，
又∵，
∴，
即；
即的值为．
故答案为：．
【变式3】如图，点，分别在双曲线和上，轴，作轴于点，交于点．若，则的值是 ．
【答案】9
【分析】先求解A的坐标，再表示B的坐标，再证明利用相似三角形的性质列方程求解即可．
【详解】解： 点，分别在双曲线和上，轴，
轴，
轴，
而，
解得：
故答案为：9
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“反比例函数的图像与性质”是解本题的关键．
考点3：反比例函数的增减性
典例3：在下列函数中，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．
根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、随的增大而增大，不符合题意；
B、 ，随的增大而增大，不符合题意；
C、，在每个象限内，随的增大而减小，不符合题意；
D、随的增大而减小，符合题意；
故选：D．
【变式1】若直线经过第二、四象限，则函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
【答案】B
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，根据当时，反比例函数的图象经过第二、四象限求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：B．
【变式2】如果反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，那么满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的图像与性质是解题关键．对于反比例函数，当时，该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，该反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式3】在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．由反比例函数的可知，，函数的图象在二四象限，随的增大而增大，由此进行判断．
【详解】解：由反比例函数的可知，，当时，随的增大而增大，
当时，则，
又在第二象限，，
，
故答案为：．
考点4：反比例函数的对称性
典例4：若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点成中心对称，可求另一个交点的坐标．
【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点成中心对称，且一个交点为（a，b），
∴另一个交点的坐标（-a，-b），
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用中心对称的性质解决问题是本题的关键．
【变式1】反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＞0；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也一定在图象上．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象可知，m＞0，故①正确；
当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；
将A（-1，h），B（2，k）代入y＝得到h=-m，2k=m，
∵m＞0，
∴h＜k，故③正确；
将P（x，y）代入y＝得到m=xy，将P′（-x，-y）代入y＝得到m=xy，
若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【变式2】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是，
故答案为：．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ．
【答案】0
【分析】根据反比例函数与正比例函数都是中心对称图形可得x1＝ x2，然后求解即可．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，
∴x1＝ x2，
∴x1＋x2＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键．
考点5：k的几何意义求图形面积
典例5：如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故选：A．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设，可表示出点坐标，便得和的长，即可得平行四边形的面积．
【详解】解：设，
∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴平行四边形的面积，
故选：D．
【变式2】如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案．
【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上，
∴，
设，
∴，，
∴．
故答案为：．
【变式3】已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，根据轴可得，，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴
∴
故答案为：．
考点6：由图形面积求解解析式
典例6：如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是2和4，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，根据反比例函数性质，得到，用k表示梯形的面积计算即可．
本题考查了反比例函数的性质，梯形的面积公式，等积变形，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，
根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵A，B的纵坐标分别是2和4，
∴，，
∵的面积是6，则k的值是
∴，
解得，
故选B．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，先根据反比例函数几何意义求出，再根据得到，最后根据求得，从而得到k的值．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，轴，轴，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【变式2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点作轴于点，延长至点，使，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，利用三角形面积公式得到，则，于是可根据反比例函数的比例系数的几何意义得到的值．
【详解】解：连接，如图，
，
，
，
轴于点，轴，两坐标轴互相垂直，
四边形为矩形，
，
．
故答案为：4．
【变式3】如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，根据题意可得：，结合的面积，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∵的面积，
∴；
故答案为：10．
考点7：求反比例函数解析式
典例7：很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．
(1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？
(2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？
【答案】(1)0.5米
(2)25度
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式为，再把代入求解即可；
（2）把代入，求得，再作差即可求解．
【详解】（1）解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为，
由图可得，当时，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米．
（2）解：当时，，
∴（度），
答：明明的眼镜度数下降了25度．
【变式1】如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F.
(1)若点B坐标为，求m的值；
(2)若，求反比例函数的表达式
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求反比例函数、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握反比例函数的定义成为解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得E两点坐标，再根据反比例函数的特征求解即可；
（2）根据勾股定理可得的长，根据线段的和差可得，可得F点坐标，再根据根据待定系数法求得m的值即可．
【详解】（1）解：点B坐标为，，E是的中点，
∴点，
函数图象经过E点，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
设E点坐标为，则F点坐标为，
∵E，F两点在函数图象上，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴．
【变式2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点A
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接比较；当时，与的大小．
【答案】(1)，
(2)当时，；当时，；当时，.
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，还考查待定系数法求函数解析式．
（1）先根据一次函数的图象经过点求出m的值，得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析求出k值，即可得到反比例函数的表达式；
（2）根据当时，反比例函数和一次函数的图象位置进行解答即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴.
解得.
∴点A的坐标为．
∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得.
∴反比例函数的表达式为.
（2）由于点A坐标为，故由图象可知：
当时，；
当时，；
当时，.
【变式3】如图，B，C是反比例函数在第一象限图象上的点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，，．
(1)求点C的坐标及此反比例函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
【答案】(1)点的坐标为；反比例函数的图象为
(2)点的坐标为
【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
（1）根据直线求出点坐标，进而确定的值，再确定点的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式，求出其正数解即为在第一象限的交点的坐标．
【详解】（1）解：当时，即，
，
即直线与轴交于点的坐标为，
，
又∵，
∴点的坐标为，
而点在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的图象为；
（2）解：联立反比例函数和一次函数解析式得方程组，
解得正数解为，
∴点的坐标为．
考点8：反比例函数与几何综合
典例8：如图，为等边三角形，点A为．若双曲线（，k为常数）经过的中点D，交于E．
(1)求k的值；
(2)若第一象限的双曲线（）与没有交点，求m的取值范围；
(3)将向左平移几个单位，使点B恰好落在（1）中的双曲线上，求n的值．
【答案】(1)
(2)或；
(3)
【分析】（1）如图，过点B、点D分别作x轴的垂线，垂足为C、F，利用等边三角形的性质与勾股定理可得，再进一步可得答案；
（2）由（1）可得点，当双曲线过点时，，由（1）可得：过时，此时；从而可得答案；
（3）由（1）的反比例函数为：，当时， 可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：如图，过点B、点D分别作x轴的垂线，垂足为C、F，
∵点A为．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：由（1）可得点，
当双曲线过点时，，
由（1）可得：过时，
此时；
∴第一象限的双曲线与没有交点，则m的取值范围为
或；
（3）解：∵（1）的反比例函数为：，
当时，即，
解得，
∴向左平移的距离为，
即．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，反比例函数的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，平移的性质，掌握基础知识是解本题的关键．
【变式1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为
(2)点的坐标为
(3)点的坐标为
【分析】本题考查了反比例函数图像与一次函数图像的交点问题、用待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数图像上点的坐标特征，难度适中．求出一次函数的解析式是解题的关键．
（1）把点的横坐标代入反比例函数中，可以求出点的纵坐标，再把点的横纵坐标代入一次函数中，以此即可求解；
（2）设点，则点，代入中可求出的值，以此即可求解．
（3）根据待定系数法求出直线的解析式，再根据两直线平行以及经过点，再求出直线的解析式即可求解；
【详解】（1）解：∵横坐标为3的点在反比例函数的图像上，
，
∴点的坐标为，
将代入，
得，
，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设点，
∵，
则点，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
解得：，
∵根据题意点在第一象限内，
∴点的坐标为．
（3）解：由（1）（2）知点的坐标为，点的坐标为，点，
∴设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
则，解得：，
故直线的解析式为，
令，则，
故点的坐标为．
【变式2】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键．
（1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标．
（2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标．
【详解】（1）解：四边形是矩形
为的中点，点B的坐标为
点E的坐标为
点E在反比例函数上
∴反比例函数的解析式为：，
∴当时，则
∴点D的坐标为
（2）由（1）可得
为的中点
①若时，
则
即：
点F的坐标为
②若时，
则
即：
点F与点O重合
点F的坐标为
综上所述，点F的坐标为或
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点 和都在反比例函数的图像上．
(1)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．）
【答案】(1)存在，点的坐标为；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（答案不唯一）
【分析】（）由是定值，则最小即为的周长最小，利用轴对称可解决问题；
（）根据题意，提出问题即可；
本题考查了一次函数和反比例函数的性质，利用轴对称的性质求最小值问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：存在；
如图，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为；
（2）解：在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由，
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为．
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