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微专题01 相似三角形证明与计算通关专练
一、单选题
1．如图，点D、E分别在的边BA、CA的延长线上，且，连接DE，下列判断：①；②；③．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．只有③ D．①②③
【答案】C
【分析】结合已知条件用两边夹角证明三角形相似，注意对应点，根据相似三角形性质得解．
【详解】如图，，
∴
∴．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质；注意对应点是解题的关键．
2．两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两个相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方，求出相似比，利用性质即可求出
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为2：1，
∴两个相似三角形的相似比为：1，
∴这两个三角形的周长比为：1．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质解题关键．
3．已知，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵，和是它们的对应角平分线，若，，
∴两三角形的相似比为，
则与的面积比是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
4．下列命题中一定错误的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
【答案】A
【分析】根据相似三角形的定义依次判断各选项即可．
【详解】解：所有的等腰三角形都相似，如果顶角不相等，则两个等腰三角形不相似．故A错误．
有一对锐角相等的两个直角三角形相似，全等的三角形一定相似，所有的等边三角形都相似都可根据相似判定定理得出．故B，C，D正确．
故选：A．
【点睛】 本题考查了相似三角形的定义，解答关键是按照定义进行判定．
5．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．9 D．12
【答案】C
【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，且，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的相似，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
6．已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ）
A．5 B．10 C．40 D．80
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：，
∴的周长的周长，
的周长为20，
的周长为40．
故选：C．
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种.书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木，问邑方有几何 ”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，步，步，则正方形的边长为( )
A．步 B．步 C．步 D．步
【答案】A
【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【详解】解：设正方形的边长为x步，
∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴，
∴AM=AN，
由题意可得，∠ANF=∠EMA=90°，
∠NAF+∠AFN=∠NAF+∠EAM=90°，
∴∠AFN=∠EAM，
∴Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴，
而据题意知AM=AN，
∴，
解得：AM=140，
∴AD=2AM=280步，
故选A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
8．如图，在中，点在上，点在上，，，连接、交于点．若，则的面积为（ ）
A． B．18 C．22 D．24
【答案】A
【分析】根据题意得出，再由相似比求出的面积即可.
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△BGE∽△FGC，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
故选A.
【点睛】本题是对相似三角形知识的考查，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形知识是解决本题的关键.
9．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E.若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）
A．OD B．OE C．DE D．AC
【答案】D
【分析】由于∠ACB=90°，AB=AD+BD，AD、DB和CD都是有理数，OC是中线，那么AB是有理数，且OA=OB=OC=AB，于是OA、OB、OC是有理数，根据图可知OD=OA-AD，那么OD是有理数；又在△CDO中，∠CDO=90，DE⊥OC，于是△OED∽△ODC，利用相似三角形的性质可得OE：OD=OD：OC，DE：OD=CD：OC，从而可知OE、DE是有理数．
【详解】解：因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA=OB=OC=是有理数．于是，OD=OA-AD是有理数．
∵CD⊥AB，DE⊥OC，
∴Rt△DOE∽Rt△COD，
∴OE＝，DE=都是有理数，
而AC=不一定是有理数．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、有理数的加减乘除运算、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．注意几个有理数的加减乘除的结果还是有理数．
10．如图，以点为位似中心，将放大得到．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，先利用位似性质得到，，然后再根据相似三角形的性质得到，从而得到的值．
【详解】解：∵以点为位似中心，将放大得到
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
故选：A．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为( )
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据矩形的性质，求得AD∥BC，即可得到∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△DAE∽△AMB，由△ABM∽△ADE可以得到，根据勾股定理可以求得AD的长，继而得到答案．
【详解】在矩形ABCD中，
∵M是边BC的中点，BC＝3，AB＝2，
∴AM＝，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AMB，
∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴△DAE∽△AMB，
∴，
即，
∴DE＝．
故选B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质．解题时要注意识图，准确应用数形结合思想．
12．已知，，，则的周长与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵，，，
∴与的相似比为，
∴的周长与的周长之比为，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解答的关键．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．5
【答案】B
【分析】先解直角三角形求出DE，再利用相似三角形的性质求出DF，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵AD＝BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，AE＝BE＝ AB＝3，
∴DE＝，
∵S△FDG：S△EDG＝2：3，
∴FG：EG＝2：3，
∵AB∥CD，
∴△DFG∽△BEG，
∴，
∴DF＝2，
∵AB∥CD，DE⊥AB，
∴DE⊥CD，
∴EF＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，列出比例式，分别计算出线段，，，的长度，对每个选项进行判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：，，．
，
四边形为平行四边形，
，．
，
，
，
，
A，C，D选项正确，不符合题意；
，，
，
，
B选项不一定正确，符合题意．
故选：B．
15．如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F，为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】先根据矩形的性质以及勾股定理得到，，，，再由作图过程知平分，进而证明，，则，再证明，即可求得的长．
【详解】矩形中，，，
，，，
，
由作图过程知平分，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及判断出平分是解答的关键．
二、填空题
16．两个相似三角形的对应中线的比为，那么它们的周长比是 .
【答案】
【分析】先根据相似三角形的对应中线的比为3：4得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为3：4，
∴其相似比等于3：4，
∴它们的周长比是3：4．
故答案为3：4．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．
17．已知ABC∽DEF，ABC的周长为3，DEF的周长为2，则ABC与DEF的面积之比为 ．
【答案】9：4．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，
∴△ABC与△DEF的相似比是3：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9：4．
考点：相似三角形的性质．
18．如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于点O，若＝，则S△DEO∶S△BOC= ．
【答案】1：9/
【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质利用相似比求出面积比即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵＝，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OCB，
∵
∴S△DEO∶S△BOC=1：9
故答案为：1：9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，，DE＝6．则BC＝ ．
【答案】.
【分析】先证明三角形相似,再利用对边成比例代数求值即可.
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴BC＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质,关键在于牢记相似三角形对边成比例.
20．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝ ．
【答案】
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于对应边的比的平方”即可得.
【详解】
又
（因实际意义不能为负，舍去负值）
故答案为：.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题关键.
21．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形的最大角为 度．
【答案】70
【分析】根据相似三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】∵三角形的两个内角分别为50°和60°，
∴这个三角形的第三个内角为180° 50° 60°＝70°，
根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为70°．
故答案为70．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，在中，，，动点，分别从点，开始沿图中所示方向及速度运动，如果，两动点同时运动，那么经过 秒，以，，为顶点的三角形与相似
【答案】或
【分析】首先根据题意表示出和的长度，根据题意分两种情况讨论，当 时，根据列方程求解即可，当时，根据列方程求解即可．
【详解】解：设运动的时间为t，则 ，
当时，
∴，即，
解得：；
当时，
∴，即，
解得：；
综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
23．如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若△AEM与△ECM相似，则AB和BC的数量关系为 ．
【答案】BCAB．
【分析】分两种情况，当∠AEM＝∠EMC时，△AEM∽△ECM，则AE∥MC，不合题意舍去；当∠AEM＝∠MCE时，△AEM∽△ECM，针对这种情况将AM,MD分别用含CD的代数式表示出来，然后通过矩形建立AB和BC的关系.
【详解】∵矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，
∴∠MEC＝∠D＝90°，∠DMC＝∠EMC，ME＝MD，
∴∠A＝∠MEC，
当∠AEM＝∠EMC时，△AEM∽△ECM，则AE∥MC，不合题意舍去；
当∠AEM＝∠MCE时，△AEM∽△ECM，∠AME＝∠EMC，此时∠DMC＝∠EMC＝∠AME＝60°，
在Rt△CDM中，MDCD，
∴EMCD，
在Rt△AEM中，AMEMCD，
∴AD＝AM+DMCDCDCD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∴BCAB．
故答案为BCAB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，以及利用特殊角的三角函数找到线段之间的数量关系，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
24．如图，在ABC中，∠BAC＝30°，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB，AD AC＝25，则ABE的面积为 ．
【答案】
【分析】先证明△ABD∽△ACB，进而求得AB=AE=5，过点B作BH⊥AC于H，利用∠BAC=30°求出BH=AB=，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE=∠CBE，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠C+∠CBE，
∴∠ABD=∠C，
∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，代入数据：
∴，即AB=5(负值舍去)，
过点B作BH⊥AC于H，如下图所示：
∵∠BAC=30°，BH⊥AC，
∴BH=AB=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
25．如图所示，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点P是边BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作∠BPF，使得，BG⊥PF于点F，交AC于点G，PF交BD于点E．下列四个结论中正确的结论序号为 ．
（1）；
（2）PE＝2BF；
（3）在点P运动的过程中，当GB＝GP时，；
（4）当P为BC的中点时，．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】(1)过点G作GH⊥AB于点H，作，PM交BD于点K，过点M作MN⊥PG于点N，由正方形的性质得出OG = GH，由等腰直角三角形的性质可得出(1)正确；(2)证明≌ (ASA)，由全等三角形的性质得出BF= FM，证明 (AAS)，由 全等三角形的性质得出PE= BM，则可得出(2)正确；(3)证明为等腰直角三角形，， 得出，可得出(3)正确；(4)在BF上截取TF= EF，则为等腰直角三角形，设EF= FT= a，由等腰直角三 角形的性质得出BF= (+ 1)EF，由三角形的面积可得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出(4)错误．
【详解】(1)如图，作，PM交BD于点K，过点M作MN⊥PG于点N，
∵正方形ABCD中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故(1)正确；
∵
∴≌，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故(2)正确
(3)∵，
∴，
∴,
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，故(3)正确
在BF上截取TF= EF，则为等腰直角三角形，
设，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴故(4)错误．
故答案为(1)(2)(3)．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握各性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．
【答案】2.4
【分析】根据已知可证明△ABE~ FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠A=90°，∠CFB=90°，
∴△ABE∽△FCB
∴，
∵BC=3，E是AD的中点，
∴AE=1.5 ，
∴BE=2.5，
∴，
∴FC=2.4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
27．如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，即可证明；
（2）根据面积比等于相似比的平方，即可得，问题随之得解．
【详解】（1）∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方，是解答本题的关键．
28．如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求证：△ACD∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
【详解】证明：∵，，，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
29．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝30，AD＝20，EF＝EH．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求矩形EFGH的面积．
【答案】（1）见解析；（2）150
【分析】（1）根据矩形的性质得到EH∥BC，得到△AEH∽△ABC；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，求出EH，得出EF，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
（2）如图，AD交EH于点M，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∵AD⊥BC，EF＝EH,
∴AM⊥EH，MD＝EF＝EH
∵△AEH∽△ABC，
∴，即，
解得EH＝15，
∴EF＝EH＝10
所以矩形EFGH的面积＝EH×EF＝15×10＝150．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，灵活的利用相似三角形对应线段成比例的性质是解题的关键.
30．如图，点分别在的，边上，且，于点，与交于点，已知，，，，求长．
【答案】DE=6．
【分析】由已知条件可证明，再利用相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：，
．
，
．
，
，，，
．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定及其性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
31．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
(1)在图①中，在线段上画出点M，使
(2)在图②中，在线段上画出点N，使
(3)在图③中，在线段上画出点Q，使
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求．
（2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求．
（3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q
【详解】（1）解：如图①，取格点C，D，使，且，
连接，交于点M，
则，
，
即，
则点M即为所求．
（2）如图②，取格点E，F，使，且，
连接，交于点N，
则，
，
即，
则点N即为所求．
（3）如图③，取格点G，连接交于点Q，
则点Q即为所求．
32．下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：在BC边上求作一点P，使得△PAC∽△ABC．
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线GH；
②作线段AB的垂直平分线EF，交GH于点O；
③以点O为圆心，以OA为半径作圆；
④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D（与点A不重合）；
⑤连接线段AD交BC于点P．
所以点P就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD＝AC，
∴＝ ．
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠ ＝∠ ，
∴△PAC∽△ABC（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2），CAP，ABC，ACP，BCA，有两组角对应相等的两个三角形相似
【分析】(1)按照题目步骤进行做题即可；
(2)连接CD，由作图知，AC＝CD，,可得∠CAP＝∠ABC，又∠ACP＝∠BCA，
可得△ACP∽△BCA（有两组角对应相等的两个三角形相似）.
【详解】解：（1）补全图形如图所示：
（2）连接CD，由作图知，AC＝CD，
∴=，
∴∠CAP＝∠ABC，
∵∠ACP＝∠BCA，
∴△ACP∽△BCA（有两组角对应相等的两个三角形相似），
故答案为，CAP，ABC，ACP，BCA，有两组角对应相等的两个三角形相似．
【点睛】本题主要考查圆规、直尺作图及三角形相似的判断与证明.
33．如图，是的高；
(1)求证：
(2)连接，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据是的高，可得，再由，即可求证；
（2）根据，可得，再由，即可求证；
【详解】（1）证明：∵是的高，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
34．已知，平分交于F，交于G．
(1)求证：；
(2)连接，若，，，求的长度．
【答案】(1)见解析．
(2)11
【分析】（1）因为平分，所以，又因为，即可得出结论；
（2）由，，可得．如图，连接，证明，可得．再证明，可得，．证明，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，而，
∴．
如图，连接，
∵，
∴，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定，熟记相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
35．延时课上，王老师带领部分同学在暗室中做了激光笔的镜面反射实验．激光笔的光源点发出的入射光线照到镜面点，反射光线经过木条顶端点，落到墙面的点处．已知点到地面的高度，点到地面的高度，光源点到木条的水平距离，墙面与木条的水平距离为．（图中点在同一水平面上）．
(1)求的长；
(2)求光源点到地面的高度．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）本题考查相似三角形的判定与性质，根据，即可得到，即可得到，从而得到即可得到答案；
（2）本题考查相似三角形的判定与性质，根据光的反射得到，结合，即可得到即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
（2）解：∵激光笔的光源点发出的入射光线照到镜面点，反射光线经过木条顶端点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
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微专题01 相似三角形证明与计算通关专练
一、单选题
1．如图，点D、E分别在的边BA、CA的延长线上，且，连接DE，下列判断：①；②；③．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．只有③ D．①②③
2．两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的周长比为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中一定错误的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
5．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．9 D．12
6．已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ）
A．5 B．10 C．40 D．80
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种.书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木，问邑方有几何 ”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，步，步，则正方形的边长为( )
A．步 B．步 C．步 D．步
8．如图，在中，点在上，点在上，，，连接、交于点．若，则的面积为（ ）
A． B．18 C．22 D．24
9．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E.若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）
A．OD B．OE C．DE D．AC
10．如图，以点为位似中心，将放大得到．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为( )
A．2 B． C． D．
12．已知，，，则的周长与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．5
14．如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F，为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
16．两个相似三角形的对应中线的比为，那么它们的周长比是 .
17．已知ABC∽DEF，ABC的周长为3，DEF的周长为2，则ABC与DEF的面积之比为 ．
18．如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于点O，若＝，则S△DEO∶S△BOC= ．
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，，DE＝6．则BC＝ ．
20．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝ ．
21．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形的最大角为 度．
22．如图，在中，，，动点，分别从点，开始沿图中所示方向及速度运动，如果，两动点同时运动，那么经过 秒，以，，为顶点的三角形与相似
23．如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若△AEM与△ECM相似，则AB和BC的数量关系为 ．
24．如图，在ABC中，∠BAC＝30°，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB，AD AC＝25，则ABE的面积为 ．
25．如图所示，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点P是边BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作∠BPF，使得，BG⊥PF于点F，交AC于点G，PF交BD于点E．下列四个结论中正确的结论序号为 ．
（1）；
（2）PE＝2BF；
（3）在点P运动的过程中，当GB＝GP时，；
（4）当P为BC的中点时，．
三、解答题
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．
27．如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
28．如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求证：△ACD∽△ABC．
29．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝30，AD＝20，EF＝EH．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求矩形EFGH的面积．
30．如图，点分别在的，边上，且，于点，与交于点，已知，，，，求长．
31．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
(1)在图①中，在线段上画出点M，使
(2)在图②中，在线段上画出点N，使
(3)在图③中，在线段上画出点Q，使
32．下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：在BC边上求作一点P，使得△PAC∽△ABC．
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线GH；
②作线段AB的垂直平分线EF，交GH于点O；
③以点O为圆心，以OA为半径作圆；
④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D（与点A不重合）；
⑤连接线段AD交BC于点P．
所以点P就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD＝AC，
∴＝ ．
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠ ＝∠ ，
∴△PAC∽△ABC（ ）（填推理的依据）．
33．如图，是的高；
(1)求证：
(2)连接，求证：
34．已知，平分交于F，交于G．
(1)求证：；
(2)连接，若，，，求的长度．
35．延时课上，王老师带领部分同学在暗室中做了激光笔的镜面反射实验．激光笔的光源点发出的入射光线照到镜面点，反射光线经过木条顶端点，落到墙面的点处．已知点到地面的高度，点到地面的高度，光源点到木条的水平距离，墙面与木条的水平距离为．（图中点在同一水平面上）．
(1)求的长；
(2)求光源点到地面的高度．
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