中小学教育资源及组卷应用平台
专题09 圆单元过关（培优版）
考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B．平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上
C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D．正n边形的各个顶点一定在同一个圆上
2．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
3．如图，正六边形内接于，点在弧上，点是弧的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC ＝ 50°，则∠D的大小为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
5．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
6．如图，AB为的直径，P为BA延长线上的一点，D在上（不与点A，点B重合），连结PD交于点C，且PC=OB．设，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
7．如图，由个边长为的小正方形组成的“”形，经过其顶点、、三点，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；③连接，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．在矩形ABCD中，，，以A为圆心，AD为半径画弧交线段BC于E，连接DE，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，半径为1的⊙O的圆心是坐标原点，P为直线y＝－x＋2上一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP．下列结论：①当△OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；②当∠AOP＝60°时，点P坐标为（2，0）；③△OAP面积最小值为；④∠APO≤45°．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，半径于点H，若，则 ．
12．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，点E在的延长线上，以A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F，且经过点C，则的长度为 ．
13．如图，是的切线，为切点，直线交于点．若，则劣弧的长为 ．
14．如图，已知：是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，．得到如下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若为的中点，则为中点；⑤若半径，则扇形的面积为；所有正确结论的序号是 ．
15．如图，矩形中，，，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为 ．
16．如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从右到左运动，在运动过程中，、点始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的右侧，，那么，当为 s时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切．
评卷人得分
三、解答题
17．要把残破的图形模具修复完整，已知弧上三点.
（1）找出模具的圆心；
（2）若是等腰三角形，底边，腰，求模具的半径.
18．如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．
（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．
19．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：如图，⊙O和点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
小明的主要作法如下：
（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；
（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
（3）作直线PB和PC，
所以PB和PC就是所求的切线．
老师说：“小明的作法正确．”
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ OP是⊙A的直径，
∴ ∠PBO＝90°，∠PCO＝90°（ ）（填推理的依据）
∴ OB⊥PB，OC⊥PC
又∵ OB，OC是⊙O的半径，
∴ PB，PC是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）
20．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．
(1)求弧BC的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
21．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的直径．
22．如图1，圆O的两条弦交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为．
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
的度数
的度数
的度数
猜想：、、的度数之间的等量关系，并说明理由．
(2)如图2，若，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的G点，连接．
①求的度数；
②求．
23．如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．
(1)当点D刚好落在弧上，求弧的长；
(2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长；
(3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______．
24．感知：如图①，若，是的两条弦，是的中点，在弦上截取，连接，，，，易证.（不需证明）
探究：如图②，若，是的两条弦，是的中点，于点，求证：
应用：如图③，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，则的长为______.
25．【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题09 圆单元过关（培优版）
考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B．平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上
C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D．正n边形的各个顶点一定在同一个圆上
【答案】B
【分析】根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上；根据矩形和正n边形的对角线互相平分可知矩形的四个顶点和正n边形的各个顶点一定在同一个圆上，根据平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，即可得出答案．
【详解】A．根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上，故A选项不符合题意；
B．平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，平行四边形的四个顶点到对角线交点的距离不一定相等，知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，故B选项符合题意；
C．矩形的对角线互相平分，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，可知矩形的四个顶点一定在同一个圆上，故C选项不符合题意；
D．正n边形的对角线互相平分，所以正n边形的各个顶点到对角线交点的距离相等，可知正n边形的各个顶点一定在同一个圆上，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的认识，三角形、平行四边形、矩形及正多边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】D
【分析】根据直径是圆中最长的弦进行求解即可．
【详解】解：∵是半径为6的圆的一条弦，
∴，
∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，熟知直径是圆内最长的弦是解题的关键．
3．如图，正六边形内接于，点在弧上，点是弧的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆, 圆周角定理；先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，
∵点是弧的中点，
∴
∴
∴
故选：B．
4．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC ＝ 50°，则∠D的大小为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】D
【分析】连接BD，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BOC＝25°，然后计算∠ADB＋∠CDB即可．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠ADC＝90°＋25°＝115°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角，掌握圆周角的性质并能利用辅助线建立∠BOC与∠BDC的关系是解答此题的关键．
5．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可．
【详解】连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D ∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径 ∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O ∴BC切⊙O于B ∵PC切⊙O于D∴CD＝BC
设CD＝CB＝x 在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即 解得：x＝ 即BC＝
故选：D
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．
6．如图，AB为的直径，P为BA延长线上的一点，D在上（不与点A，点B重合），连结PD交于点C，且PC=OB．设，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【分析】连接OC，OD．首先证明3α+2β=180°，再一一判断即可．
【详解】如图，连接OC，OD．
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB=β，∴∠POD=∠B+∠ODB=2β．
∵CP=CO=OD，∴∠P=∠COP=α，∠OCD=∠ODC．
∵∠OCD=∠P+∠COP，∴∠ODC=2α．
∵∠P+∠POD+∠ODP=180°，∴3α+2β=180°①．
不妨设选项A正确，则α=30°，β=30°，显然不满足①，故假设错误．
不妨设B正确，则α=30°，β=60°，显然不满足①，故假设错误．
不妨设C正确，则α=10°，β=75°，满足条件①，故选项C正确．
不妨设B正确，则α=15°，β=45°，显然不满足①，故假设错误．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．如图，由个边长为的小正方形组成的“”形，经过其顶点、、三点，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，作，取圆心，连接、，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解；
【详解】解：取的中点，作，取圆心，连接、，
则
∵
设
解得：
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查圆的性质、垂径定理，勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
8．如图，①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；③连接，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将半径为的六等分，可知每一份对应的圆心角为，如图所示（见详解），连接，可证，，在，，根据勾股定理即可求解．
在中，
【详解】解：根据题意绘图如下，
∵将半径为的六等分，
∴，
如图所示，连接，
∴，且根据作图可知，，，，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴，垂足为，
∴，根据六等分，则，
∴，
在中，，
在中，，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，结合图形，根据题意，找出边，圆周角的关系是解题的关键．
9．在矩形ABCD中，，，以A为圆心，AD为半径画弧交线段BC于E，连接DE，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AE，根据勾股定理求出BE的长，进而可得出∠BAE的度数，由余角的定义求出∠DAE的度数，根据S阴影=S扇形DAE﹣S△DAE即可得出结论．
【详解】连接AE，
∵在矩形ABCD中，，，
∴AE=AD=，∠BAD=，
在Rt△ABE中，,
∴=2，
∴AB=BE，
∴,
∴，
∴S阴影=S扇形DAE﹣S△DAE
=
=，
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，扇形的面积计算公式，熟记各知识点并灵活应用解决问题是解题的关键．
10．如图，半径为1的⊙O的圆心是坐标原点，P为直线y＝－x＋2上一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP．下列结论：①当△OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；②当∠AOP＝60°时，点P坐标为（2，0）；③△OAP面积最小值为；④∠APO≤45°．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由勾股定理和30°直角三角形的特征求得OP的长，设P（a，-a+2）由两点距离公式建立方程求解可得结论①②；由OP的表达式结合二次函数的性质可得OP最小值，可得结论③；根据AP的长度范围，根据三角形外角的性质可得结论④；
【详解】解：①当△OAP为等腰直角三角形时，AO=AP=1，则OP=，
∵P点在直线y＝－x＋2上，
∴设P（a，-a+2），则，
OP=，解得：a=1，
∴P（1，1），
故①正确；
②当∠AOP＝60°时，∠APO=30°，则OP=2，
设P（a，-a+2），同理可得：OP=，
解得：a=0或a=2，
∴P（0，2）或P（2，0），
故②错误；
③设P（a，-a+2），则OP=，
∵AP2=OP2-OA2=，∴AP的最小值为1，
∴△OAP面积最小值为×1×1=，
故③正确；
④如图，设AC=1，则∠ACO=45°，
∵AP≥1，∴∠APO≤∠ACO，∠APO≤45°，
故④正确；
∴①③④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、一次函数解析式、两点距离公式、二次函数的性质等知识；掌握二次函数的性质是解题关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，半径于点H，若，则 ．
【答案】25
【分析】先利用垂直可得∠AOC和∠OAB互余，再利用圆周角定理可得结论．
【详解】解：∵半径于点H，若，
∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∴，
故答案为：25．
【点睛】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余．掌握同弧所对圆周角等于圆心角的一半是解题关键．
12．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，点E在的延长线上，以A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F，且经过点C，则的长度为 ．
【答案】.
【分析】连接AC，根据题意用勾股定理可以算出AC的长度，∠EAF=45°，然后利用弧长公式求解即可得到答案.
【详解】解：如图所示，连接AC
在直角三角形ADC中，由勾股定理得：
∵，
∴∠EAF=45°
∴
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理和弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理和弧长公式.
13．如图，是的切线，为切点，直线交于点．若，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆的切线的性质及弧长公式，求劣弧所对的圆心角的度数是解题关键．由，，得，由切线得，进而求出的度数即可求解．
【详解】解： 是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长为．
故答案为：．
14．如图，已知：是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，．得到如下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若为的中点，则为中点；⑤若半径，则扇形的面积为；所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】①②正确，证明即可；③错误，可证；④正确，由题意可证是等边三角形，可得结论；⑤错误，的大小不确定，故面积不确定．
【详解】连接，，，根据平行线间的距离相等，可得，
∴ ，
∴，
∴，，所以①②正确
若四边形是正方形，则，，
则，
∴所以③错误．
当是的中点时，可得，
∴是等边三角形，
又∵ ，
∴为中点．所以④正确
若半径，扇形的圆心角大小不确定，所以面积不一定为，所以⑤错误．
故正确答案为：①②④
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定等，根据圆心角、弧、弦之间的关系正确分析题意，作出辅助线是解题的关键．
15．如图，矩形中，，，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为 ．
【答案】
【分析】根据图形可以求得的长，然后根据图形即可求得的值．
【详解】解：在矩形中，，是中点，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从右到左运动，在运动过程中，、点始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的右侧，，那么，当为 s时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切．
【答案】或或或
【分析】分半圆所在的圆与直线相切两种情况画出图形，分别讨论即可求解．
【详解】如图所示，
，，
，，，
或时，与直线相切；
当与相切时，设切点为，连接，
在中，，
，
当与相切时，设切点为，连接，同法可得，
当或时，与相切．
故答案为:或或或
【点睛】本题考查了切线的性质．对圆分别与直线、．相切进行讨论是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题
17．要把残破的图形模具修复完整，已知弧上三点.
（1）找出模具的圆心；
（2）若是等腰三角形，底边，腰，求模具的半径.
【答案】（1）如图所示见解析；（2）R=.
【分析】（1）作线段AB与线段AC的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）连接OA交BC于D，在Rt△BDO中，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）连结OB、，则于，
，
∴，则
设半径为，在Rt△BDO中，由勾股定理得
∴R= .
故答案为（1）如图所示见解析；（2）R=.
【点睛】本题综合考查垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
18．如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．
（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．
【答案】（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AO，再根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；
（2）根据勾股定理：
线段AO旋转时扫过的面积为：＝．
【点睛】此题考查的是图形的旋转和求线段旋转时扫过的面积，掌握图形旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
19．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：如图，⊙O和点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
小明的主要作法如下：
（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；
（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
（3）作直线PB和PC，
所以PB和PC就是所求的切线．
老师说：“小明的作法正确．”
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ OP是⊙A的直径，
∴ ∠PBO＝90°，∠PCO＝90°（ ）（填推理的依据）
∴ OB⊥PB，OC⊥PC
又∵ OB，OC是⊙O的半径，
∴ PB，PC是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
【分析】（1）根据要求画出图形即可解决问题；
（2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）∵ OP是⊙A的直径，
∴ ∠PBO=90°，∠PCO=90°（ 直径所对的圆周角是直角），
∴ OB⊥PB，OC⊥PC，
又∵ OB，OC是⊙O的半径，
∴ PB，PC是⊙O的切线（经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定及线段垂直平分线(尺规作图)，解题的关键是熟练掌握以上知识．
20．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．
(1)求弧BC的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接OB，OC．根据∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根据⊙O的直径为2，可得OB＝OC＝1，即利用弧长公式即可求解答案；
（2）根据∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根据OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面积和扇形OBC的面积，再根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．
【详解】（1）如图，连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝1，
∴；
（2）∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是直角三角形，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝1，
∴△BOC的面积为，
∵，
即S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，掌握圆周角定理证明出∠BOC＝90°是解答本题的关键．
21．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由垂径定理得，，进而有，再由证得即可证得结论；
（2）设的半径为，先由勾股定理求得BE长，再在中，由得，解方程求得R值，即可求得的直径．
【详解】证明：（1）∵为的直径，是弦，且于，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴．
（2）设的半径为，
在中，
，
．
则，
在中，
，
∴，
∴．
∴．
答：的直径为．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角、等腰三角形的性质、勾股定理，解答的关键是理解题意，灵活运用相关知识的性质解决问题．
22．如图1，圆O的两条弦交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为．
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
的度数
的度数
的度数
猜想：、、的度数之间的等量关系，并说明理由．
(2)如图2，若，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的G点，连接．
①求的度数；
②求．
【答案】(1)的度数（的度数的度数），理由见解析．
(2)①；②
【分析】(1)连接BC，如图1，先利用三角形外角性质得到，再利用圆周角与它所对弧的度数之间的关系得到 的度数， 的度数，所以的度数=（的度数+的度数）
(2) ①连接OG、OC、AG，作于H，于F，如图2，
利用旋转的性质得，，结合（1）的结论即可推出的度数；
②由的度数推出，利用含30度角的直角三角形中三边的关系即可算得的长．
【详解】（1）解：的度数（的度数的度数），理由如下：
连接BC，如图1，
，而 的度数， 的度数
的度数（的度数的度数）
（2）解：①连接OG、OC、AG，作于H，于F，如图2，
将AB以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的点G，
，，
由（1）得的度数的度数 ，
的度数的度数
，
，
而
．
② ，
，
在中，，
，
在中，．
【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、垂径定理和旋转的性质；合理构建直角三角形，利用含30度的直角三角形三边的关系计算线段的长是解决问题的关键．
23．如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．
(1)当点D刚好落在弧上，求弧的长；
(2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长；
(3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，三角形全等的判定和性质．熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）连接，通过证明为等边三角形，得出，进而得出，根据弧长公式即可求解；
（2）过点O作于点G，通过证明，得出，再根据垂径定理即可求解；
（3）根据题意补全图形，过点O作于点H，通过证明，得出，再根据垂径定理即可得出．
【详解】（1）解：连接，
∵沿翻折得到，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点O作于点G，
∵沿翻折得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图：过点O作于点H，
∵沿翻折得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
24．感知：如图①，若，是的两条弦，是的中点，在弦上截取，连接，，，，易证.（不需证明）
探究：如图②，若，是的两条弦，是的中点，于点，求证：
应用：如图③，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，则的长为______.
【答案】探究：见解析；应用：
【分析】本题主要考查了圆周角的定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理：
探究：在上截取，使，连接、、、，证明，得，由等腰三角形的性质得，进一步得出结论；
应用：先证明D是的中点，再根据圆周角定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质解题．
【详解】探究：在上截取，使，连接、、、
是的中点，
，
，，，
，
，
是等腰三角形，
，
应用：如图，过点D作于点G，在上截取，使，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，圆的半径为10，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：
25．【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．
【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用：
【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；
直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解；
构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解；
深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用
勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解．
【详解】解：问题情境∶小红的说法正确，
在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、，
∵在中，>，
∴>，即>．
∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．
∴小红的说法正确；
直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值为
故答案为：．
构造运用：由折叠知，
∵是的中点，
∴，
∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．
当长度取最小值时，点在上，
过点作于点，
∵在边长为的菱形中，
，为中点，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴，
；
深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，
∵是半圆的直径，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上，
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
