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专题05 特殊平行四边形单元过关（培优版）
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
2．如图，在中，是斜边上的中线，于点,若°，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
5．如图，直线，直线与直线之间的距离为2，直线与直线之间的距离为4.正方形的对角线与相交于点，若顶点，，分别在直线，，上，则的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，矩形中，，，点E为直线的一点，连，平移至，连接，则四边形的面积是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．15
7．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
8．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．10 D．20
10．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：
①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．②③⑤
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，，，垂足为D， E为的中点．若，则的长是 ．
12．如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，平移的距离为 ．
13．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若，，则的度数为 ．
14．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E，F，则△GEF的面积最大值是 ．
15．如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为
16．如图，正方形的边长为1，点为边上任意一点（可与点或点重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最大值为 ，最小值为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10，AB＝8
求．（1）FC的长
（2）EC的长．
18．在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F．
(1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．
19．综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，点，且a，b满足：，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线上的两个动点．
(1)求点C的坐标；
(2)连接．如图，当点P在线段（不包括B，O两个端点）上运动，若为以点E为直角的直角三角形，F为的中点，连接，试判断与的关系，并说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，E、F分别是AD、BC边上两点，将矩形ABCD沿EF折叠，使C刚好落在AB边的中点M处，D落在N处，MN交AD于G．
（1）当△AMG≌△NEG时，求△AMG的周长；
（2）当AB＝6时，求BF的长．
21．如图，四边形是矩形，E、F分别是线段、上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的值．
22．如图，已知，按如下步骤作图：
①分别以、为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点、；
②作直线，分别交、于点、；
③过作交于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
当，，，求四边形的面积．
23．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上．
（1）在图1中画一个以为边的平行四边形，点C、D在格点上，且平行四边形的面积为15；
（2）在图2中画一个以为边的菱形（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形的对角线______，______；
（3）在图3中画一个以为边的矩形（不是正方形），点M、N在格点上．
24．如图1，已知正方形和正方形，点E在的延长线上，点G在边上．
(1)求证：．
(2)现将正方形绕点A按顺时针方向旋转度，在旋转过程中，探究下列问题．
①当正方形AEFG旋转至图2位置时，分别交，于点M，N．求证：．
②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度．
25．对于平面直角坐标系中的动点和图形，给出如下定义：如果为图形上一个动点，，两点间距离的最大值为，，两点间距离的最小值为，我们把的值叫点和图形间的“和距离”，记作（，图形）.
（1）如图，正方形的中心为点，.
①点到线段的“和距离”（，线段）=______；
②设该正方形与轴交于点和，点在线段上，（，正方形）=7，求点的坐标.
（2）如图2，在（1）的条件下，过，两点作射线，连接，点是射线上的一个动点，如果（，线段），直接写出点横坐标取值范围.
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专题05 特殊平行四边形单元过关（培优版）
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
【答案】B
【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于或的一半，进而求四边形周长即可．
【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点，
∴，，．
又∵，，
∴四边形的周长是．
故选：B．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．
2．如图，在中，是斜边上的中线，于点,若°，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形中30°所对的边时斜边的一半，可以推算出AD的长度，利用中线的性质，可以得到AB的长度,在根据边角关系，得到BC的长度，利用勾股定理求得AC的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可.
【详解】解:∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∵∠A=30°，DE=1
∴AD=2，
∵DC是中线，
∴AB-4,
∴BC=2,
∴,
∴的面积为
故选D
【点睛】本题考查了中线的性质，直角三角形中边角关系和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据中线的性质得到相等的线段.
3．如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先确定四边形ABCD为平行四边形，添加的条件，可得AO=CO=BO=DO，可证AC=2AO=BD，故能判定选项A；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得∠ABC+∠BCD=180°，可求=90°，故能判定选项B；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为菱形，故不能判定选项C；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为矩形，故能判定选项D ．
【详解】解：四边形的对角线相交于O，
∵四边形的对角线互相平分，
∴AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
A选项添加的条件，
∴AO=CO=BO=DO，
∴AC=2AO=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项A能判定；
B选项添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项B能判定；
C选项添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
故选项C不能判定；
D添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项D能判定．
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，通过添加条形判定四边形ABCD为矩形，掌握平行四边形的判定，矩形的判定方法是解题关键．
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
【答案】D
【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
5．如图，直线，直线与直线之间的距离为2，直线与直线之间的距离为4.正方形的对角线与相交于点，若顶点，，分别在直线，，上，则的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】作出辅助线如图，通过证明△AED≌△DFC，得出AE=DF，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：过点A作AE⊥b，过点C作CF⊥b，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
∴∠EAD=∠CDF
在△AED和△DFC中，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴AE=DF=2，
∴DF2+CF2=DC2，
∴DC2=42+22=20，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形面积的求解方法，正确作出辅助线是解决本题的关键．
6．如图，矩形中，，，点E为直线的一点，连，平移至，连接，则四边形的面积是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．15
【答案】C
【分析】由矩形的性质可得、，平移至后得到的四边形是平行四边形，面积等于矩形面积，计算矩形面积即可解答．
【详解】解：∵矩形中，，
∴,
∵平移至，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的平移、平行四边形的性质与判定、矩形的性质等知识点，掌握平行四边形性质与判定是解答本题的关键．
7．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据四边形ABCD是正方形，△EMC是等边三角形，得出∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°，再计算角度即可；通过做辅助线MD，得出MA＝MD，MD=MN，从而得出AM＝MN.
【详解】如图，连接DM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵△EMC是等边三角形，
∴BM＝BC＝CM，∠EMC＝∠MBC＝∠MCB＝60°，
∴∠ABM＝∠MCN＝30°，
∵ BA＝BM， MC＝CD，
∴∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°,
∴∠MAD＝∠MDA＝15°, 故A正确；
∴MA＝MD，
∴∠DMN＝∠MAD+∠ADM＝30°，
∴∠CMN＝∠CMD-∠DMN＝45°，故B正确;
∵∠MDN＝∠AND＝75°
∴MD=MN
∴AM＝MN，故C正确；
∵∠CMN＝45°，∠MCN＝30°，
∴，故D错误，故选D.
【点睛】本题考正方形的性质、等边三角形的性质等知识，灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度得出等腰三角形是关键.
8．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】连接，先证明，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，得出菱形的一个角是直角，可得出四边形是正方形，从而可得四边形和四边形都是正方形，然后根据正方形和四边形的面积之比为即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
由拼接可知四边形和四边形都是正方形，，，
∴．
∵正方形和四边形的面积之比为，
∴正方形和四边形的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形和四边形都是正方形是解答本题的关键．
9．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．10 D．20
【答案】D
【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.
【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
∴AQ=4
由翻折可知，AQ⊥BP
由勾股定理，得BC=AB==5
∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故选：D
【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.
10．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：
①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．②③⑤
【答案】C
【分析】由于∠EAP=90°，所以∠EAB=∠DAP，又因为AP=AE，AD=AB，所以△APD≌△DAP，从而得出∠EBA=∠PDA，即可知∠BED=∠BAD=90°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的长度，从而可求出AB2，即正方形ABCD的面积，由于S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△PEB，所以求出△AEP与△PEB的面积即可．
【详解】解：在正方形ABCD中，
AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠EAB+∠BAP=∠DAP+∠BAP，
∴∠EAB=∠DAP，
在△APD与△AEB中，
，
故①正确；
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB=∠EAD，∠EAB=∠AED，
∴∠AEB-∠AED=∠EAD-∠EAB，
∴∠BED=∠BAD=90°，
∴BE⊥ED，
故③正确，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∵∠EAP=90°，
AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∵∠FEB+∠AEP=90°，
∠FEB+∠EBF=90°，
∴∠AEP=∠EBF=45°，
∴EF=BF，
∵AE=AP=1，
∴由勾股定理可求得：，
，
∴由勾股定理可求得：，
∵，
∴，
故②错误，
∵，
∴，
∴由勾股定理可知：，
故⑤正确；
∵△APD≌△AEB，
∴S△APD=S△AEB，
∴S△APD+S△APB
=S△AEB+S△APB
=S△AEP+S△PEB
=．
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查四边形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，，，垂足为D， E为的中点．若，则的长是 ．
【答案】5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键．
12．如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，平移的距离为 ．
【答案】
【分析】设直线的解析式为，将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，得到直线的解析式为，再求出当时的值，即为平移的距离．
【详解】解：设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
四边形是正方形，
，
，
设正方形沿轴向右平移，点落在边上的点处，
点与点的纵坐标相同，
，
把代入，得，
解得，
平移的距离是，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、正方形的性质、平移的性质等知识，正确地求出直线的解析式是解题的关键．
13．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若，，则的度数为 ．
【答案】35°
【分析】由菱形的性质可得BC=CD，即可求解．
【详解】解：∵∠MCB=52°，∠DCN=18°，
∴∠BCD=110°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∴∠BDC=35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
14．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E，F，则△GEF的面积最大值是 ．
【答案】30
【分析】经分析，当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，根据折叠性质可知，，根据勾股定理可求得，再根据矩形的性质可知，则可得，即可求得△GEF的面积最大值．
【详解】解：如图，在折叠过程中△GEF的高不变，底边GE随着G点运动越接近A点越大，故当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，
由折叠可知，，，
在中，，
即，解得，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴△GEF的面积最大值为：．
故答案为：30
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质、定理是解题关键．
15．如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为
【答案】．
【详解】试题分析：如图1，连接AC，∵菱形ABCD的边长是，∠A=60°，则BD=AB=，AO=OB，∴AC=2AO=OB=BD==，∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，∴EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵EG⊥BD，∴EG∥AC，∴，又∵EG=AE，∴，解得EG=，∴EG的长为．故答案为．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．菱形的性质；3．综合题．
16．如图，正方形的边长为1，点为边上任意一点（可与点或点重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】 2
【分析】连接、，根据三角形的面积公式得出，根据，推出，根据已知得出，
代入求出即可．
【详解】解：连接、，
，
由勾股定理得：，
，
，
和的边上的高，
，
，
，
，
，
故答案为：2，．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用．主要考查学生运用性质进行计算能力，题目比较好，但是一道比较难的题目．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10，AB＝8
求．（1）FC的长
（2）EC的长．
【答案】（1）4；（2）3
【分析】（1）由矩形的性质可得AD＝BC＝10，∠B＝90°，根据折叠可得AD＝AF＝10，再利用勾股定理可得BF长，进而可得FC长；
（2）根据矩形的性质可得AB＝CD＝8，∠C＝90°，设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，再在Rt△EFC利用勾股定理可得方程x2＝（8﹣x）2+42，解出x的值，进而可得EC长．
【详解】解：（1）根据折叠可得AD＝AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，∠B＝90°，
∴AF＝10，
∴BF＝，
∴FC＝4；
（2）根据折叠可得ED＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，∠C＝90°，
设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，
x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴EC＝8﹣5＝3．
【点睛】本题考查矩形折叠的问题,关键在于熟记矩形和图形折叠的性质.
18．在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F．
(1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）∠BCF=67.5°.
【分析】（1）作∠CBD的角平分线即可．
（2）证明BF＝BC，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD．
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BFE＝90°．
由（1）得EF＝EC，BE＝BE，
∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL）
∴BC＝BF．
∴∠BCF＝∠BFC，
∴∠BCF＝(180° ∠FBC)＝67.5°．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
19．综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，点，且a，b满足：，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线上的两个动点．
(1)求点C的坐标；
(2)连接．如图，当点P在线段（不包括B，O两个端点）上运动，若为以点E为直角的直角三角形，F为的中点，连接，试判断与的关系，并说明理由．
【答案】(1)点C（4，0）
(2)EF=OF，EF⊥OF
【分析】（1）利用二次根式有意义条件列不等式组得出，，然后求出点B坐标，利用轴对称性质求即即可；
（2）先证△AOB为等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，然后利用直角三角形斜边中线性质，以及三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）解：∵a，b满足：，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得，
∴点B（-4，0），
∵点C与点B关于y轴对称，
∴点C（4，0）；
（2）解：结论：EF=OF，EF⊥OF．
∵点A（0,4），
∴OA=OB=4，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°
∵当点P在线段（不包括B，O两个端点）上运动，为直角三角形，
∴PE⊥AB，
∵F为的中点，点E为直角，AP为Rt△AEP的斜边，EF为中线，也是Rt△AOP的斜边，OF为中线，
∴EF=AF=，OF=AF=，
∴EF=OF，
∵EF=AF，AF=OF，
∴∠AEF=∠EAF，∠FAO=∠FOA，
∵∠EFP为△AEF的外角，∠OFP为△OEF的外角，
∴∠EFP=2∠EAF，∠OFP=2∠OAF，
∵∠EFO=∠EFP+∠OFP=2∠EAF+2∠OAF=2（∠EAF+∠OAF）=2∠EAO=90°，
∴EF=OF，EF⊥OF．
【点睛】本题考查二次根式有意义条件，轴对称性质，等腰直角三角形判定与性质，直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质，本题难度适中，是小综合题．
20．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，E、F分别是AD、BC边上两点，将矩形ABCD沿EF折叠，使C刚好落在AB边的中点M处，D落在N处，MN交AD于G．
（1）当△AMG≌△NEG时，求△AMG的周长；
（2）当AB＝6时，求BF的长．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）由全等三角形的性质可得AG＝GN，AM＝NE，GM＝GE，由折叠的性质可得ED＝EN＝AM，即可求解；
（2）在Rt△BFM中，利用勾股定理可求BF的长．
【详解】解：（1）∵△AMG≌△NEG，
∴AG＝GN，AM＝NE，GM＝GE，
∵将矩形ABCD沿EF折叠，
∴ED＝EN＝AM，∠B=90°
∴△AMG的周长＝AM+AG+GM＝AG+GE+DE＝AD＝BC＝8；
（2）∵将矩形ABCD沿EF折叠，
∴MF＝CF，
∵点M是AB中点，
∴AM＝BM＝3，
在Rt△BFM中MF2＝BF2+MB2，
∴（8﹣BF）2＝BF2+9，
∴BF＝．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，矩形的性质，以及勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21．如图，四边形是矩形，E、F分别是线段、上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据折叠得出，，，根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，根据菱形的面积，即可求出结果．
【详解】（1）证明：沿直线折叠，点与点重合，
，，，
四边形是矩形，点与点分别是线段，上的点，
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：，
，
，
又四边形是菱形，
菱形的面积，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质．
22．如图，已知，按如下步骤作图：
①分别以、为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点、；
②作直线，分别交、于点、；
③过作交于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
当，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24.
【分析】（1）由根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形；
（2）由∠ACB=90°，BC=6，AB=10，可求得AC的长，易得DO是△ABC的中位线，又由四边形ADCE是菱形，即可求得答案．
【详解】证明：∵根据题意得：是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形的面积为：．
【点睛】考查菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键.
23．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上．
（1）在图1中画一个以为边的平行四边形，点C、D在格点上，且平行四边形的面积为15；
（2）在图2中画一个以为边的菱形（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形的对角线______，______；
（3）在图3中画一个以为边的矩形（不是正方形），点M、N在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，AE=，BF=；（3）见解析
【分析】（1）如图1中，根据平行四边形的定义，画出第为5，高为3的平行四边形即可．
（2）如图2中，根据菱形的判定画出图形即可．
（3）根据矩形的定义画出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求．
（2）如图2中，菱形ABEF即为所求．AE=，
BF=；
（3）如图3中，矩形ABMN即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，菱形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．如图1，已知正方形和正方形，点E在的延长线上，点G在边上．
(1)求证：．
(2)现将正方形绕点A按顺时针方向旋转度，在旋转过程中，探究下列问题．
①当正方形AEFG旋转至图2位置时，分别交，于点M，N．求证：．
②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②或
【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，，然后利用证明即可；
（2）①首先根据题意证明出，然后得到，然后利用三角形内角和定理即可得到，进而证明出；
②根据题意分三种情况讨论：点在直线上，点在直线上和点在直线上，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）在正方形和正方形中，
，，，
．
（2）①证明：，
，
．
，，
，
．
，
，
．
②解：在正方形中，
平分，
，
根据正方形的顶点（点除外）在直线上，分以下三类：
Ⅰ、如图3，当在直线上时，过点作于点，则，
，
，，
，
．
Ⅱ、如图4，当在直线上时，在正方形中，平分，
，
，，
，，三点共线，
．
Ⅲ、如图5，当在直线上，过点作于点，
，
，
，，
，
．
综上所述：为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
25．对于平面直角坐标系中的动点和图形，给出如下定义：如果为图形上一个动点，，两点间距离的最大值为，，两点间距离的最小值为，我们把的值叫点和图形间的“和距离”，记作（，图形）.
（1）如图，正方形的中心为点，.
①点到线段的“和距离”（，线段）=______；
②设该正方形与轴交于点和，点在线段上，（，正方形）=7，求点的坐标.
（2）如图2，在（1）的条件下，过，两点作射线，连接，点是射线上的一个动点，如果（，线段），直接写出点横坐标取值范围.
【答案】（1）①；②的坐标为和；（2）.
【分析】（1）①根据“和距离“的定义计算：OE是两点间距离的最小值，OA是两点间的最大值，相加可得结论；②分两种情况：P在y轴的正半轴和负半轴上，根据“和距离“的定义，并由d（P，正方形ABCD）=7，列方程计算即可；
（2）分M在线段CD上和延长线上两种情况，利用“和距离”的定义列方程可得结论．
【详解】（1）①如下图所示，连接OA，
∵四边形ABCD是正方形，且A（3，3），
∴，
∴
即d（O，线段AB）=
故答案为；
②如下图所示，设，
∵点在线段上，
∴.
当时，由题意可知，.
∴，，.
∵（，正方形），
∴.
∴.
在中，由勾股定理得，
解得.
∴.
当时，由对称性可知.
综上，的坐标为和.
（2）分两种情况：
①当-3≤t<3时，如下图所示，M在线段CD上，过M作MN⊥AC于N，连接AM，
∵M点横坐标是t，
∴CM=t+3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴MN=CM=，
∴（，线段）=MN+MA=，
②当t≥3时，如下图所示，M在线段CD的延长线上，过M作MN⊥AC于N，
同理可得MN=CM=，
∴（，线段）=MN+CM=，
∵M从C到D方向上运动时，MN+MA越来越大，
∴
解得：，
解得：，
∴点横坐标的取值范围是.
【点睛】本题考查正方形的综合问题，解题的关键是理解并掌握“和距离”的定义，注意解题过程中运用数形结合和分类讨论思想.
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