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专题02 反比例函数的应用
考点类型
知识一遍过
（一）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：
方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
（二）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点一遍过
考点1：一次函数与反比例函数——交点问题
典例1：在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位长度后与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点B．若的图象在点之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内恰有5个整点（点的横坐标和纵坐标均为整数），则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，一次函数与反比例函数相交于点和点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式2】直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ．
【变式3】如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则k的值是 ．
考点2：一次函数与反比例函数——几何问题
典例2：如图，若一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【变式1】一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，直线交轴于点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)过点作轴，垂足为，连接交轴于点，求的面积S．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、两点，与双曲线交于点C、D两点，．
(1)分别求直线与双曲线的解析式；
(2)连接并延长交双曲线于点E，连接、，求的面积．
【变式3】三角形的面积为4，是边上的高，设，．
(1)y与x之间满足什么函数关系 请写出解析式并画出其函数图象；
(2)若y与x之间还满足且与（1）中函数交于点和点B．求b的值，并直接写出B点坐标；
(3)连接、，在y轴上找一点P，使得，写出P点坐标．
考点3：一次函数与反比例函数——实际问题
典例3：小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？
【变式1】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
【变式2】某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
(1)该企业4月份的生产数量为多少万支？
(2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
【变式3】为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x（分） 6 12 18 24
空气中的含药量y（毫克/立方米） 12 6 4 3
(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；
(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
考点4：反比例函数实际应用——物理问题
典例4：已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式．
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．
【变式1】某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．
(1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式．
______ ______
(2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？
(3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ．
120 100 60 50 40 30
5 6 10 12 15 20
【变式2】阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
桌面所受的压强 600 400 300 250 200 150
第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为 ．
【变式3】阅读以下素材，探索完成任务．
极地探索，冰面行走是否安全？
素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等．
素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数．
素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为．
解决问题
任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式；
任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面；
任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区．
考点5：反比例函数实际应用——图像问题
典例5：综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量
素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ．
(1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证．
(2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．
【变式1】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知关于体积与密度的部分数据如下表：
体积 1 2 3 4 5 6
密度 10 5 3.33 2.5 2 1.67
(1)画出相应的函数图象，并求出函数解析式；
(2)求当时，函数的值，并说明这个值的实际意义．
【变式2】视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 当检测距离为5米时，根据图1中数据，求出视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长b．
素材2 图2为标准视力对照表，在检测视力时，眼睛能看清的最小“E”形图所对应的视力值n往往可以判断视力情况，近年来，随着电子产品的普及化，我国青少年近视现象越来越普遍，视力测试中大多青少年的视力值n低于1.0，属于视力不良． 探究2 视力测试中，当检测距离为5米时，低度近视区的视力值n的范围为，根据函数增减性直接写出低度近视的人眼睛能看清的最小“E”形图的边长范围．
素材3 图3为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．如图4，当θ确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为2.5米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【变式3】小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？
考点6：反比例函数实际应用——表格问题
典例6：某数学小组在“探究密闭容器内容器体积与气体密度关系”实验中，固定密闭容器内一定质量的二氧化碳，得到下表中体积与密度的几组对应值．根据学习函数的经验，他们对体积与密度之间的函数关系进行探究．
… 2 3 4 5 6 …
… 6 4 a 2.4 2 …
(1)根据表中数据，求密度关于体积的函数解析式并求出a的值．
(2)若直线与上述探究的函数图像交于点A，B（点A在点B的左边），在段的双曲线上是否存在点D，使得的面积最大．若存在，求出点D，若不存在，说明理由．
【变式1】某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系．
（元）
（个）
(1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式；
(2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？
【变式2】越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：
t（小时） 2 1.5 1.2 1
v（千米/小时） 12 16 20 24
(1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；
(2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由；
(3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量．
【变式3】年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，与之间有如表关系：
厘米
米
请根据表中的信息解决下列问题：
(1)直接写出与之间的函数表达式是 ；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 米；
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
考点7：反比例函数实际应用——销售问题
典例7：2023年8月8日，成都大运会闭幕式在成都露天音乐公园举行．成都露天音乐公园是一座以音乐为主题，集文化艺术、休闲娱乐、旅游观光等功能为一体的大型城市公园，公园的整体景观设计融入了太阳神鸟文化、天府文化、凤凰文化、古蜀音乐文化，同时其具国际化风格．王华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷蓉宝手办，在销售过程中发现：每天的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．设销售这款手办的日利润为（元）．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)求与之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件手办的售价为多少元？
【变式1】某校组织学生到某品牌运动鞋直销店参加社会实践活动，他们参与了该品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的成本价为130元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
售价（元/双） 225 300 375 450
销售量（双） 40 30 24 20
(1)观察表中数据，求出与函数关系式；
(2)在（1）的条件下，若直销店计划每天的销售利润为4500元，则其售价应定为多少元？
【变式2】某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台成本为5万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；
信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第5场浮动价与销售场次成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据：
（场） 2 5 10
（万元） 7 10 7.5
(1)求销售量与销售场次之间的函数关系式；
(2)求销售单价与销售场次之间的函数关系式；
(3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【变式3】丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：
（千米/小时） 50 60 75 80
（小时） 6 5 4 3.75
(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；
(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．
考点8：反比例函数实际应用——工程问题
典例8：市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若工期要求在100天内完成，公司每天至少要运送多少立方米土石方？
【变式1】南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【变式2】在李村河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（天）与每天完成的工程量（天）的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
请根据题意，求与之间的函数表达式；
若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内（按天计算）完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【变式3】市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106 立方米，某运输公司承办了该项工程运送土石方的任务．
(1)写出运输公司平均每天的工作量v(米3/天)与完成运送任务所需的时间t(天)之间的函数解析式；
(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104 立方米，则公司完成全部运输任务需要多长时间？
(3)当公司以问题(2)中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？
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专题02 反比例函数的应用
考点类型
知识一遍过
（一）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：
方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
（二）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点一遍过
考点1：一次函数与反比例函数——交点问题
典例1：在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位长度后与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点B．若的图象在点之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内恰有5个整点（点的横坐标和纵坐标均为整数），则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，画图根据区域内恰有5个整点，即可确定的取值范围．本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
【详解】解：将直线向上平移个单位长度，
设直线，
的图象在点之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内恰有5个整点（点的横坐标和纵坐标均为整数），如图所示：
当直线过时，；当直线过时，，
区域内恰有5个整点，的取值范围是．
综上所述，区域内恰有5个整点，的取值范围是．
故选：A．
【变式1】如图，一次函数与反比例函数相交于点和点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像与交点问题，先求出m值，观察图象，在上方的函数图象所对应函数值较大，据此得到对应的自变量取值范围是不等式的解集，会利用函数图象解不等式是解题的关键．
【详解】把点代入得：
，
解得，
由图象可得不等式的解集是或，
故选A．
【变式2】直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ．
【答案】10
【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键．
先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：∵点是双曲线上的点，
，
∵直线与双曲线交于点两点，
即两点关于原点对称．
，
，
故答案为：10．
【变式3】如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则k的值是 ．
【答案】/
【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，分别算出函数图像交点的坐标，再根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，代入方程求解即可得到答案．本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，
解得，
即
分别代入
得
∴
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，
解得，
即
分别代入
得
∴
∵
∴点关于点O对称；点关于点O对称；
∴
∴四边形是平行四边形，
，
直线与轴交于点，
当时，，即，
，即，
解得，
故答案为：．
考点2：一次函数与反比例函数——几何问题
典例2：如图，若一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)7.5
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）构建方程组求出交点的坐标，令直线交轴于，再由计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在直线上，
∴，
∴，
把代入得到，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：由，
解得或，
∴，
在中，当时，，即令直线交轴于，
∴．
【变式1】一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，直线交轴于点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)过点作轴，垂足为，连接交轴于点，求的面积S．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形面积公式，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式是解此题的关键．
（1）把代入反比例函数可得的值，即可确定反比例函数解析式；再把代入反比例函数解析式得出的值，最后利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）由函数图象即可得出答案；
（3）先确定出点的坐标，求出直线的解析式，从而得出点的坐标，求出点的坐标得出的长度，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入反比例函数得，，
所以反比例函数的解析式为；
把代入得，，
解得，
所以点坐标为，
把和代入一次函数得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象，不等式的解集为或；
（3）解：∵轴，垂足为，，
∴点坐标为．
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点坐标为，
∵直线的解析式为，
∴直线与x轴交点的坐标为，
∴，
∴的面积．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、两点，与双曲线交于点C、D两点，．
(1)分别求直线与双曲线的解析式；
(2)连接并延长交双曲线于点E，连接、，求的面积．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
(2)8
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）将B点坐标代入直线解析式求出b值即可得到一次函数解析式；利用相似可得长，从而得到点C坐标，继而得到反比例函数解析式；
（2）联立方程组求出点D坐标，利用直线解析式求出A点坐标，根据中心对称图形性质，继而代入数据计算即可．
【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点，
∴，
∴一次函数解析式为，
如图，作轴，垂足为E，
∵，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
在函数中，当时，，
∴，
∴
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立方程组，解得，，
∴，
在直线中，当时，，
∴，
根据反比例函数关于原点成中心对称图形，
∴，
∴．
【变式3】三角形的面积为4，是边上的高，设，．
(1)y与x之间满足什么函数关系 请写出解析式并画出其函数图象；
(2)若y与x之间还满足且与（1）中函数交于点和点B．求b的值，并直接写出B点坐标；
(3)连接、，在y轴上找一点P，使得，写出P点坐标．
【答案】(1)反比例函数，，函数图象见详解
(2)，
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及几何面积的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式进行列式，化简得，结合反比例函数的定义以及图象性质，即可作答．
（2）把代入，得，然后把代入，得，结合题意，得，则；
（3）先算出与坐标轴的交点，再运用割补法求出，结合，列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵三角形的面积为4，是边上的高，设，．
∴
∴；
∴y与x之间满足反比例函数关系；
其函数的图象如下：
（2）解：依题意，把代入
得，
∴
把代入，得出
∴
∴
∵y与x之间还满足且与（1）中函数交于点和点B，
如图所示：
∴
∴
∴
∴，
（3）解：如图：
当的，
∴
当的，
∴
∴
∵连接、，在y轴上找一点P，使得
∴
∴
∴
考点3：一次函数与反比例函数——实际问题
典例3：小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？
【答案】(1)
(2)
(3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃
【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案；
（2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案；
（3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案．
【详解】（1）解：设将、代入得
解得
水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为；
（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即，
故，
当时，
解得：；
（3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，
到经历286分钟，，
当时，
答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃．
【变式1】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
【答案】(1)20摄氏度
(2)
(3)小时
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键．
（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，
根据题意，可得，
解得，
直线，
当时，，
恒定温度为：；
（2）由（1）可知：一次函数解析式为，
根据图象可知：，
设小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
，
函数解析式为：，
小时函数解析式为：；
（3）当时，，
，
当时，，
，
在时时内有个小时气温是低于的，
气温低于的总时间为：，
气温高于的适宜温度是：．
【变式2】某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
(1)该企业4月份的生产数量为多少万支？
(2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
【答案】(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支
(2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，得，
∴，
当时，，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为,
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为，
，
解得，
经检验符合题意，
∵x为正整数，
∴，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【变式3】为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x（分） 6 12 18 24
空气中的含药量y（毫克/立方米） 12 6 4 3
(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；
(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
【答案】(1)见解析
(2)它们在同一个反比例函数图象上，反比例函数解析式为y＝
(3)此次消毒能有效杀灭空气中的病菌
【分析】（1）根据表格中的x、y的值分别为点的横纵坐标描点即可；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．设反比例函数解析式为，将（6，12）代入解析式求出k即可；
（3）把y＝8代入y＝2x得x＝4，把y＝8代入y＝得x＝9，计算9﹣4＝5＞4，即可判断此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．
设反比例函数解析式为，
把（6，12）代入解析式得：k＝12×6＝72，
∴反比例函数解析式为y＝，
分别把（12，6），（18，4），（24，3）代入y＝中，
都满足函数解析式，
∴这些点都在反比例函数y＝的图象上；
（3）把y＝8代入y＝2x得，8＝2x，
∴x＝4，
把y＝8代入y＝得，
＝8，
∴x＝9，
∵9﹣4＝5＞4，
∴此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
【点睛】此题考查了求函数解析式，反比例函数图象的性质，反比例函数的实际应用，正确掌握反比例函数图象上点的特点求出反比例函数解析式是解题的关键．
考点4：反比例函数实际应用——物理问题
典例4：已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式．
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可；
（2）把，分别代入解析式求出对应的R，然后结合函数图象即可得出结果．
【详解】（1）解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为，
由图象知，函数图象过点，
∴，解得，
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，解得，
当时，，解得，
观察图形可知：，
即该小组确定这时电阻值的范围为．
【变式1】某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．
(1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式．
______ ______
(2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？
(3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ．
【答案】(1)100，40，图见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据反比例函数中为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可；
（2）求出，结合（1）可得的值；
（3）用表示出，再代入得关于的不等式组，即可解得答案．
【详解】（1），，补全表格如下：
120 100 60 50 40 30
5 6 10 12 15 20
阻值与压力的函数关系式为；
故答案为：100，40；
（2）电流表的示数为时，，
解得，
把代入得：
，
解得，
该台秤最大可称的物体；
（3），，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解，，，的关系．
【变式2】阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
桌面所受的压强 600 400 300 250 200 150
第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为 ．
【答案】(1)第四组的压强250错了，p关于S的函数表达式为；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）计算每组的压强判断出第四组错了；
（2）将格点在坐标系中描点，再连线作图；
（3）代入，即可求出，解答此题．
【详解】（1）解：通过数据发现：与p的积都是定值，第四组的压强错了，
设，
把代入得，，
故p关于S的函数表达式为；
（2）解：根据数据描点，连线即可；
（3）解：令代入关系中，，
长方体A的受力面积至少为．
【变式3】阅读以下素材，探索完成任务．
极地探索，冰面行走是否安全？
素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等．
素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数．
素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为．
解决问题
任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式；
任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面；
任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区．
【答案】任务1：；任务2：极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面；任务3：科考队员最好爬在冰面上，慢慢爬过冰面（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意得出函数解析式．
任务1：根据题干提供的信息，根据压强公式求出机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式；
任务2：根据反比例函数的性质进行解答即可；
任务3：根据科考人员在行走过程中，对冰面的压力一定，可以通过增大受力面积的方法，来减小压强，从而可以安全通过该危险区域．
【详解】解：任务1：∵机器人质量为，
∴机器人对冰面的压力为：，
∴极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式为：
；
任务2：∵A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、，
∴，
，
，
∴，
，
，
∵，
∴极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面；
任务3：因为科考人员在行走过程中，对冰面的压力一定，根据压强公式可知，当受力面积越大时，科考人员对冰面的压强越小，因此当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，科考队员最好爬在冰面上，慢慢爬过冰面，可以安全离开危险区．
考点5：反比例函数实际应用——图像问题
典例5：综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量
素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ．
(1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证．
(2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．
【答案】(1)图见解析；反比例函数；；见解析
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键．
（1）把各点依次连起来，可以猜想是反比例函数的图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可，并任选一对值验证即可；
（2）当时, 即，代入（1）中求出的函数表达式中即可求得x的值，则可求得空矿泉水瓶的质量．
【详解】（1）解：连线如下图所示：
反比例函数；
设 y关于x的函数表达式为 ，
把代入函数表达式得，解得，
∴y关于x的函数表达式为 ．
把代入函数表达式，得， 成立．
（2）解：当时, 即, 解得．
则．
所以空矿泉水瓶的质量为．
【变式1】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知关于体积与密度的部分数据如下表：
体积 1 2 3 4 5 6
密度 10 5 3.33 2.5 2 1.67
(1)画出相应的函数图象，并求出函数解析式；
(2)求当时，函数的值，并说明这个值的实际意义．
【答案】(1)画图见解析；
(2)；当容器的体积为时，气体的密度为
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和相关形式是解题的关键．
（1）根据表格描点，画出图像，根据待定系数法求出函数表达式即可；
（2）结合（1）的函数表达式求出的值，在根据题意解释实际意义即可．
【详解】（1）解：函数图象如图所示．由函数图象可知该函数近似反比例函数模型，即，将点代入，则，
将其余各点分别代入计算，例如可得，
即符合反比例函数模型．
．
（2）解：当时，函数，
实际意义：当容器的体积为时，气体的密度为．
【变式2】视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 当检测距离为5米时，根据图1中数据，求出视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长b．
素材2 图2为标准视力对照表，在检测视力时，眼睛能看清的最小“E”形图所对应的视力值n往往可以判断视力情况，近年来，随着电子产品的普及化，我国青少年近视现象越来越普遍，视力测试中大多青少年的视力值n低于1.0，属于视力不良． 探究2 视力测试中，当检测距离为5米时，低度近视区的视力值n的范围为，根据函数增减性直接写出低度近视的人眼睛能看清的最小“E”形图的边长范围．
素材3 图3为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．如图4，当θ确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为2.5米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究1：视力值n关于“E”形图边长b（mm）的函数表达式为；视力值1.2所对应行的“E”形图边长；
探究2：视力值n的范围为时，“E”形图的边长范围为
探究3：若检测距离为2.5米，视力值1.2所对应行的“E”形图边长
【分析】（1）由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得，将代入得：；
（2）根据反比例函数的增减性求解即可；
（3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
设
将代入得：，解得：
∴，将其余各点一一代入验证，都符合关系式，
将代入得：
∴视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式为；视力值1.2所对应行的“E”形图边长；
探究2：由探究1得：
当时，；当时，；
∴视力值n的范围为时，“E”形图的边长范围为；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，
∴
由探究1得：
∴ ，解得：
∴若检测距离为2.5米，视力值1.2所对应行的“E”形图边长
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
【变式3】小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？
【答案】(1)
(2)
(3)饮水机内水温约为，共有6次达到
【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案；
（3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数，
设将代入得：
，
解得，
∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：；
（2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为，
依据题意得：，解得，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
解得：；
（3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，
经历时间为分钟，
，
∴当时，，
答：饮水机内水温约为，共有6次达到．
考点6：反比例函数实际应用——表格问题
典例6：某数学小组在“探究密闭容器内容器体积与气体密度关系”实验中，固定密闭容器内一定质量的二氧化碳，得到下表中体积与密度的几组对应值．根据学习函数的经验，他们对体积与密度之间的函数关系进行探究．
… 2 3 4 5 6 …
… 6 4 a 2.4 2 …
(1)根据表中数据，求密度关于体积的函数解析式并求出a的值．
(2)若直线与上述探究的函数图像交于点A，B（点A在点B的左边），在段的双曲线上是否存在点D，使得的面积最大．若存在，求出点D，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）通过观察表格的数据可发现即可得到解析式，把代入即可求出a的值；
（2）先求出的A，B坐标，过作轴交于，设则，求出的面积，求最大值即可．
【详解】（1）由表格可得，
∴，
当时；
（2）如图所示
解方程组，
解得，
，
设，其中，
过作轴交于，
设，
，
整理得，
∵有解，
∴
∴或，
∵，
，
∴，
∴当时取最大值，此时，
．
【变式1】某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系．
（元）
（个）
(1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式；
(2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解题的关键是根据题意列出等量关系．
（1）要确定与之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现与的乘积是相同的，都是，所以可知与成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）首先要知道纯利润（销售单价进价）日销售数量，确定与的函数关系式，然后根据题目的“售价最高不超过元/张”，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：，
将代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
（2） ，
又 ，
当，最大．
【变式2】越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：
t（小时） 2 1.5 1.2 1
v（千米/小时） 12 16 20 24
(1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；
(2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由；
(3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量．
【答案】(1)
(2)李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析
(3)千克
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．
（1）由表中数据可得，从而得出结论；
（2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论；
（3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案．
【详解】（1）解：根据表中数据可知，，
，
李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为；
（2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由：
从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时，
当时，（千米/时），
骑行速度一般不超过30千米/小时，
李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫；
（3）∵，
∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，
∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）．
【变式3】年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，与之间有如表关系：
厘米
米
请根据表中的信息解决下列问题：
(1)直接写出与之间的函数表达式是 ；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 米；
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，与正确理解题意是解题的关键．
（1）设与的函数解析式为，待定系数法求函数解析式即可；
（2）把代入反比例函数解析式，即可求解；
（3）根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设与的函数解析式为，
根据表格可得反比例函数经过点，
代入可得，
故反比例函数解析式为．
故答案为：．
（2）解：当时，，
∴当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米．
故答案为：．
（3）解：当时，即，
解得：
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是厘米．
考点7：反比例函数实际应用——销售问题
典例7：2023年8月8日，成都大运会闭幕式在成都露天音乐公园举行．成都露天音乐公园是一座以音乐为主题，集文化艺术、休闲娱乐、旅游观光等功能为一体的大型城市公园，公园的整体景观设计融入了太阳神鸟文化、天府文化、凤凰文化、古蜀音乐文化，同时其具国际化风格．王华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷蓉宝手办，在销售过程中发现：每天的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．设销售这款手办的日利润为（元）．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)求与之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件手办的售价为多少元？
【答案】(1)
(2)80元/件或90元/件
【分析】本题考查了分式方程的应用及一次函数的应用及反比例函数的应用：
（1）分段讨论：当时，设，当时，设直线为，利用待定系数法即可求解；
（2）分类讨论：当时，当时，分别代入（1）中对应的函数解析式中即可求解；
理清题意，利用待定系数法求函数解析式及分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
设，将，
代入得：，
，
当时，，
，
当时，
设直线为，因为，
由题意得：，
解得：，
与之间的函数关系式为，
综上所述：．
（2）当时，
，
由，解得：，
经检验，是原方程的解，
当销售价格为80元/件时，日利润为600元，
当时，
，
由，
解得：，，
当销售价格为80元/件或90元/件时，日利润为600元，
综上，当日利润为600元时，销售价格为80元/件或90元/件．
【变式1】某校组织学生到某品牌运动鞋直销店参加社会实践活动，他们参与了该品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的成本价为130元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
售价（元/双） 225 300 375 450
销售量（双） 40 30 24 20
(1)观察表中数据，求出与函数关系式；
(2)在（1）的条件下，若直销店计划每天的销售利润为4500元，则其售价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)其售价应定为260元
【分析】本题考查了反比例函数的定义，分式方程的应用；
（1）根据表格中数据可知，然后可得函数关系式；
（2）根据每天的销售利润为4500元得出方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：由表格中数据可知：，
∴是的反比例函数，
∴与函数关系式为；
（2）由题意得：，
把代入得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：其售价应定为260元．
【变式2】某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台成本为5万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；
信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第5场浮动价与销售场次成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据：
（场） 2 5 10
（万元） 7 10 7.5
(1)求销售量与销售场次之间的函数关系式；
(2)求销售单价与销售场次之间的函数关系式；
(3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)第6场获得的利润最大，最大利润约为万元
【分析】（1）根据每增加一场，产品就少卖出2台，即可列出关系式；
（2）根据“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（3）设每场获得的利润为w万元，分两种情况求出w与x的函数解析式，并求出最大值，进行比较即可得出结果．
【详解】（1）解：依题意得：，其中x为正整数，且；
∴销售量与销售场次之间的函数关系式为．
（2）解：设基本价为b，
①∵第1场~第5场浮动价与销售场次x成正比，
∴设p与x的函数关系式为，
依题意得，
解得，
∴；
②∵第6场~第10场浮动价与销售场次x成反比，由①知，
∴设p与x的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴；
综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为：
；
（3）解：设每场获得的利润为w万元，
①当时，，
∵，
∴当时，w最大，最大利润为210万元；
②当时，，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，最大利润 (万元)，
∵，
∴在这10场产品促销会中，第6场获得的利润最大，最大利润约为万元 ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数不等式，反比例函数不等式和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
【变式3】丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：
（千米/小时） 50 60 75 80
（小时） 6 5 4 3.75
(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；
(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．
【答案】(1)300
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据即可得s的值；
（2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可；
（3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断．
【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵
∴s = 300，
∴该公司到杭州市场的路程为300千米；
故答案为：300；
（2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设，
∵v=75时，t= 4，
∴k=75×4=300，
∴；
（3）解：不能．
理由如下：∵10-7.5=2.5（小时），
∴t=2.5时，，
∵120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
【点睛】本题是反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法求解析式及应用函数解析式解决实际问题，建立反比例函数模型是解题的关键．
考点8：反比例函数实际应用——工程问题
典例8：市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若工期要求在100天内完成，公司每天至少要运送多少立方米土石方？
【答案】(1)
(2)公司每天至少要运送立方米土石方
【分析】（1）根据题意可知，运输公司平均每天的工作量y与完成运送任务所需的时间t(天) 之间的函数关系，得出函数关系式；
（2）根据题意结合反比例函数增减性，求解即可；
【详解】（1）由题意得：，
与之间的函数关系式为．
（2）当时，，
在中，，
随的增大而减小，
公司每天至少要运送立方米土石方．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，关键是根据题意列出反比例函数解析式．
【变式1】南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0【分析】（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，
∴（0（2）由题意得
，
解得x1=1，x2=（负值舍去），
经检验x=1是原分式方程的解
1+0.2=1.2千立方米，
600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．
【变式2】在李村河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（天）与每天完成的工程量（天）的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
请根据题意，求与之间的函数表达式；
若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内（按天计算）完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【答案】（1）；（2）天；（3）每天至少要完成．
【分析】（1）将点（24，50）代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；
（3）工作量除以工作时间即可得到工作的效率．
【详解】解：设．
∵点在其图象上，
∴所求函数表达式为；
由图象，知共需开挖水渠；
台挖掘机需要天；
．
故每天至少要完成．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用.
【变式3】市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106 立方米，某运输公司承办了该项工程运送土石方的任务．
(1)写出运输公司平均每天的工作量v(米3/天)与完成运送任务所需的时间t(天)之间的函数解析式；
(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104 立方米，则公司完成全部运输任务需要多长时间？
(3)当公司以问题(2)中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？
【答案】(1)v＝；(2) 100天;(3) 20辆.
【分析】（1）首先根据题意可知，运输公司平均每天的工作量v（m3/天）与完成运送任务所需的时间t（天）之间的函数关系为：v=；
（2）将数据代入反比例函数的关系式可得；
（3）根据题意列式计算即可．要先分别计算出平均每天每辆汽车运送土石方，100辆卡车工作40天运送的土石方，剩余的土石方在50天内全部运送完成需卡车，再计算公司要按时完成任务需增加卡车数量．
【详解】解：(1)运输公司平均每天的工作量v(米3/天)与完成运送任务所需的时间t(天)之间的函数解析式为v＝.
(2)当v＝104时，t＝＝102＝100.
答：公司完成全部运输任务需要100天的时间．
(3)平均每天每辆汽车运送土石方104÷100＝100(米3)，
100辆卡车工作40天运送的土石方为104×40＝4×105(米3)，
剩余的土石方在50天内全部运送完成最少需卡车(106－4×105)÷(100×50)＝120(辆)，
120－100＝20(辆)．
答：公司至少需要再增加20辆卡车才能按时完成任务．
【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是
确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
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