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专题08 圆单元过关（基础版）
考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．已知的半径为5，点在内，则的长不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知点是的外心，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A、B、C是上三点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，过点A作⊙O的切线交OC于点C．若∠BOC＝53°，则∠C的度数为（ ）
A．47° B．37° C．53° D．63°
7．下列说法中正确的说法有（ ）个
①对角线相等的四边形是矩形
②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等
③相等的圆心角所对的弧相等
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．其中真命题有（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
9．的三边长分别为， 则其外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，圆为的外接圆，其中点在上，且，已知，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．已知⊙O的直径为5，设圆心O到直线l的距离为d，当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是 ．
12．的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是 ．
13．在半径为1的圆中，圆心角是60°的扇形的面积是 ．
14．如图，是一个模具的截面图，中间凹槽部分是一段圆弧，已知凹槽部分的宽，凹槽部分最深处，则凹槽所在圆的半径为 cm．
15．如图，四边形内接于，、的延长线相交于点E，、的延长线相交于点F．若，，则的度数为 ．
16．如图，已知AB为⊙O直径，若CD是⊙O内接正n边形的一边，AD是⊙O内接正（n+4）边形的一边，BD＝AC，则n＝ ．
评卷人得分
三、解答题
17．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．
18．如图，为的直径，弦于点，，．
求的半径；
求图中阴影部分的面积．
19．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．连接，作．于点F，求的长．
20．已知，为的弦，且．
(1)如图1，若，求阴影部分的面积；
(2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的的切线．
21．如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,．
(1)将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的;
(2)将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的;
(3)在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD，
（1）若∠ABD＝25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；
（2）求证：DF＝AF．
23．如图，E是半圆O上一点，C是的中点，直径弦，交于点F.
(1)求证：.
(2)连结，当时，求的值.
24．如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以个单位/秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．
(1)如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度；
(2)在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值．
25．如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．
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专题08 圆单元过关（基础版）
考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．已知的半径为5，点在内，则的长不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【详解】解：的半径为5，点在内，
，
即的长不可能为5．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
2．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解： ，是直径，，
，
在中，（），
（），
故选：．
3．如图，已知点是的外心，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长AD交⊙O于E，根据圆周角定理得到∠E=∠B=40°，∠ACE=90°，求得∠CAE=90°-40°=50°，再根据三角形内角和即可得到结论．
【详解】解：作的外接圆⊙O，延长AD交⊙O于点E，连接CE，如图：
根据题意得AE为⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∵∠E=∠B=40°，
∴∠CAE=90°- 40°=50°，
在△ADC中，=180°-∠ACB-∠CAE=180°-68°-50°=62°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆的一些基本性质，涉及的知识点较多，合理添加辅助线是顺利解题的关键．
4．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：
的长为；
故选B．
5．如图，点A、B、C是上三点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理；
根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
6．如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，过点A作⊙O的切线交OC于点C．若∠BOC＝53°，则∠C的度数为（ ）
A．47° B．37° C．53° D．63°
【答案】B
【分析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AC，根据角的计算即可解决问题．
【详解】如图，连接OA，
∵CA是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝53°，
∴∠C＝90°﹣∠AOC＝37°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质及垂径定理，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．
7．下列说法中正确的说法有（ ）个
①对角线相等的四边形是矩形
②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等
③相等的圆心角所对的弧相等
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．
【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形 ，故错误；
②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；
⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；
故选：A．
【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．
8．下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．其中真命题有（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据有关性质，对命题逐个判断即可．
【详解】解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称轴，为假命题；
②若两个相似四边形的相似比是1：3，面积比是1：9，而不是1：6，为假命题；
③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题；
④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；
故答案选C．
【点睛】此题考查了命题的判定，熟练掌握命题有关内容的基础知识是解题的关键．
9．的三边长分别为， 则其外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：∵，
∴△ABC是直角三角形，斜边，
∴外接圆半径．
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及的圆周角所对的弦是直径，解答本题的关键是判断出三角形是直角三角形．
10．如图，圆为的外接圆，其中点在上，且，已知，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题解析：连接CO,
在△BOC中，∵BO=CO，
又∵OD⊥AC，
故选C.
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．已知⊙O的直径为5，设圆心O到直线l的距离为d，当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是 ．
【答案】0≤d＜2.5
【分析】根据直线和相交可知，，即可得到的取值范围．
【详解】解：∵⊙O的直径为5，
∴⊙O的半径是2.5，
∵直线l与⊙O相交，
∴圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜2.5，
故答案为：0≤d＜2.5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解答本题的关键是记住直线和相交，；直线和相切，；直线和相离，．
12．的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是 ．
【答案】点在外
【分析】根据点与圆的位置关系，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴点在外，
故答案为：点在外．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握当时，点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内．
13．在半径为1的圆中，圆心角是60°的扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】已知扇形的半径和圆心角，则直接使用扇形的面积公式计算．
【详解】解:，
故答案为．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式；关键在于掌握好扇形的面积公式．
14．如图，是一个模具的截面图，中间凹槽部分是一段圆弧，已知凹槽部分的宽，凹槽部分最深处，则凹槽所在圆的半径为 cm．
【答案】25
【分析】设凹槽部分圆弧所在圆的圆心为O，连接，利用垂径定理求出，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设凹槽部分圆弧所在圆的圆心为O，连接，
由题意得O、C、D、三点共线，且，
∴由垂径定理可知，
设圆的半径为rcm，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴凹槽所在圆的半径为25cm，
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．如图，四边形内接于，、的延长线相交于点E，、的延长线相交于点F．若，，则的度数为 ．
【答案】47°
【分析】先两次根据三角形的外角定理，得，再根据圆内接四边形的性质，得，即可得出结果．
【详解】解：∵ 是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形的外角定理．综合运用圆内接四边形的性质与三角形的外角定理是本题的关键．
16．如图，已知AB为⊙O直径，若CD是⊙O内接正n边形的一边，AD是⊙O内接正（n+4）边形的一边，BD＝AC，则n＝ ．
【答案】4
【分析】连接OD，OC．首先证明∠AOD=∠BOC，构建方程求解即可．
【详解】解：如图，连接OD，OC．
∵BD＝AC，
∴，
∴，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵∠AOD＝∠BOC＝，∠DOC＝，
∴2×=180°，
解得n＝4或﹣2（舍弃），
经检验n=4符合题意，
故答案为：4．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
评卷人得分
三、解答题
17．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．
【答案】．
【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．
【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．
18．如图，为的直径，弦于点，，．
求的半径；
求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）的半径为；（2）．
【分析】（1）连接OC，OD，利用垂径定理得CP=2，AP=3x，PB=x，则AB=4x，OC=2x，OP=x，利用勾股定理可得结果；
（2）根据OP=2，OC=4，利用直角三角形的性质易得∠COD=120°，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．
【详解】连接，，如图所示：
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴的半径为；
∵，，
∴在中，，，
∴，
∵
，
∴阴影部分的面积为：．
【点睛】考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质和扇形面积公式，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．
19．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．连接，作．于点F，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，等腰三角形等知识．熟练掌握圆的性质，勾股定理求线段是解题的关键．由题意知，，由勾股定理得的长度 ，再求出的长度．根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图，连接，设的半径为r．
，
，
．
在中，
，，．
，
解得．
在中，，，
．
，
．
20．已知，为的弦，且．
(1)如图1，若，求阴影部分的面积；
(2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的的切线．
【答案】(1)
(2)作图见详解
【分析】（1）阴影部分的面积是圆的面积减去三角形的面积，由此即可求解；
（2），点在圆上，连接并延长交于点，连接，并延长交于点，由此即可求解．
【详解】（1）解：半径，，
∴，，
∴阴影部分的面积为：．
（2）解：如图所示，
连接并延长交于点，连接，并延长交于点，作直线，则为所求作的切线．
【点睛】本题主要考查圆的几何变换，切线的尺规作图，掌握圆的基本知识，切线的性质是解题的关键．
21．如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,．
(1)将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的;
(2)将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的;
(3)在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查图形的平移,扇形弧长公式,勾股定理．
（1）根据题意将,,三点横坐标均减得出新坐标连接即可;
（2）先确定顺时针旋转的坐标,再确定的坐标,连接即可;
（3）点绕点旋转到点所经过的路径为,利用弧长公式求出本题结果．
【详解】（1）解:∵,,,
∴沿轴向左平移个单位长度的坐标为,,,将连接即可得到,如图:
（2）解:∵绕点按顺时针方向旋转,
∴,则,
∴将连接即可得到,如图:
（3）解:∵,,
∴,
∵绕点旋转到点旋转了,
∴的长度为:．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD，
（1）若∠ABD＝25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；
（2）求证：DF＝AF．
【答案】（1）25°；（2）见解析
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠ADB＝90°，然后再计算出∠DAO的度数，再利用直角三角形的性质可得答案；
（2）利用直角三角形的性质推出∠DAC＝∠ADE，然后再利用等角对等边可得结论．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝25°，
∴∠DAB＝65°，∠DOA＝50°，
∵OD⊥AC，
∴∠EAF＝40°，
∴∠DAC＝65°﹣40°＝25°；
（2）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEO＝90°，
∴∠EDB＋∠B＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADE＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠B＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴AF＝DF．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，掌握直角三角形两锐角互余．
23．如图，E是半圆O上一点，C是的中点，直径弦，交于点F.
(1)求证：.
(2)连结，当时，求的值.
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得，再根据平行线的性质证得 ，所以，从而问题得证；
（2）先由勾股定理得，连接OC，证，求得AF=2即可．
【详解】（1）证明：，
，
是的弧BE的中点，
，
，
（2）解：连接OC、OE
，
，
是的弧BE的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理可得，
【点睛】本题考查了圆的性质，等弧所对的圆周角相等，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解本题的关键．
24．如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以个单位/秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．
(1)如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度；
(2)在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值．
【答案】(1)半圆在矩形内的弧的长度为
(2)的值为或
【分析】（1）设与交于点，连接，当时，，证明是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解；
（2）连接，，证明，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：设与交于点，连接，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即半圆在矩形内的弧的长度为；
（2）连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，，
即的值为18或16．
【点睛】本题考查了求弧长，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，熟练掌握弧长公式以及勾股定理是解题的关键．
25．如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）
解： 为的直径，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
解：连接，
设，
则，，，
为的直径，
，
在中，，
由（1）得，，
，
，，
，
，
解得或（不合题意舍去），
，
，
是的切线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
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