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专题01 平行线平分线段成比例
考点类型
知识一遍过
（一）比例的性质
①基本性质： ad＝bc；（b、d≠0）
②合比性质： ＝；（b、d≠0）
③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0） ＝k．（b、d、…、n≠0）
（二）比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（三）平行线平分线段成比例
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
（四）黄金分割
黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若，则 ．
【变式3】设，则k的值为 ．
考点2：线段的比
典例2：某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，则： ．
【变式3】已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝ cm．
考点3：成比例线段
典例3：下列各数能组成比例的是（ ）
A． B．0.2，0.8，12，30
C．1，3，4，6 D．1，2，3，4
【变式1】已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2】已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 ．
【变式3】小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 ．
考点4：黄金分割
典例4：如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（ ）．（结果保留根号）
A． B．
C． D．
【变式1】2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米．
【变式3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号）
考点5：“#”字型
典例5：如图，直线，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．
【变式3】如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= ·
考点6：“8”字型
典例6：如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，则的对应线段是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，直线 ，已知，，， ．
【变式3】如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ．
考点7：“A”字型
典例7：在中，，，，则等于（ ）
A．10 B．8 C．9 D．6
【变式1】如图，在中，D、E分别为、边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知，，求：（1） ；（2） ．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，，交AB于点F，如果，那么菱形ABCD的周长为
考点8：平行线平分线段成比例——计算
典例8：如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．10
【变式1】如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，，如果，，，那么 ．
【变式3】如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于 cm．
考点9：平行线平分线段成比例——三角形中位线
典例9：如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【变式1】如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【变式2】作业本中有一道题：“如图，在中，点D为的中点，点E在上，且，，交于点F，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点E作，交于点G．最后小明求解正确，则的值为 ．
【变式3】如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．
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专题01 平行线平分线段成比例
考点类型
知识一遍过
（一）比例的性质
①基本性质： ad＝bc；（b、d≠0）
②合比性质： ＝；（b、d≠0）
③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0） ＝k．（b、d、…、n≠0）
（二）比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（三）平行线平分线段成比例
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
（四）黄金分割
黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：，
，，
A、，故本选项错误，不符合题意；
B、当，时，，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式1】若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据题意求出，代入所求式子中，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故选：D．
【变式2】若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了分式的性质，比的性质，求代数式的值，根据分式的性质变形是关键．根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：．
【变式3】设，则k的值为 ．
【答案】或
【分析】依据等比性质可得，，分两种情况讨论，即可得到的值．
【详解】解：当时，
，
由等比性质可得，，
即；
当时，，
；
综上所述，的值为或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
考点2：线段的比
典例2：某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】千米米厘米，
∴地图上的距离与实际的距离之比是，
故选：．
【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是正确理解比例尺的定义．
【变式1】若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得．
【详解】解：∵，，，成比例线段，
∴可得：，
又∵，，，
∴，
解得：，
∴线段的长为．
故选：B
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键．
【变式2】已知，则： ．
【答案】
【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值．
【详解】∵，
∴，
∴设，，
∴
【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系．
【变式3】已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝ cm．
【答案】3
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，即b2＝3×6，
解得b＝±3（线段是正数，负值舍去），
∴a和c的比例中项b＝3cm．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是本题的关键，注意线段不能是负数．如果b是a、c的比例中项，那么b2＝ac.
考点3：成比例线段
典例3：下列各数能组成比例的是（ ）
A． B．0.2，0.8，12，30
C．1，3，4，6 D．1，2，3，4
【答案】A
【分析】本题主要考查比例的意义和性质的运用，掌握比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”成为解题的关键．
根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，所以0.4，0.6，1，1.5能组成比例，符合题意；
B、因为，所以不能组成比例，不符合题意；
C、因为，所以1，3，4，6不能组成比例，不合题意；
D、因为，所以1，2，3，4不能组成比例，不合题意．
故选：A．
【变式1】已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查成比例线段，根据线段a，b，c，d成比例，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴
∴；
故选D．
【变式2】已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查成比例线段（如果四条线段，，，成比例，则，注意顺序，位置不能随意颠倒），解题的关键是根据成比例线段列式计算即可．
【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，，，，
∴，
∴，
∴的值是．
故答案为：．
【变式3】小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 ．
【答案】2
【分析】根据得到a，b，c之间的关系，再等量代换得到a，c的关系．
本题考查与成比例线段相关的比例式的计算，根据比例相等得到等量关系是解决问题的关键．
【详解】，
，
，
，
故答案为 2．
考点4：黄金分割
典例4：如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（ ）．（结果保留根号）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键．
因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段的长度，最后根据即可得出结论．
【详解】点是靠近点的黄金分割点，，
，
点是靠近点的黄金分割点，
，
，
支撑点之间的距离为．
故选：A．
【变式1】2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，，
，
故选：A
【变式2】20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米．
【答案】
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可．
【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，
∴米，
故答案为：．
【变式3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号）
【答案】/
【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即．
【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为，
∴，
∴，
∴的长度为 ．
故答案为：．
考点5：“#”字型
典例5：如图，直线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：∵，
∴，，
观察四个选项，选项A正确，符合题意，
故选：A．
【变式1】如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．
【变式2】如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．
【答案】6
【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．
【变式3】如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= ·
【答案】//
【分析】先根据平行线的判定方法得到，然后根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质计算DF．
【详解】解：∵DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，
∴，
∴，即，
∴DF＝7.5．
故答案为7.5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．
考点6：“8”字型
典例6：如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：在平行四边形中，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，故A、D不符合题意；
∴，故C符合题意；
∵，，
∴，故D不符合题意．
故选：C．
【变式1】如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，则的对应线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解．
【详解】解：依题意，的对应线段是,
故选：C．
【变式2】如图，直线 ，已知，，， ．
【答案】
【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解： ，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【变式3】如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ．
【答案】10
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：，
，
，，，，
，
，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点7：“A”字型
典例7：在中，，，，则等于（ ）
A．10 B．8 C．9 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得，问题即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴＝，
解得：，
故选：D．
【变式1】如图，在中，D、E分别为、边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质解答即可．本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】A、∵，
∴，错误，不符合题意；
B、∵，
∴，错误，不符合题意；
C、∵，
∴，正确，符合题意；
D、∵，
∴，故Ｄ错误，不符合题意；
故选C．
【变式2】如图，已知，，求：（1） ；（2） ．
【答案】 1 1
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得，，即可求解；
（2）根据平行线分线段成比例可得，，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
；
故答案为：1；
（2）∵，
，
∵，，
，
；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，，交AB于点F，如果，那么菱形ABCD的周长为
【答案】8．
【分析】由三角形中位线定理可求BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．
【详解】解：∵E是AC中点，且EF//BC，交AB于点F，
∴，
∴AF=BF，且AE=CE，
∴点F是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
∵，
∴BC=2，
∴菱形ABCD的周长=2×4=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较简单．
考点8：平行线平分线段成比例——计算
典例8：如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出线段的长．
【详解】解：如图，过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，
由题意可知，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【变式1】如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解．
【详解】解：过点作交于点，如图，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2】如图，，如果，，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【变式3】如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于 cm．
【答案】8
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用．根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8．
考点9：平行线平分线段成比例——三角形中位线
典例9：如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．
【详解】解：过点D作，交于H，
则，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式1】如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查图形与坐标，平行线分线段成比例，线段垂直平分线得到性质和判定．
设与相较于点，则，，得到,则垂直平分，得到即可解题．
【详解】如图,设与相较于点，
∵点是的中点,,
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴,
∴点的横坐标为.
故选C.
【变式2】作业本中有一道题：“如图，在中，点D为的中点，点E在上，且，，交于点F，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点E作，交于点G．最后小明求解正确，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据可得，结合，可得，根据点D为的中点即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
点D为的中点，
，
，
，
故答案为：．
【变式3】如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．
【答案】
【分析】首先过点M作，交分别于K，N，由M是的中点与、为的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，然后根据比例的性质，即可求解．
【详解】解：过点M作，交分别于K，N，
∵M是的中点，
∴，
∵、为的三等分点，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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