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专题02 中心对称
考点类型
知识串讲
（一）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（二）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
（三）平面直角坐标系——原点对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
考点训练
考点1：中心对称及中心对称图形
典例1：现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，是等腰三角形的底边中线，与关于点中心对称，连接，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式2】如图，与关于点成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的序号为 ．
【变式3】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
考点2：确定对称中心
典例2：如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（ ）
A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点
【变式1】如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H点的坐标是 ．
考点3：中心对称作图
典例3：如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称．
【变式1】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C、O都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）．
(1)画出关于点O对称的；
(2)连接和，则四边形的形状是__________，点A到边的距离是 __________．
【变式2】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向右平移6个单位长度后得到，请画出；
(2)请画出关于原点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得，请直接写出旋转中心的坐标．
【变式3】已知 的三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画出关于坐标原点O成中心对称的；
(2)将绕坐标原点O顺时针旋转，画出对应的，
(3)若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出在第四象限中的坐标 ．
(4)在y轴上找一点p，使得的周长最小，则点P坐标为 ．
考点4：关于原点对称的点的坐标
典例4：如图所示，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O，点F的坐标是，则点N的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点B，C 的坐标分别为，，直线交y轴于点M．若 与关于点 M成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，对点作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点，作点关于原点的对称点，向上平移2个单位长度得到点，作点关于原点的对称点……那么点的坐标为 ．
向上平移 关于原点对称 向上平移 关于原点对称
… … … …
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为 ．
考点5：利用原点对称的性质求字母
典例5：在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【变式2】已知点，关于原点对称，则 ， ．
【变式3】已知、两点，若A、B两点关于原点对称，则 ．
考点6：中心对称性质——求面积，长度，角度
典例6：如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．点B与点E是对应点
【变式2】如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）．
①点A与点是对应点；
②；
③；
④．
【变式3】如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ．
考点7：中心对称性质——规律问题
典例7：已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ．
【变式3】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ．
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专题02 中心对称
考点类型
知识串讲
（一）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（二）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
（三）平面直角坐标系——原点对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
考点训练
考点1：中心对称及中心对称图形
典例1：现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用轴对称图形的概念即可即可解答．
【详解】解：A、团不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、结不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、互是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、助不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．
【变式1】如图，是等腰三角形的底边中线，与关于点中心对称，连接，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据与关于点中心对称，可得，再根据勾股定理可得的长．
【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线，
∴，
∴，
∵与关于点中心对称，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．
【变式2】如图，与关于点成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质分别判断即可．
【详解】解：由中心对称的性质知，①点A与点是对称点，正确；
②，正确；
由中心对称知， ，
∴，
∴，故③正确；
∴，故④错误；
故答案为：①②③．
【变式3】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
【答案】B，D
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案；解题的关键是熟练掌握中心对称的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形．
【详解】解：由题意可得，
A选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
B选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意，
C选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
D选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意．
故答案为：B，D．
考点2：确定对称中心
典例2：如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（ ）
A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点
【答案】D
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【详解】解：如图：
作法：1．过点作交于点，过点作交于点，
2．连接交于点，
故点即为所求
证明：，，
是对称点，是对称点，
故的交点为对称中心．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键．
【变式1】如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
根据交点的位置可得：对称中心为，
故选C
【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据旋转的性质，连接对应点，与的交点D即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点D的坐标即可．
【详解】解：如图，连接，与相交于点D，点D即为对称中心，由图可得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质，理解对应点的连线的交点即为对称中心是解题的关键，也是本题的难点．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H点的坐标是 ．
【答案】（2，-1）
【分析】连接对应点AD、CF，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心H点，在坐标系内确定出其坐标．
【详解】解：如图，连接AD、CF，则交点就是对称中心H点．
观察图形可知，H（2，-1）．
故答案为：（2，-1）．
【点睛】本题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定H点位置是解决问题的关键．
考点3：中心对称作图
典例3：如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称．
【答案】见解析
【分析】本题考查作中心对称图形，延长到使，同样作出点，从而得到四边形．
【详解】解：如图，四边形为所作．
【变式1】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C、O都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）．
(1)画出关于点O对称的；
(2)连接和，则四边形的形状是__________，点A到边的距离是 __________．
【答案】(1)见解析
(2)菱形；
【分析】本题主要考查了轴对称作图，菱形的面积公式，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理．
（1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）根据菱形的判定方法进行求解即可，根据菱形的面积公式进行求解即可，
【详解】（1）解：即为所求作的三角形．
（2）解：∵，
∴四边形为菱形，
∵，，
设到的距离为h，则：
，
解得：，
即点A到边的距离是．
【变式2】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向右平移6个单位长度后得到，请画出；
(2)请画出关于原点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)
【分析】（1）由点的平移，作出的三个顶点向右平移6个单位长度后的点，连接顶点即可得到；
（2）根据点的对称性，作出的三个顶点关于原点的中心对称点，连接顶点即可得到；
（3）根据中心对称性质，连接两个中心对称的图形对应点，连线的交点即是旋转中心，由点在平面直角坐标系中位置，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：如图所示：
旋转中心的坐标为．
【点睛】本题考查平移作图、中心对称作图，涉及点的平移、点的对称、确定中心对称图形的对称中心、图形与坐标等知识，熟练掌握平移性质、中心对称性质作图是解决问题的关键．
【变式3】已知 的三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画出关于坐标原点O成中心对称的；
(2)将绕坐标原点O顺时针旋转，画出对应的，
(3)若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出在第四象限中的坐标 ．
(4)在y轴上找一点p，使得的周长最小，则点P坐标为 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
(4)
【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据网格结构找出点、、关于原点对称的点的坐标，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答；
（4）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点．
本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示：
在第四象限中的坐标为，
故答案为：；
（4）解：点坐标为，
故答案为：．
考点4：关于原点对称的点的坐标
典例4：如图所示，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O，点F的坐标是，则点N的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平行四边形的性质、关于原点成中心对称的点的特征，根据关于原点成中心对称的点的横、纵坐标均互为相反数进行解答即可.
【详解】解：∵的两条对角线交于原点O，
∴，
则点N和点F，关于原点成中心对称，
∵点F的坐标是，
∴点N的坐标为，
故选：A
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点B，C 的坐标分别为，，直线交y轴于点M．若 与关于点 M成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，待定系数法求一次函数解析式及等边三角形的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
先求出点的坐标，再求出直线的函数解析式，进而得出点的坐标，最后根据点和点关于点对称即可解决问题．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，
点坐标为，点坐标为，
轴，且．
是等边三角形，
，，
，
点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
直线的函数解析式为．
令得，
，
点的坐标为．
与关于点成中心对称，
点和点关于点对称，
，
，
点的坐标为．
故选：C．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，对点作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点，作点关于原点的对称点，向上平移2个单位长度得到点，作点关于原点的对称点……那么点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标与规律探索，关于原点对称的点的坐标特点，坐标与图形变化—平移，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律和关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出对应点的坐标，然后找到规律求解即可．
【详解】解：根据题意可列出下面的表格：
向上平移 关于原点对称 向上平移 关于原点对称
… … … …
观察表格可知：这些点平均分布在四个象限中，序号除以4余1的点在第一象限，横坐标都是1，纵坐标为序号除以4的商加1；序号除以4余2的点是序号除以4余1的点关于原点的对称点；序号能被4整除的点在第四象限，横坐标为1，纵坐标为序号除以4的商的相反数；序号除以4余3的点在第二象限，是序号能被4整除的点关于原点的对称点．
∵，
∴点在第四象限，坐标为．
故答案为：．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形．熟练掌握 旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形是解题的关键．
由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于，则，，，进而可求、的横坐标，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴的横坐标为1，的横坐标为，
故答案为：1或．
考点5：利用原点对称的性质求字母
典例5：在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可．
【详解】解：∵点，关于原点对称，
∴，
解得：，
故选：A．
【变式1】约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
【详解】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴，
∴，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
【点睛】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
【变式2】已知点，关于原点对称，则 ， ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，二元一次方程组的应用．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
根据关于原点对称的点的坐标特点列出方程，解方程分别求出x、y值，即可．
【详解】∵点，关于原点对称，
∴，
解得．
故答案为：；．
【变式3】已知、两点，若A、B两点关于原点对称，则 ．
【答案】0
【分析】根据A、B两点的关系求出m和n，然后可以得解．
【详解】解：由题意可得：
∴
∴
故答案为0．
【点睛】本题考查幂的综合应用，熟练掌握幂的意义及关于原点对称的点的坐标关系是解题关键.
考点6：中心对称性质——求面积，长度，角度
典例6：如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了成中心对称的图形的性质、三角形全等的性质、勾股定理，由题意得出，从而得出，，，求出，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．点B与点E是对应点
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质．
根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断．
【详解】A．，
∵与关于点O成中心对称，
∴，
∴此选项正确，不符合题意；
B．，
∵，
∴，
∴此选项正确，不符合题意；
C．，
∵，
∴此选项不正确，符合题意；
D．点B与点E是对应点，
∵点B与点E是对应点，
∴此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【变式2】如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）．
①点A与点是对应点；
②；
③；
④．
【答案】①②③
【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴，
∴点A与点是对称点，，，
故①②③正确，
故答案为：①②③．
【变式3】如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得，，根据与关于点C中心对称，可得，，，再根据勾股定理可得的长．理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线，
∴，，
∴，
∵与关于点C中心对称，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
考点7：中心对称性质——规律问题
典例7：已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
【详解】解：由题意，，，，，，，， ……
可得每6次为一个循环，
∵，
∴点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标．
【详解】解：由题意得：点、、、、、、，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标是．
故选：B．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，
∴每4次循环一周，．
，
∴点与同在一个象限内，
故答案为：．
【变式3】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键．
根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答．
【详解】解：由题意可得：点，，，，，……
∴可知6个点一个循环，，
∴点的坐标与点的坐标相同，为．
故答案为：．
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