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微专题02 常见相似模型通关专练
模型一：A字模型
模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
一、解答题
【A字型】1．如图，，分别是与边上的高．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】证明：，分别是与边上的高，
，
，
，
，
即，
，
．
【A字型】2．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【答案】（1），；（2）t＝3或
【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．
【A字型】3．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．
【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．
【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图
∵
∴
∵
∴
∴
又∵DE∥AC
∴
∴，解得
设正方形的边长为x米，如图乙
∵DE∥AB
∴
∴，解得
∵
∴乙木匠的加工方法符合要求．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
【A字型】4．如图，中，中线，交于点，交于点．
（1）求的值．
（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
【答案】（1）3；（2），证明见解析
【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解；
（2）根据题意分别证明，问题可证．
【详解】解：（1）是的中点，是的中点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）当，时，
由（1）可得
，，，
，
，，
，
又，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
【A字型】5．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．
（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．
①如图，若，直接写出的长；
②如图，求证：．
【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析.
【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出;
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；
②由，得．又为正方形，得出，同理，有，又因为∽，所以，所以．
【详解】（1）证明：如图1
在中，由于，
∴∽，
∴．
同理在△ACQ和△AEP中，，
∴．
（2）①如图2, 作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∵DE边上的高为,
故答案为
②证明：如图3
∵，
∴．
又∵为正方形，
∴，
∴，
∴．
同理，在中有，
∴，
∴．
又因为∽，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．
【A字型】6．如图，在中，，，．若动点从点出发，沿射线运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．
（1）求出关于的函数关系式；
（2）当为何值时，的面积有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？
【答案】(1) ;(2)x=2时，s有最大值，且最大值为6.
【分析】(1)分两种情况讨论：①当点在线段上时，∽，然后利用相似三角形的对应边成比例求得，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；②当在延长线上时，，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；
（2）①当在线段上时，求得，化成顶点式，可求最值；②当在延长线上时，，化成顶点式，可求最值．
【详解】（1）①如图，当点在线段上时，
∴∽，
∴
又，，，，
∴，
∴．
②如图，当在延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①如图，当在线段上时，
．
∴当时， ．
∴当时，有最小值，且最小值为．不符合题意舍去．
②如图，当在延长线上时，
．
综上所述：当时，有最大值，且最大值为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、平行线截线段成比例定理、三角形的面积及二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
【8字型】7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB AF，求证：CM AB＝DM CN．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而BE=AB，
∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB AF，
∴AD：AB=AF：AD，
而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD=CN：CD，
∴MC CD=MD CN，
而CD=AB，
∴CM AB=DM CN．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．
【8字型】8．已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE CA．
（1）求证：AD＝DE；
（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到， ，得到，整理得到 CE2＝AE EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．
【详解】证明：（1）∵BC2＝CE CA，
∴，又∠ECB＝∠BCA，
∴△BCE∽△ACB，
∴∠CBE＝∠CAB，
∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，
∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，
∴∠BEC＝∠DAE，
∵∠BEC＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE；
（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，如图，
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴∠DFE＝∠BCA＝90°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴CE2＝AE EF，
∵AD＝DE，DF⊥AC，
∴AF＝EF，
∴CE2＝AE AF．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【8字型】9．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若＝，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.
【答案】
【分析】由题意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO边上的高相等，所以面积比等于对应边AO，CO的比值，进而求出AO：CO的值，又因为△AOD∽△BOC，利用两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求出S△AOD：S△BOC的值；从而求出△AOD的面积.
【详解】过点D作DE⊥AC于E，
则＝＝，
∴＝，
又∵AO+OC＝AC，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝()2＝，即＝，
∴S△AOD＝.
【8字型】10．如图，、是的两条高，连．
（1）求证：；
（2）若，点为的中点，求的值．
【答案】(1)见解析;(2)1.
【分析】（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论；
（2）连结ME，由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，由点M为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MB=ME=MD=MC，于是可判断点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，根据圆周角定理得∠DME=2∠EBD=60°，则可判断△MED为等边三角形，所以DE=DM．所以的值为1
【详解】（1）证明：
∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
而∠EAB=∠DAC，
∴△AEB∽△ADC，
∴AB：AC=AE：AD，
∴AE AC=AB AD；
（2）连结ME，如图，
∵∠BAC=120゜，
∴∠BAE=60°，
∴∠EBA=30°，
∵点M为BC的中点，
∴MB=ME=MD=MC，
∴点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，
∴∠DME=2∠EBD=2×30°=60°，
∴△MED为等边三角形，
∴DE=DM．
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及圆周角定理．
【8字型】11．已知在中，点为边上一点，点为边的中点，与交于点．
（1）如图，当时，________；
（2）如图，当时，求证：．
【答案】(1);(2)见解析.
【分析】（1）连接DE，利用三角形中位线的性质得出DE∥AB, DE=AB, 则△ABP∽△DEP，进而得出答案；
（2）过点E作EF∥AD交BC于点F，利用平行线分线段成比例定理得出F是CD的中点，进而得出BD=DF=FC，进而得出即可．
【详解】（1）解：连接DE，
∵点E为边AC的中点，BD=CD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB, DE=AB,
∴△ABP∽△DEP，
故答案为
（2）证明：过点E作EF∥AD交BC于点F，
∵点E为边AC的中点，EF∥AD，
∴F是CD的中点，
∵CD=2BD，
∴BD=DF=FC，
又∵PD∥EF，
∴BP=PE．
【点睛】此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行线分线段成比例定理等知识，正确作出平行线是解题关键．
【8字型】12．（1）如图，若为的内角平分线，请问：成立吗？并说明你的理由．
（2）如图，中，，，，为上一点且，交其内角角平分线与．试求的值．
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】（1）过点作交的延长线于点．由，平分证得∽，再由相似的性质证出结论；
（2）连结．由（1）得，然后证得．再证明∽．最后利用相似的性质可求得结果．
【详解】（1）结论成立．理由如下：如图，过点作交的延长线于点．
∵，平分，
∴，
∴，∽，
∴，
∴．
（2）如图，连结．
∵为的内角角平分线，，，
∴由（1）得，．
又∵，
∴，
∴
∴．
∴．
∴∽．
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握添加辅助线的方法和能灵活应用判定定理、性质定理是解题关键．
【子母型】13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出
（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．
【详解】（1）∵， ，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．
【子母型】14．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；
（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】证明：（1），
，
，
，
在和中，，
；
（2）点为的中点，
，
由（1）已证：，
，
设，则，，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又，
，
即；
（3）由（2）已证：，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由（2）可知，设，则，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
则在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【子母型】15．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．
【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；
（2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；
（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论；
【详解】（1）∵与互为母子三角形，
∴或2
故选：C
（2）是的角平分线，
，
，
．
又，
与互为母子三角形．
（3）如图，当分别在线段上时，
与互为母子三角形，
，
，
是中线，
，
又，
．
，
，
．
如图，当分别在射线上时，
与互为母子三角形，
，
，
是中线，
，
又，
．
，
，
．
综上所述，或3
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．
【子母型】16．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED EA=EC EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【分析】（1）证明△EAB∽△ECD，根据相似三角形的性质即可得结论；
（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△CDG中利用已知条件求得DG、OG的长，再根据△CDE的面积为6，可求得DE的长，在△ABH中求得BH、AH的长，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的长，由S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH，即可求得四边形ABCD的面积．
【详解】解：（1）证明：∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴∠ABE＝∠CDE.
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∴．
（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H，
∵CD＝5，cos∠ADC＝，
∴DG＝3，CG＝4.
∵S△CED＝6，
∴ED＝3，
∴EG＝6.
∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，
∴BH＝6，AH＝，
由（1）得△ECG∽△EAH，
∴，
∴EH＝，
∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．
【点睛】本题考查的主要是解直角三角形知识和三角形相似问题，解直角三角形可以为我们提供三角形中边的条件和角的条件，利用三角形相似可以建立方程，表达出变量之间的关系；这种类型的题目给出的条件中有三角函数和边长，在解题时就应该利用三角函数和已知的边长求出另外的边长，继而进行解题；三角函数的计算要在直角三角形中进行，因此借助辅助线构造直角三角形就是解决这种类型题目的关键．
【子母型】17．已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．
（1）求证：△BAE∽△ACE；
（2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE CE＝9，求EF DE的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE EF＝9．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC，由余角的性质可得∠EAB＝∠DAC，进而可得∠EAB＝∠C，进一步即可证得结论；
（2）由（1）可得，进而可得AE2＝BE CE＝9，易证△EAF∽△EDA，从而得，进一步即可求出结果．
【详解】解：（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAB＝∠C，
∵∠E＝∠E，
∴△BAE∽△ACE；
（2）∵△BAE∽△ACE，
∴，
∴AE2＝BE CE＝9，
∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EDA，
∴，
∴DE EF＝AE2＝9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【子母型】18．在中，，平分．
（1）如图1，若，，求的长．
（2）如图2，过分别作交于，于．
①求证：；
②求的值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②
【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长；
（2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证．
【详解】解：（1）∵在中，，平分，
∴，又∠A=∠A，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）①∵交于，于，
∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②过作，与的延长线交于，
∵，
∴，
∴、和均为等腰三角形，
∴，
∵在等腰中，于，
∴，即，
∴的值为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键．
【一线三等角型】19．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化 如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）发生变化，．
证明：由（1）得，，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．
【一线三等角型】20．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
【一线三等角型】21．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得．
【详解】（1），
，
，
在和中，，
；
（2）在中，，
，
，
，
由（1）已证：，
，即，
解得．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【一线三等角型】22．如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，．
（1）求的长．
（2）求证：．
【答案】（1）5；（2）证明见解析；
【分析】（1）先证明出∽，得出，假设BD为x，则DC=15-x，代入分式方程求出BD的长；
（2）由（1）可知，推出≌，得出结果；
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴∽，∴，
∵为中点，∴，
∵，设，则，
即：，解得：，，
∵，
∴．
（2）由（1）可知，∵，∴，
在和中，，∴≌
∴
【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．
【一线三等角型】23．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．
（1）求证：△BED∽△CFE；
（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长．
【答案】（1）见解析；（2）CF＝．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后根据三角形的外角的性质得到∠BDE＝∠CEF，从而证得结论；
（2）首先求出线段CE的长，再利用△BED∽△CFE得出=，最后得出结果．
【详解】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°.
∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝45°，
∴∠BDE＝∠CEF，∴△BED∽△CFE.
(2)∵D为AB的中点，∴AB＝2AD＝6，
∴BC＝AB＝6，
∴CE＝BC－BE＝4.
由(1)知△BED∽△CFE，∴=，
∴＝，∴CF＝.
【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质和判定．
【一线三等角型】24．如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】当∠BPC=∠A时，∠ABP+∠APB+∠A=180°，而∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时三角形ABP与三角形DPC相似．
【详解】证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知得出∠ABP=∠DPC是解题的关键．
【手拉手型】25．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．
(1)求证：；
(2)求的度数及的长；
(3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证即可求证；
（2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解；
（3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解．
【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形，
∴
∴，
即，
∴
（2）解：∵；
∴，
设交于O，
∵，
∴；
如图①在上取点F，使，
同（1）可得
∴为等边三角形，
∴；
（3）解：
如图②，过点Q作于G，设，
∵点Q、R分别是等边和等边的重心，
∴
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
【手拉手型】26．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为．
【分析】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解；
（2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；
（3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．
【详解】解：（1）在中，，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由：如图2，连接，
∵在和中，，，，
，
，
∵，，
，
，
，
∴；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，
由题意可知，，
∴，即，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
， ，
，2×，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．
【手拉手型】27．已知中点分别在边、边上，连接点、点在直线同侧，连接且．
（1）点与点重合时，
①如图1，时，和的数量关系是 ；位置关系是 ；
②如图2，时，猜想和的关系，并说明理由；
（2）时，
③如图3，时，若求的长度；
④如图4，时，点分别为和的中点，若，直接写出的最小值．
【答案】（1）①AE=FC；AE⊥FC；②AE=2FC；AE⊥FC；理由见解析；（2）③FC = 6；④MN的最小值为．
【分析】（1）①利用SAS证出△ABE≌△CDF，从而证出AE=FC，∠A=∠DCF，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；
②根据相似三角形的判定证出△ABE∽△CDF，从而得出∠A=∠DCF，，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；
（2）③作GD⊥BC于点D，交AC于点G；作GH⊥AB于点H，交AB于点H；DM⊥AC，利用SAS证出△EDG≌△FDC，从而得出EG=FC，令DC=a，BD=2a，根据三角形的面积公式即可求出a值，从而求出结论；
④连接MD和MC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=，从而得出点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H，然后证出四边形NMHG为平行四边形，从而求出结论．
【详解】（1）①解：∵
∴∠ABC=∠EDF=90°，∠A＋∠BCA=90°
∴∠ABE＋∠EDC=∠CDF＋∠EDC
∴∠ABE=∠CDF
∵
∴AB=CB，DE=DF
∴△ABE≌△CDF
∴AE=FC，∠A=∠DCF
∴∠DCF＋∠BCA=90°
∴∠ACF=90°
∴AE⊥FC
故答案为：AE=FC；AE⊥FC；
②证明：AE=2FC；AE⊥FC
∵DF⊥DE
∴∠EDF=∠ABC=90°
∴∠ABE=∠CDF·
∵
∴△ABE∽△CDF
∴∠A=∠DCF，
∵∠A+∠ACB=90°
∴∠DCF+∠ACB=90°
∴∠ACF=90°；即FC⊥AE·
（2）③解：作GD⊥BC于点D，交AC于点G；作GH⊥AB于点H，交AB于点H；DM⊥AC．
∴四边形BDGH为矩形
∴DB=HG
∵∠ABC=90°，
∴∠A=∠HGA =∠ACB=45°
∴DC=DG
∵DE⊥DF
∴∠EDG=∠FDC
∴△EDG≌△FDC（SAS）
∴EG=FC
∵BD=2CD
∴令DC=a，BD=2a
∴AG=
∴EG=，MD=·
∵
∴
解得，（舍）
∴FC = EG=6
④∵，AB=10
∴BC=5
∵
∴CD=
由③易证∠ECF=90°
在Rt△EDF和Rt△ECF中，点M为EF的中点，连接MD和MC
∴DM=CM=
∴点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H
∴当NM⊥MH时，MN的最小，易知MN∥BC，MH∥AB，CH==
取BC的中点G，连接NG，则CG==
∴NG为△ABC的中位线
∴NG∥AB
∴MH∥NG
∴四边形NMHG为平行四边形
∴此时MN=GH=CG－CH=
即MN的最小值为．
【点睛】本题主要考查几何变换综合题、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，解题关键是熟练掌握三角形的中位线的性质、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质．
【手拉手型】28．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转.
(1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______；
(2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值；
(3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值；
（2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值；
（3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度；
【详解】（1）解：∵，，，
∴、均为等边三角形，
∴，，，
即：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即：
故答案为：
（2）∵，，，
∴、均为等腰直角三角形，
∴，，，
即：，
∴，
在和中，
，
∴
∴
即：
（3）∵，D为AB的中点，，
∴，，
∵，与交于点，
∴，
在中，
，
∴如图5所示，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点．
29．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；
【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；
（2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案．
【详解】（1）∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴，同理，，
∵，
，
∴，∴；
（2）（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴，∵，
∴，∴，∴，
故答案为：8；
（2）∵，∴，∵，
∴，∴，
故答案为：．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
【手拉手型】30．在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．
【答案】和的面积分别为2和．
【分析】过点D作DMBC于点M，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度，且证BDC∽AEC，在DMC中，可得DM=1，即BDC的面积可求，且，即AEC的面积可求．
【详解】解：如图所示，过点D作DMBC于点M，
∵AC=2，，
∴，
又∵，，
∴在BAC和DEC中，，，由旋转性质知，，，
∴BDC∽AEC，故，
在DMC中，，，
∴，
∴，
∵BDC∽AEC，
∴，∴，
∴BDC和AEC的面积分别为2和．
【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明BDC∽AEC，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方．
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微专题02 常见相似模型通关专练
模型一：A字模型
模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
一、解答题
【A字型】1．如图，，分别是与边上的高．
求证：．
【A字型】2．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【A字型】3．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【A字型】4．如图，中，中线，交于点，交于点．
（1）求的值．
（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
【A字型】5．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．
（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．
①如图，若，直接写出的长；
②如图，求证：．
【A字型】6．如图，在中，，，．若动点从点出发，沿射线运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．
（1）求出关于的函数关系式；
（2）当为何值时，的面积有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？
【8字型】7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB AF，求证：CM AB＝DM CN．
【8字型】8．已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE CA．
（1）求证：AD＝DE；
（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE AF．
【8字型】9．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若＝，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.
【8字型】10．如图，、是的两条高，连．
（1）求证：；
（2）若，点为的中点，求的值．
【8字型】11．已知在中，点为边上一点，点为边的中点，与交于点．
（1）如图，当时，________；
（2）如图，当时，求证：．
【8字型】12．（1）如图，若为的内角平分线，请问：成立吗？并说明你的理由．
（2）如图，中，，，，为上一点且，交其内角角平分线与．试求的值．
【子母型】13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【子母型】14．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【子母型】15．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
【子母型】16．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED EA=EC EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
【子母型】17．已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．
（1）求证：△BAE∽△ACE；
（2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE CE＝9，求EF DE的值．
【子母型】18．在中，，平分．
（1）如图1，若，，求的长．
（2）如图2，过分别作交于，于．
①求证：；
②求的值．
【一线三等角型】19．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化 如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
【一线三等角型】20．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【一线三等角型】21．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．
【一线三等角型】22．如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，．
（1）求的长．
（2）求证：．
【一线三等角型】23．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．
（1）求证：△BED∽△CFE；
（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长．
【一线三等角型】24．如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．
【手拉手型】25．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．
(1)求证：；
(2)求的度数及的长；
(3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．
【手拉手型】26．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．
【手拉手型】27．已知中点分别在边、边上，连接点、点在直线同侧，连接且．
（1）点与点重合时，
①如图1，时，和的数量关系是 ；位置关系是 ；
②如图2，时，猜想和的关系，并说明理由；
（2）时，
③如图3，时，若求的长度；
④如图4，时，点分别为和的中点，若，直接写出的最小值．
【手拉手型】28．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转.
(1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______；
(2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值；
(3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长．
29．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．
【手拉手型】30．在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．
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