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微专题01 与旋转有关的证明与计算通关专练
一、单选题
1．如图，在中，点D、E分别是边的中点，将绕点E旋转得，连接，添加下列条件后能判定四边形是正方形的是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理、全等三角形的性质，矩形及正方形的判定的应用，注意：邻边相等的矩形是正方形．
根据三角形中位线和线段中点得出，根据旋转的性质得出全等，推出 ，添加时，推出，根据矩形的判定和性质，然后添加使得矩形成为正方形的条件即可．
【详解】解：∵点、分别是边、的中点，
，
∵将绕点旋转得，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
添加时，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴添加即可使得矩形是正方形，
∵当且时，
∴C正确，
故选：C．
2．如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C．平分 D．若，则M是的中点
【答案】C
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形内角和定理等知识，设交于点O, 证明，由，得到，即，即可判断A，利用等量代换和等边对等角得到，即，即可判断B，由得到，即可判断C，证明是等腰三角形， 则，得到，由得到是等腰三角形，即可判断D.
【详解】解：设交于点O,
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
即，
故选项A正确，不符合题意；
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
即，
故选项B正确，不符合题意；
∵
∴，
∴不平分，
故选项C错误，符合题意；
若，
∵，
∴是等腰三角形，
∴
∵
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴， ，
即M是的中点
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
3．如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作于点F，连接、，则其中所有正确的结论是（ ）
①可由绕点B旋转而得到；
②；
③．
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】证明，可得①正确；根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质和对顶角相等得出，等量代换可得②正确；过E作交延长线于点M，求出，，证明，可得，再证，得出，然后根据线段的和差关系，通过等量代换可得③正确．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴可由绕点B旋转而得到，①正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，②正确；
过E作交延长线于点M，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
4．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，、分别交于点M，N，连接、，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题．
将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，可证得，从而得到，，进而得到，再由四边形内角和定理可得，，故①②正确；再证明，可得，故③正确；再由，，可得，从而得到，对顶角相等，故④正确．
【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，
∵四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，故①②正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，故③正确；
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，故④正确；
故选A．
5．如图所示，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转后到达的位置．延长交于点，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则．其中不正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．根据旋转的性质，得到，，，，根据四边形为正方形，得到，，利用等量代换得到，即，从而证明四边形是矩形，结合，得到四边形是正方形，进而得到结论①②；过点作于，根据等腰三角形三线合一性质，得到，证明，得到，进而得到，由此证明③正确．
【详解】解： 将绕点按顺时针方向旋转后得到，
，，，，
四边形为正方形，
，，
，，
，即，
，，，
四边形是矩形，
又 ，
四边形是正方形，
，
，
故结论①②正确；
过点作于，如图，
，，
，，
，，
，
又，，
，
，
四边形是正方形，
，
又 ，
，
，即是中点，
．
故结论③正确；
综上所述，结论①②③正确；故不正确的是0个，
故选：D．
6．如图，将 沿射线的方向平移，得到， 再将绕点逆时针旋转 一定角度后，得到，点B的对应点为C， 点的对应点为点D， 则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移和旋转的性质，解决问题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
据图形平移和旋转的性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、由旋转的性质可得，，，，又与不一定相等，与不一定相等，与不一定平行，故此选项不一定正确，符合题意；
B、由平移的性质可得，，，故此选项正确，不合题意；
C、由旋转的性质可得，，，故此选项正确，不合题意；
D、由旋转的性质可得，，，，，平分，故此选项正确，不合题意；
故选：A．
7．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，与交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项判断即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】、由旋转性质可知：，
∴，
题中没有说明，故此项不一定成立，不符合题意；
、由旋转性质可知：，
∴，
∵，
∴，故此项一定成立，符合题意；
、由旋转性质可知：，
∴，
∴，即，
故此项不成立，不符合题意；
、由旋转性质可知：，
∴，
∵，
∴，
题中与不一定相等，不符合题意；
故选：．
8．如图，等边内部有一点P，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形性质，旋转性质，勾股定理等．根据题意将绕点逆时针旋转得，再连接，继而得到是等边三角形，再利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：∵等边，
∴，
∴将绕点逆时针旋转得，
连接，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，即：，
∴，
∴，
故选：A．
9．如图，在中，，，，在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积等于．
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题．
10．如图，中，，点D是边的延长线上一点，连接，顺时针旋转线段得到，且，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转的性质和全等三角形的判定和性质，由旋转可得，，结合题意可得，即可利用证明，则有即可．
【详解】解：由旋转可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
11．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）．
①点A与点是对应点；
②；
③；
④．
【答案】①②③
【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴，
∴点A与点是对称点，，，
故①②③正确，
故答案为：①②③．
12．如图，在中，．点在BC上且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据证明是解题的关键．
据旋转的性质得出，再根据证明得出，得出，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解．
【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
14．如图，在等边中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③是等边三角形；④的周长是9，其中正确的有 （只填序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由等边三角形的性质得出，，由旋转的性质得出，，推出，即可判断①；由旋转的性质得出，，即可判断③；求出即可判断②；利用，，求出的周长即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，得，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵将绕点逆时针旋转，得，
∴，，
∴是等边三角形，故③正确；
∵在中，，
∴，即，
∴，故②错误；
∵，，
∴的周长，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
15．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，且点E在的延长线上，连接．给出下面四个结论：
①
②
③
④
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】根据旋转的性质可以直接判断①；分别在上截取，证明，得出，证明，根据M在上，N在上，得出，即可判断故②正确；根据三角形外角的性质即可判断③；根据，，，证明，判断④正确．
【详解】解：由旋转的性质可得 ，，，，，，故①正确；
如图，
∴分别在上截取，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵M在上，N在上，
∴，
∴；故②正确．
∵，，
∴，故③错误；
∵，
，，
∴，
∵，
∴ ，故④正确；
综上分析可知：正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
16．如图，与关于点成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质分别判断即可．
【详解】解：由中心对称的性质知，①点A与点是对称点，正确；
②，正确；
由中心对称知， ，
∴，
∴，故③正确；
∴，故④错误；
故答案为：①②③．
17．如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转到的位置，交于点，则 ．
【答案】/76度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，由可得，由旋转的性质可得，进而得到，再由三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵绕点按逆时针方向旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．如图，与均是等腰三角形，且，连接，，在绕点旋转的过程中，四边形面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形及图形的旋转，根据题意得出点C、D在以点P为圆心，长为半径的圆上运动，当运动到时，四边形为梯形，面积最大，过点P作，确定点E、P、F在同一直线上，然后利用勾股定理及等腰直角三角形的性质确定，即可求出面积，依据题意作出相应辅助线是解题关键．
【详解】解：如图所示：点C、D在以点P为圆心，长为半径的圆上运动，当运动到时，四边形为梯形，面积最大，过点P作，
∴点E、P、F在同一直线上，
∵与均是等腰三角形，，，
∴，
∴，
∴四边形面积的最大值为，
故答案为：．
19．如图，是等边三角形，点D是射线上的一点（不与点B、C重合）连接，在的右侧作等边三角形，将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，交于点M．当，时，则AM的长为 ．
【答案】或
【分析】连接、，过点作于点，分两种情况讨论：①当点在延长线上时；②当点在上时，根据等边三角形的性质，证明，再结合旋转的性质，推出四边形是平行四边形，根据等边三线合一的性质，由勾股定理求出AM的长即可．
【详解】解：如图，连接、，过点作于点，
①当点在延长线上时，
和是等边三角形，
，，，
，，
，
，，
，
由旋转的性质可知，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
在等边中，，，
，，
，
，
，
在等边中，是中点，，
，
；
②当点在上时，同理可得四边形是平行四边形，
，
在等边中，，，
，，
，
，
，
在等边中，是中点，，
，
；
综上可知，AM的长为或，
故答案为诶：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，旋转的性质等知识，正确作辅助线，证明是中点是解题关键．
20．如图，把绕直角顶点C顺时针旋转后得到，点F在线段上，延长交于点G，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
连接，由旋转的性质得，，，证明，得出，从而得出与的长，证明，结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵把绕直角顶点C顺时针旋转后得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
．
三、解答题
21．在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到；
（2）通过证明得到；
（3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：，
理由如下：
以点为中心，把逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
；
（3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知：，
又，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
22．在中， ，点O为的中点，点D在直线上（不与点A，B重合），连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．
(1)如图1，当点D与点O重合时，请写出线段与线段的数量关系；并说明理由．
(2)如图2，当点D在线段上时，求证：；
(3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）连接，根据旋转的性质证明，再证明是等腰直角三角形即可得到答案；
（2）证明，根据，即得；
（3）设，则，分两种情况进行分类讨论计算即可．
【详解】（1）解：，
理由如下：
连接，如图：
，
，
线段绕点C逆时针旋转，得到线段，
，
，
，
直线，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：，O为的中点，
，
，
，
直线l，直线l，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由，设，则，
当D在线段上时，延长交于K，如图：
由（2）知，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当D在射线上时，延长交于T，如图：
同理可得，
，
，
，
，O为的中点，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．如图，在正方形中，交于点E，交于点F，，连接交于点M，交于点N，将绕点A顺时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
（1）根据证明即可解题；
（2）根据全等的性质得到，设，则，依据勾股定理可列出关于x的方程解题即可．
【详解】（1）证明：∵是正方形，
∴，
∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
则，即，
解得：，即．
24．如图，在正方形中，点是边上一点，点在的延长线上.将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，点恰好在线段上.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)直接写出，，三者之间的数量关系.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质得出，，，，推出，即可证明；
（2）根据和等腰直角三角形的性质可得，可证；
（3）连接，由勾股定理可得，利用正方形性质和全等三角形的性质可知，，即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形正方形
，
绕点顺时针旋转得到线段
，
在和中
（2）证明：由（1）可知，
又，
是等腰直角三角形
即；
（3）解： 连接，如图
由（2）可知，
在正方形中，，
又
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点，证明是解题的关键．
25．如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定定理等：
（1）证明，即可求证；
（2）根据勾股定理可得的长，再由角平分线的判定定理可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、，并延长交于点P；
(1)求证：；
(2)试说明；
(3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)见解析
(3)不发生变化；理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定定理内容是解题关键．
（1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案．
（2）由推出，即可求证；
（3）根据证，再得出即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：不发生变化，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
27．在中，，，将绕点B顺时针旋转一定度数得线段，连接，，将绕点D逆时针旋转得线段，连接、．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若点D在的内部，恰好经过的中点F，求证：；
(3)若，点D在的外部，当线段取得最大值时，在平面内将沿直线翻折得到，其中交于点F，连接，，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)2
【分析】（1）由已知可得出，由由旋转的性质可得出，，由等边对等角得出，等量代换可得出，利用证明，进而可得出，结合已知条件可得出．
（2）延长至点G，使得，连接，先证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，，，进而可得出，再利用证明，利用全等的性质可得出，结合已知条件判定为等腰直角三角形，即可证明．
（3）结合题意可得出点D的轨迹是以B为圆心，为半径的圆上，由旋转的性质可得出，即可得出当最大时，最大，是延长线与圆B的交点，由已知条件可得出，进而可得出，即可得出．
【详解】（1）解：如图，
∵，，
∴，
∵由旋转的性质可得出：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（2）证明：延长至点G，使得，连接，如图，
∵F为中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
同（1）可得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）点D的轨迹是以B为圆心，为半径的圆上，
由旋转的性质可得出：，
∴当最大时，最大，
∴是延长线与圆B的交点，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定以及性质，等腰直角三角形的判定以及性质，旋转的性质等知识，正确作出辅助线和找到点D的轨迹是解题的关键．
28．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．
(1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称；
(2)若，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)中点，E
(2)见解析
【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
（1）利用中心对称的性质回答即可，
（2）证得，利用等腰三角形的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段的中点，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
故答案为：中点，E；
（2）证明：∵，
∴，
∴是等腰三角形．
29．如图，正方形中，是对角线上的一个动点（不与、重合），连结，将绕点顺时针旋转到，连结交于点，延长线与边交于点．
(1)连结，求证：；
(2)若正方形的边长为，且，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可得，，，从而证得，即可证得；
（2）根据正方形的性质和勾股定理可求得对角线的长，从而得到，的长，再根据全等三角形的性质结合正方形的性质可得，，最后根据勾股定理即可求得线段的长．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
绕点顺时针旋转到，
，，
，
；
（2）解：四边形是正方形，边长为，
对角线，，
，，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
30．在中，，，直线经过点，且于，于，
(1)当直线绕点旋转到图（1）的位置时，显然有：；
(2)当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
(3)当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．
（1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到．
【详解】（1）证明： 中，，
，
又直线经过点，且于，于，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）证明：中，，直线经过点，且于，于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）如图3，
中，，直线经过点，且于，于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
；
、、之间的关系为．
31．如图，正方形的直角顶点O为正方形的中心，O、C、E三点和O、D、G三点分别都在同一直线上，现将正方形绕点O逆时针旋转角，连接、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用边角边证明即可得出结论；
（2）先求出，再由（1）可知，从而证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
32．如图1，点、别在正方形的边、上，，连接．
(1)求证：下面提供解题思路，请填空：
如图2，把绕点顺时针旋转________度至，可使与重合．由，则知、、三点共线，从而可证________从而得．
(2)当绕点旋转到如图3的位置时，线段，和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
(3)如图4，四边形不是正方形，但满足，，，且，，，求的长．
【答案】(1)90；
(2)线段，和之间的等量关系为：，证明见解析
(3)四边形不是正方形，但满足，，，且，，，求
【分析】（1）把绕点顺时针旋转90度至，可使与重合．由，则知、、三点共线，从而可证，从而得；
（2）在上截取，连接，证明，可得，再证明，可得，即可解答；
（3）在上取点P，使，连接，证明，可得，，再证明，可得，设，则，，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，把绕点顺时针旋转90度至，可使与重合．
此时，，，
∴，
∴、、三点共线，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：90；
（2）解：线段，和之间的等量关系为：．
证明：如图，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）解：如图，在上取点P，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
即．
【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
33．将两个全等的等腰直角三角形按如图①放置，斜边分别交于点M、N．
(1)如图②，将图①中的绕点C逆时针旋转得到，连接，求证：；
(2)如图③，将绕点C旋转，当点M在上，点N在的延长线上时，试判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再求出，从而求出，然后利用“边角边”证明和全等即可；
（2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式即可得解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，此类题目根据相同的思路确定出全等的三角形，然后找出条件是解题的关键．
【详解】（1）解： 绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
即，
，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，把绕点逆时针旋转得到，
则，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
34．如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段．
(1)过点作于点G，求证：；
(2)连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由；
(3)试求在整个运动过程中，点的运动路径长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长不变，
(3)
【分析】本题主要老相正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识：
（1）证明，根据证明即可得出结论；
（2）将绕点顺时针旋转得到，分别证明和，进一步得出的周长等于；
（3）连接，在上截取，证明，得出，得出运动路径长为
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵旋转得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：的周长不变
理由如下：将绕点顺时针旋转得到，
∵四边形是正方形，
∴
由旋转得，
∴，，，
∴，
∴点、、共线
∵，
∴
∴，
∴
即
∴，
∴
∴
∵
∴的周长等于
∴的周长不随点的位置而发生改变．
（3）解：连接，在上截取，如图，
由（1）知，
∴
∴
∵，，
∴,
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
由此可知，点从到，点在线段上运动，如图，
所以，当从到时，点的运动路径长为 ．
35．如图1，在正方形内作交于点交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．
(1)求证：；
(2)若，求的面积；
(3)如图2，连接交于点，交于点．求证：．
【答案】(1)见详解
(2)15
(3)见详解
【分析】（1）由旋转的性质可知：，，接下来在证明，然后依据证明即可；
（2）由全等三角形的性质可知：，．设正方形的边长为，在中，依据勾股定理列方程求得，进而解得的面积；
（2）将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明，于是得到，最后再由证明即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知：，，
四边形为正方形，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作，垂足为．如图1，
，，，
，，
设正方形的边长为，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
；
（3）证明：如图2所示：将逆时针旋转得，
四边形为正方形，
，
由旋转的性质可知：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
36．在中，，的平分线交于点D，将绕点B顺时针旋转到与在的同一侧，且，过点E作于点F．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)求证：A，D，E三点在同一直线上；
(3)如图2，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由，可得，由平分，可得，由，可得，根据，计算求解即可；
（2）如图1，连接，过点B作于点H，则，由旋转得，，由，，可得，由平分，可得，则，由，，可得，进而可证A，D，E三点在同一直线上；
（3）如图2，过点D作于G，由角平分线的性质定理可得，由，可得，证明，则，在中，由勾股定理得，则，．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：如图1，连接，过点B作于点H，则，
由旋转得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴A，D，E三点在同一直线上．
（3）解：如图2，过点D作于G，
∵，即，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
37．综合运用
【模型建立】
（1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：．．
【模型应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中有一正方形，若点C的坐标为，求点 A的坐标．
（3）如图3，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）先证明，进而用即可证明；
（2）分别过点作y轴，x轴的垂线，垂足为，同理（1）中方法证明，的到，即可得到点A的坐标；
（3）作交直线于点，作轴于点，由旋转得，则，由（1）可得，求解两点坐标，得到长度，确定坐标，设直线的函数表达式，把代入，求解即可．
【详解】（1）证明∶ 于点 于点，
，，
，
又，
；
（2）解：分别过点作y轴，x轴的垂线，垂足为，
点C的坐标为，
，
正方形中，，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，作交直线于点，作轴于点，
由旋转，
，
，
∴由（1）可得，
，
直线，当时， 则，
解得；
当时，，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
把代入，
得 ， 解得 ，
直线的函数表达式为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
38．【问题初探】（1）如图①，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：；
【问题改编】如图②，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到，将边绕点C逆时针旋转得到．连接，延长交于点F．
（2）求证：点F是的中点；
（3）连接，若，，则__________（直接写结果）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据旋转的性质求解，解题的关键是证明三角形全等．
（1）证明，即可得出结论；
（2）过点E作，交的延长线于点G．证明，得到，证明，即可得证；
（3）利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
．
，
．
（2）证明：过点E作，交的延长线于点G．
，
，
，
，
．
，
，
，
．
．
，
．
，
．
．
即点F是的中点．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
39．【问题情境】在某次数学课上，老师给出这样一个问题：点在直线的上方，于点，于，，与相交于点．
【问题探究】
（1）如图1，老师用几何画板软件作出图形并连接，在将沿直线平移的过程中，小明同学发现是一个特殊三角形，请你判断是什么特殊三角形，并说明理由；
【问题解决】
（2）将沿直线平移，并以为一边在直线的上方作等边．
①如图2，当点与在同一直线上时，连接．若，求的值；
②如图3，当时，连接并延长交直线于点，求证：．
【答案】（1）等腰三角形，见解析；（2）①；②见解析
【分析】本题考查矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，解题关键在于熟练掌握以上知识点并灵活运用以及准确添加辅助线．
（1）过点作于，得四边形是矩形，求得，即可判断三角形的性状．
（2）①过点作于点，垂直于，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求解．
②通过判定为等边三角形结合旋转的性质即可求证．
【详解】解：（1）为等腰三角形，
理由：过点作于，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，且，
∴为等腰三角形．
（2）①过点作于点，
∵垂直于，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的值为．
②∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴为等边三角形，
∵为等边三角形，
∴绕点顺时针旋转后与重合，
∴，
∴．
40．阅读下面材料，并解决问题．
（1）【阅读材料】
如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 的度数．为了解决本题，我们可以将 绕顶点A 旋转到 处，此时，连接 ，这样就可以利用旋转变换，将不在同一个三角形中的三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）【活学活用】
请你仿照第（1）题的解答思想方法，解答下列问题：
如图2，在等腰直角三角形中， ，，E，F 为上的点，且，求证：．
【答案】（1），（2）见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得为等边三角形，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，从而求出答案；
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转证明，再根据等腰三角形的性质求出，即可证明．
【详解】（1）解：在等边三角形中，
∵，
∴，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，
，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴；
（2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
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微专题01 与旋转有关的证明与计算通关专练
一、单选题
1．如图，在中，点D、E分别是边的中点，将绕点E旋转得，连接，添加下列条件后能判定四边形是正方形的是（ ）
A． B．
C．且 D．且
2．如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C．平分 D．若，则M是的中点
3．如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作于点F，连接、，则其中所有正确的结论是（ ）
①可由绕点B旋转而得到；
②；
③．
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
4．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，、分别交于点M，N，连接、，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图所示，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转后到达的位置．延长交于点，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则．其中不正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．如图，将 沿射线的方向平移，得到， 再将绕点逆时针旋转 一定角度后，得到，点B的对应点为C， 点的对应点为点D， 则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
7．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，与交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等边内部有一点P，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A． B． C． D．3
10．如图，中，，点D是边的延长线上一点，连接，顺时针旋转线段得到，且，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）．
①点A与点是对应点；
②；
③；
④．
12．如图，在中，．点在BC上且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．则的面积是 ．
13．如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ．
14．如图，在等边中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③是等边三角形；④的周长是9，其中正确的有 （只填序号）
15．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，且点E在的延长线上，连接．给出下面四个结论：
①
②
③
④
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
16．如图，与关于点成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的序号为 ．
17．如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转到的位置，交于点，则 ．
18．如图，与均是等腰三角形，且，连接，，在绕点旋转的过程中，四边形面积的最大值为 ．
19．如图，是等边三角形，点D是射线上的一点（不与点B、C重合）连接，在的右侧作等边三角形，将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，交于点M．当，时，则AM的长为 ．
20．如图，把绕直角顶点C顺时针旋转后得到，点F在线段上，延长交于点G，若，，则的面积为 ．
三、解答题
21．在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
22．在中， ，点O为的中点，点D在直线上（不与点A，B重合），连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．
(1)如图1，当点D与点O重合时，请写出线段与线段的数量关系；并说明理由．
(2)如图2，当点D在线段上时，求证：；
(3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
23．如图，在正方形中，交于点E，交于点F，，连接交于点M，交于点N，将绕点A顺时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，在正方形中，点是边上一点，点在的延长线上.将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，点恰好在线段上.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)直接写出，，三者之间的数量关系.
25．如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段长．
26．如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、，并延长交于点P；
(1)求证：；
(2)试说明；
(3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由．
27．在中，，，将绕点B顺时针旋转一定度数得线段，连接，，将绕点D逆时针旋转得线段，连接、．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若点D在的内部，恰好经过的中点F，求证：；
(3)若，点D在的外部，当线段取得最大值时，在平面内将沿直线翻折得到，其中交于点F，连接，，请直接写出的面积．
28．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．
(1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称；
(2)若，求证：是等腰三角形．
29．如图，正方形中，是对角线上的一个动点（不与、重合），连结，将绕点顺时针旋转到，连结交于点，延长线与边交于点．
(1)连结，求证：；
(2)若正方形的边长为，且，求线段的长．
30．在中，，，直线经过点，且于，于，
(1)当直线绕点旋转到图（1）的位置时，显然有：；
(2)当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
(3)当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
31．如图，正方形的直角顶点O为正方形的中心，O、C、E三点和O、D、G三点分别都在同一直线上，现将正方形绕点O逆时针旋转角，连接、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
32．如图1，点、别在正方形的边、上，，连接．
(1)求证：下面提供解题思路，请填空：
如图2，把绕点顺时针旋转________度至，可使与重合．由，则知、、三点共线，从而可证________从而得．
(2)当绕点旋转到如图3的位置时，线段，和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
(3)如图4，四边形不是正方形，但满足，，，且，，，求的长．
33．将两个全等的等腰直角三角形按如图①放置，斜边分别交于点M、N．
(1)如图②，将图①中的绕点C逆时针旋转得到，连接，求证：；
(2)如图③，将绕点C旋转，当点M在上，点N在的延长线上时，试判断之间的数量关系，并说明理由．
34．如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段．
(1)过点作于点G，求证：；
(2)连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由；
(3)试求在整个运动过程中，点的运动路径长．
35．如图1，在正方形内作交于点交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．
(1)求证：；
(2)若，求的面积；
(3)如图2，连接交于点，交于点．求证：．
36．在中，，的平分线交于点D，将绕点B顺时针旋转到与在的同一侧，且，过点E作于点F．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)求证：A，D，E三点在同一直线上；
(3)如图2，若，，求的长．
37．综合运用
【模型建立】
（1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：．．
【模型应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中有一正方形，若点C的坐标为，求点 A的坐标．
（3）如图3，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式．
38．【问题初探】（1）如图①，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：；
【问题改编】如图②，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到，将边绕点C逆时针旋转得到．连接，延长交于点F．
（2）求证：点F是的中点；
（3）连接，若，，则__________（直接写结果）．
39．【问题情境】在某次数学课上，老师给出这样一个问题：点在直线的上方，于点，于，，与相交于点．
【问题探究】
（1）如图1，老师用几何画板软件作出图形并连接，在将沿直线平移的过程中，小明同学发现是一个特殊三角形，请你判断是什么特殊三角形，并说明理由；
【问题解决】
（2）将沿直线平移，并以为一边在直线的上方作等边．
①如图2，当点与在同一直线上时，连接．若，求的值；
②如图3，当时，连接并延长交直线于点，求证：．
40．阅读下面材料，并解决问题．
（1）【阅读材料】
如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 的度数．为了解决本题，我们可以将 绕顶点A 旋转到 处，此时，连接 ，这样就可以利用旋转变换，将不在同一个三角形中的三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）【活学活用】
请你仿照第（1）题的解答思想方法，解答下列问题：
如图2，在等腰直角三角形中， ，，E，F 为上的点，且，求证：．
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