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专题01 图像的旋转
考点类型
知识串讲
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
考点训练
考点1：旋转的概念及对应元素
典例1：下列现象中属于旋转的有（ ）个．
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千．
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1】北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A．B． C． D．
【变式2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个．
【变式3】图中，甲图怎样变成乙图： ．
考点2：旋转的性质及旋转中心
典例2：如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（ ）
A．点， B．点O，
C．点， D．点O，
【变式1】如图，绕点P逆时针旋转一个角度得到，则下面选项中不能表示旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ．
【变式3】如图，的顶点坐标分别为，将绕某一点旋转可得到的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是 ．
考点3：求旋转角
典例3：如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，则（ ）度．
A． B． C． D．
【变式1】如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是( )
A． B． C． D．
【变式2】一副三角板按图1的形式摆放，把含角的三角板固定，含角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 ．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为 ．
【变式3】如图，在中，，，点在斜边的延长线上，如果将按顺时针方向旋转一定角度后能与重合，那么旋转角的度数是
考点4：旋转性质的应用——求角
典例4：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得，其中点，的对应点分别是，，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在等腰中，，，将绕点B逆时针旋转至且点A的对应点D落在延长线上，则 ．
【变式3】如图，已知在中，，，点P在内，且，，，则 ．
考点5：旋转性质的应用——求线段
典例5：如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，则下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ．
【变式3】如图，在等边中，，点E为高上的一动点，将线段绕点B顺时针就转得到线段，连接，则的最小值为 ．
【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂线段最短及
考点6：旋转性质的应用——平面直角坐标系
典例6：如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、，，
(1)将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
(2)将向下平移个单位长度，画出；
(3)在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标为______．
【变式1】如图，中（在网格中绘图）
(1)求面积；
(2)将绕点旋转，画出旋转后的；
(3)若点是中任意一点，则点关于点对称的点的坐标为____________（用含，的式子表示）
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，按要求解答问题：
(1)将向左平移7个单位，得到，画出图形；
(2)将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形；
(3)直接写出的长度．
【变式3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上.
(1)画出沿水平方向向左平移5个单位长度得到的，画出关于点O成中心对称的；
(2)与是否成中心对称 若是，画出其对称中心点Q的位置；
(3)在直线MN上找一点P，使的周长最小，请确定点P的位置.
考点7：旋转的综合应用
典例7：已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．
(1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系；
(2)当时，若点为线段的中点，连接．直接写出和的数量关系．
【变式1】如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点．
(1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____；
(2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明；
(3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______．
【变式2】【综合实践】
中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．
【操作体验】
（1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形；
【深入探究】
（2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值．
【变式3】如图1，在中，°，，点，分别在边，上，，连接，点F，P，G分别为的中点.
(1)如图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)若把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)若把绕点C在平面内自由旋转，，请求出面积的最大值.
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专题01 图像的旋转
考点类型
知识串讲
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
考点训练
考点1：旋转的概念及对应元素
典例1：下列现象中属于旋转的有（ ）个．
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可．
【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个．
故选：C
【变式1】北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应图形即可．
【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：
．
故选：D
【变式2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个．
【答案】2．
【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
【变式3】图中，甲图怎样变成乙图： ．
【答案】绕点A顺时针旋转
【分析】根据旋转的定义即可求解．
【详解】解：观察可知，甲图绕点A顺时针旋转即可变成乙图．
故答案为：绕点A顺时针旋转．
【点睛】此题主要考查旋转的判断，解题的关键是熟知旋转的特点及定义．
考点2：旋转的性质及旋转中心
典例2：如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（ ）
A．点， B．点O，
C．点， D．点O，
【答案】B
【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案．
【详解】由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和．
故选：B．
【变式1】如图，绕点P逆时针旋转一个角度得到，则下面选项中不能表示旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，关键是掌握旋转角的定义．旋转角是指旋转中心与旋转前后的对应点连线的夹角，由此即可判断．
【详解】解：由旋转角的定义知，、都是旋转角，
故B、C、D不符合题意；
∵C旋转后的对应点是F，
∴不是旋转角，
∴A符合题意．
故选：A．
【变式2】如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ．
【答案】H
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键．
根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，进而求解即可．
【详解】根据网格结构作、的垂直平分线，交点为H，所以旋转中心一定是H点．
故答案为：H．
【变式3】如图，的顶点坐标分别为，将绕某一点旋转可得到的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转性质，图形与坐标，根据对应点的连线的垂直平分线会经过旋转中心，作图后运用数形结合思想，即可作答．
【详解】解：如图所示：
连接，然后作的垂直平分线，这两条垂直平分线交于一点，记为点P，为旋转中心，此时旋转中心的坐标是
故答案为：
考点3：求旋转角
典例3：如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，则（ ）度．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，
∵，的垂直平分线交于点，
∴点是旋转中心，
∵，
∴旋转角，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质确定旋转中心是解题的关键．
【变式1】如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得．
【详解】解：与都是等腰直角三角形，，
，
绕点逆时针旋转后能与重合，
和都是旋转角，旋转角度是，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键．
【变式2】一副三角板按图1的形式摆放，把含角的三角板固定，含角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 ．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】分情况画出图形，利用平行线的性质和直角三角形的特征分别进行求解即可．
【详解】解：①如图1，当时，；
②如图2，当时，，
∴；
③如图3．当时，，
∴．
④当时，旋转角大于，不符合题意．
故答案为：或或．
【点睛】此考查了图形的旋转、平行线的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
【变式3】如图，在中，，，点在斜边的延长线上，如果将按顺时针方向旋转一定角度后能与重合，那么旋转角的度数是
【答案】130
【分析】先利用互余计算出，再根据旋转的性质得到等于旋转角，根据平角的定义得到，即可得到旋转角的度数．
【详解】解：，，
，
绕点按顺时针方向旋转到的位置，
等于旋转角，
，
旋转角的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，互余，解题关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
考点4：旋转性质的应用——求角
典例4：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得，其中点，的对应点分别是，，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定进行判断即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，，故选项不一定正确，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式1】如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转性质逐项分析判断即可，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
【详解】解：A、若，则为等边三角形，旋转角必须为，没有这个条件，故原说法错误，不符合题意；
B、根据旋转性质，，，，故正确，符合题意；
C、若，则，就有，而题目没有这个条件，故原说法错误，不符合题意；
D、若，则，继而，而题目中没有说是直角三角形，故原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【变式2】如图，在等腰中，，，将绕点B逆时针旋转至且点A的对应点D落在延长线上，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形外角性质，得，结合旋转性质，得，根据解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
结合旋转性质，得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，三角形外角性质是解题的关键．
【变式3】如图，已知在中，，，点P在内，且，，，则 ．
【答案】/135度
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，把绕点C逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，再求出即可得解．
【详解】解：如图，把绕点C逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，是等腰直角三角形，，
，
，，
，
是直角三角形，，
，
．
故答案为：．
考点5：旋转性质的应用——求线段
典例5：如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，过点作轴于点，由旋转可得，，由余角性质可得，进而由可证明，得到，，由此得到，再由勾股定理即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，则，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点，点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
【变式1】如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，则下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由等腰直角 三角形的性质，可得，由旋转的性质可知，可判定①正确；根据是等腰直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以与不一定全等，所以与不一定相等，可判定②错误；根据，，可得，即可得，从而得出，可判断③正确；证明，，可得出，可判断④正确．
【详解】解：∵，，
∴．
由旋转的性质可知，，，故①正确；
∴是等腰直角三角形，
∵点D为斜边上一点，
∴不一定是等腰直角三角形，
∴与不一定全等，所以与不一定相等，故②错误；
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
故正确的有①③④共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式2】如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ．
【答案】 6 /150度
【分析】连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵绕点A逆时针旋转后，得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
故答案为：6；．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助线构造三角形是解题的关键．
【变式3】如图，在等边中，，点E为高上的一动点，将线段绕点B顺时针就转得到线段，连接，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】先利用等边三角形的性质和旋转的性质分别得到、、，则可证明，并由此得到，，又因为是高上的一个动点，可推得点在过点且与成的直线上运动，根据垂线段最短可得当时，有最小值，结合含有的直角三角形的性质即可得到．
【详解】
如图，连接，
是等边三角形，且，
，，
平分且是中点，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
则，
即，
在和中，
，
，，
点在过点且与成的直线上运动，
当时，有最小值，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂线段最短及
含有的直角三角形的性质，解题关键是通过证明得到点的运动路径，再利用垂线段最短求解．
考点6：旋转性质的应用——平面直角坐标系
典例6：如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、，，
(1)将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
(2)将向下平移个单位长度，画出；
(3)在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标为______．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，进而可得答案．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求，
由图可得，点的坐标为，
故答案为：．
【变式1】如图，中（在网格中绘图）
(1)求面积；
(2)将绕点旋转，画出旋转后的；
(3)若点是中任意一点，则点关于点对称的点的坐标为____________（用含，的式子表示）
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)
【分析】本题考查了作图——旋转变换，中心对称图形的性质，利用网格求三角形的面积等．
（1）用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解；
（2）根据题意作图即可；
（3）根据中心对称图形上的对应点坐标与对称中心坐标之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：的面积为：．
（2）解：如图：即为所求．
（3）解：设点关于点对称的点的坐标为，
则有，，
即，，
∴点关于点对称的点的坐标为．
故答案为：．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，按要求解答问题：
(1)将向左平移7个单位，得到，画出图形；
(2)将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形；
(3)直接写出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，勾股定理，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解此题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：如图：即为所作，
；
（3）解：由勾股定理得：．
【变式3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上.
(1)画出沿水平方向向左平移5个单位长度得到的，画出关于点O成中心对称的；
(2)与是否成中心对称 若是，画出其对称中心点Q的位置；
(3)在直线MN上找一点P，使的周长最小，请确定点P的位置.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】1）根据平移的方向和距离进行作图即可；根据中心对称图形的性质作图即可；
（2）根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分进行作图确定中心点Q的位置；
（3）过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点．
本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，解题时注意，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，根据轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【详解】（1）解：如图，和即为所作；
（2）与成中心对称，对称中心Q的位置如图所示；
（3）如图，点P即为所作．
考点7：旋转的综合应用
典例7：已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．
(1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系；
(2)当时，若点为线段的中点，连接．直接写出和的数量关系．
【答案】(1)图见解析，，
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
（1）根据旋转的定义画图即可，再证出是等边三角形，然后证出四边形是矩形，由此即可得出结论；
（2）以为边作等边三角形，连接，根据等边三角形及全等三角形的判定和性质得出，，再由旋转的性质得出点H、P、Q三点共线，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：画图如下：
和的数量及位置关系为，，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴点在同一条直线上，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形），
∴，．
（2），理由如下：
以为边作等边三角形，连接，如图所示：
∵和都是等边三角形，
，，
，
∴，
∴，
∵将线段逆时针旋转得线段，
∴，
∵，
∴点H、P、Q三点共线，
∵，
∴，
∴．
【变式1】如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点．
(1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____；
(2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明；
(3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______．
【答案】(1)＝，⊥；
(2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析；
(3)．
【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证；
（2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题；
（3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：＝，⊥；
（2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下：
如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
同理可证，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
（3）如图2，连接．
∵，
∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴的最大值；
如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，
∵，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴的最小值，
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式2】【综合实践】
中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．
【操作体验】
（1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形；
【深入探究】
（2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值．
【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3）
【分析】（1）按要求作图即可
（2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值；
【详解】（1）图即为所作，
（2）数量关系：，
理由如下：逆时针旋转
由题意得：如图，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
（3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，，
，
，，，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键．
【变式3】如图1，在中，°，，点，分别在边，上，，连接，点F，P，G分别为的中点.
(1)如图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)若把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)若把绕点C在平面内自由旋转，，请求出面积的最大值.
【答案】(1)
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3).
【分析】（1）根据中位线定理可得，结合平行线的性质可得，据此即可求解；
（2）证得；根据中位线定理可得，结合平行线的性质可得，据此即可求解；
（3）由得当最大时，面积最大，此时，点 在的延长线上，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，，
∴
∵点F，P，G分别为的中点.
∴
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴
∵，，
∴
∴
由（1）得：
∴
∵，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
（3）解：由（2）可知是等腰直角三角形，
，
∴当最大时，面积最大，如图所示：
此时，点 在的延长线上，
，
∴，
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握旋转模型的相关结论是解题关键．
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