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微专题01 圆的性质通关专练
一、单选题
1．如图，已知是的直径，为圆上一点，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在⊙O中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的切线，为切点，经过圆心．若，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，A、B、C为圆O上的三点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A．10° B．20°
C．30° D．40°
7．如图，在中，内切圆与，，分别切于，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等
C．弦是直径 D．同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
9．如图，已知四边形，，以O为圆心，为半径作圆，交于点B，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的直径，点C，D，E都在上，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF．AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．10π B．12π C． D．15π
12．如图，在中，直径于点H．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
13．如图，为的直径，点在上，若，则的度数是（ ）
A．74° B．48° C．32° D．16°
14．如图，已知是的直径，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则四边形ACDB的面积是（ ）
A．119 B．289 C．77或119 D．119或289
二、填空题
16．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 °．
17．已知：如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为D，⊙O的半径为5，OD=3，那么AB的长为 ．
18．如图，在Rt中，，，，点是的中点，以为直径作，分别与、交于点、，过点作的切线，交于点，则的长为 ．
19．如图，内接于，，为的直径，，则 ．
20．如图，的半径长为4，弦的长为，点C在上，若，则的长为 ．
21．在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ．
22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为
23．如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB＝10，则图中阴影部分面积为 ．
24．如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是 ．
25．如图，的半径为4，定点P在上，动点A，B也在上，且满足，C为PB的中点，则点A、B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为 ，此时 ．
三、解答题
26．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，若∠E＝36°，求∠ADC的度数．
27．如图，P是的直径AB上的一点（不与点A、O、B重合），点C在直径AB上方的半圆上（异于点A、B）．
(1)尺规作图：在上作出一点D，使得（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点C位于直径AB同侧的点D，连接OC、OD，求证．
28．如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：．
29．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：
（1）OC＝OD：
（2）．
30．如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分．
（1）求证；
（2）设，，用含的代数式表示；
（3）若，，求弦的长．
31．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=12，求AD的长；
(3)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
32．已知的半径为，小明同学作如下操作（如图）：
Ⅰ．在上任取一点A，以A为圆心，为半径作弧，与相交于、两点；
Ⅱ．以为圆心，为半径作弧与相交于点；
Ⅲ．分别以、为圆心，、两点间距离为半径作弧相交于点；
Ⅳ．以为圆心，、两点间距离为半径作弧与相交于点；
(1)、两点之间的距离__________；、两点之间的距离__________；
(2)试猜想的度数，并证明你的结论．
33．问题提出：
(1)如图①，在矩形ABCD内，以BC的中点O为圆心，BC为直径作半圆，Q为半圆上一点．若AB=6，BC=8，求△ADQ的面积的最小值；
问题解决：
(2)如图2，矩形ABCD是城区改造过程中的一块闲置空地，AB=300m，BC=400m，E是AB边上一点，AE=200m，F是BC边上的任意一点．为了美化环境，市规划办决定修建AG、CG、EG、FG四条小路，并在四边形AGCD围成的区域种植草坪，△AEG，△GFC围成的区域种植鲜花，△BEF围成的区域修建供市民休息的凉亭，△GEF围成的区域投放健身器材，供市民锻炼身体，且△BEF与△GEF关于EF成轴对称．根据以上所给信息，求出草坪AGCD面积的最小值．
34．【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在中，为边上的高，且，P为内一点，当时，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园，，与相交于点P，且，过点A作直线的垂线交直线于点E，即，米．赵老师准备在内种植当季蔬菜，边BE的中点F为菜园出入口，为了种植方便，她打算在边上取点M，并沿、修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
35．如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”．
(1)如图2，是的直径，弦，D是上一点，连接交于点P，连接，是的“幸运角”吗？请说明理由．
(2)设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数．
(3)在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为．
①如图3，连接，求弦的长；
②当时，求的长．
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微专题01 圆的性质通关专练
一、单选题
1．如图，已知是的直径，为圆上一点，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质求出即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，在⊙O中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案．
【详解】如下图，连接
，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．如图，是的切线，为切点，经过圆心．若，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C.
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
4．如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆的性质和圆周角定理是解题的关键．
连接，，，先根据正五边形的性质，求出，从而求得，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，，，如图，
∵AB、BC都是圆的内接正五边形的边，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
5．如图，A、B、C为圆O上的三点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，先根据对边对等角和三角形内角和定理求出，再由圆周角定理可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
6．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A．10° B．20°
C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据圆心角定理：等弧对等角，根据条件求出相应角的角度，作适当的辅助线，找到的关系，即得答案．
【详解】如图，连接，
，根据等弧对等角，
，
在中，，
是等腰三角形，
，
同理在中，得出：，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的弧长对应相等的圆心角，解题的关键是：理解并掌握定理，需要把所求角转化为两个角之差．
7．如图，在中，内切圆与，，分别切于，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，先根据切线的性质和四边形内角和定理求出，再由同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵内切圆与，分别切于，，
∴，
∵，
∴，
∵点D在圆O上，
∴，
故选B．
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等
C．弦是直径 D．同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
【答案】B
【分析】根据不共线三点确定一个圆，圆周角定理及其推理，圆的相关定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 平面上不共线三个点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意；
B.等弧所对的圆周角相等，故该选项正确，符合题意；
C. 最长的弦是直径，故该选项不正确，不符合题意；
D. 同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故该选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了命题，确定圆的条件，圆周角定理及其推理，圆的相关定义，掌握以上知识是解题的关键．
9．如图，已知四边形，，以O为圆心，为半径作圆，交于点B，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在优弧AC上找一点E，连接AE，CE，根据等边对等角求出∠ABD，利用圆内接四边形的性质得到∠E，再根据圆周角定理得到∠AOC．
【详解】解：在优弧AC上找一点E，连接AE，CE，
∵AB=AD，∠DAB=40°，
∴∠D=∠ABD=70°，
∴∠E=70°，
∴∠AOC=2∠E=140°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，构造条件．
10．如图，是的直径，点C，D，E都在上，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据是的直径，得出，根据圆周角定理得出最后结果即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直接所对的圆心角为，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF．AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．10π B．12π C． D．15π
【答案】C
【分析】连接DO并延长交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，由题意易得CG=EF，然后可得阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，再求解即可．
【详解】
连接DO并延长，交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，
则∠DCG＝90°，
∵AB＝10，CD＝6，EF＝8，
∴DG＝10，
∴CG＝，
∴CG＝EF，
∵△OEF的面积和△BEF的面积相等，
∴阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，
同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等，
∵CG＝EF，
∴扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等，
∴阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴阴影部分的面积是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆的扇形面积，关键是根据题意得到阴影部分的面积与其他图形的面积相等，把不规则的面积转化为规则面积去求解即可．
12．如图，在中，直径于点H．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据垂径定理得到，再根据勾股定理计算出，进而得出答案．
【详解】连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解题的关键．
13．如图，为的直径，点在上，若，则的度数是（ ）
A．74° B．48° C．32° D．16°
【答案】C
【分析】根据等边对等角及圆周角定理进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题综合运用了等腰三角形的判定与性质以及圆周角定理求角度，解题的关键是求出灵活运用等腰三角形的判定与性质、圆周角定理找到已知角度与所求角度之间的关系．
14．如图，已知是的直径，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，进而得到∠BDC=∠ADB-∠ADC=40°，再根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC=40°，然后再算出∠DAC的度数，再根据角的和差关系可得∠AEC=∠ADC+∠DAE=80°．
【详解】解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的角为90°），
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=90°-50°=40°，
∵弧BC所对的圆周角是∠BDC和∠BAC，
∴∠BDC=∠BAC=40°（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
在△ADC中，∠ADC=50°，∠C=60°，
∴∠DAC=70°，
∴∠DAE=∠DAC-∠BAC=70-30=30°，
∴∠AEC=∠ADC+∠DAE=80°．
故选：C.
【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
15．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则四边形ACDB的面积是（ ）
A．119 B．289 C．77或119 D．119或289
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理，然后按梯形面积的求解即可.
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∴OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12-5=7cm；
∴四边形ACDB的面积
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴.AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm.
∴四边形ACDB的面积
∴四边形ACDB的面积为119或289.
故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解.
二、填空题
16．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 °．
【答案】15
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：15．
17．已知：如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为D，⊙O的半径为5，OD=3，那么AB的长为 ．
【答案】8
【分析】连接，先利用勾股定理可得，然后根据垂径定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
的半径为5，
，
，
，
又是的弦，，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
18．如图，在Rt中，，，，点是的中点，以为直径作，分别与、交于点、，过点作的切线，交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】先用勾股定理求出，进而求出，再求出，进而求出，再判断出，利用等面积法即可得出结论．
【详解】解：如图所示，连接，
在Rt中，，，，
根据勾股定理得，，
点是的中点，
，
是的直径，
，
是边的垂直平分线，
，
，
，，
是的中位线，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键．
19．如图，内接于，，为的直径，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，根据等角对等边以及三角形内角和定理得出,进而得出，，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴,
∵为的直径，
∴，
又，
∴在中，，
∴，
∴
故答案为：．
20．如图，的半径长为4，弦的长为，点C在上，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】作所对的圆周角，作于H，连接、，如图，为等腰直角三角形，则，再利用圆周角定理得到，，所以 ，利用勾股定理计算出 ，从而得到答案．
【详解】解：作 所对的圆周角，作于H，连接、，如图，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．圆内接四边形的对角互补．也考查了勾股定理．
21．在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得．
【详解】
如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最小，即此时最小，
∵，
∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小，
∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为
【答案】4
【分析】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，利用两点之间线段最短得到此时P′M+P′N的值最小，然后证明△OMN′为等边三角形得到MN′＝OM＝4，从而可判断PM+PN的最小值.
【详解】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，
∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′，
∴此时P′M+P′N的值最小，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠NOB＝20°，
∵N点关于AB的对称点N′，
∴∠N′OB＝20°，
∴∠MON′＝60°，
∴△OMN′为等边三角形，
∴MN′＝OM＝4，
∴P′M+P′N＝4，即PM+PN的最小值为4.
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了最短路径问题的解决方法.
23．如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB＝10，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，再根据垂径定理可得，然后利用勾股定理可得，最后根据阴影部分面积等于大圆面积减去小圆面积即可得．
【详解】如图，连接OA、OC，
由圆的切线的性质得：，
由垂径定理得：，
在中，，
则图中阴影部分面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
24．如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】直径所对圆周角为直角，内接四边形对角互补，直接求出即可计算出．
【详解】因为是的直径，
所以，
因为，
所以
因为四边形内接于，
所以
故答案为：．
【点睛】此题考查圆周角和圆内接四边形的性质，解题关键是先得到直径所对的圆周角，然后通过内角和计算角度，最后利用对角互补求角度．
25．如图，的半径为4，定点P在上，动点A，B也在上，且满足，C为PB的中点，则点A、B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为 ，此时 ．
【答案】 ；
【分析】①连接OA、OP、OB，取的中点，根据求得最大值，由已知条件可得为等边三角形，进而求得，根据中位线定理求得，进而求得，即可得出AC的最大值；②根据①可得：M、A、P三点共线时，即可得．
【详解】如图，连接OA、OP、OB，取的中点，
，
是等边三角形
是的中点，是的中点
当三点共线时，取得最大值，
最大值为
当三点共线时，如图，
取的中点，连接
是的中点
是等边三角形，为的中点，
为的中点，是的中点
故答案为：①；②．
【点睛】题目主要考查点与圆的位置关系、三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，学会用转化的思想是解题关键．
三、解答题
26．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，若∠E＝36°，求∠ADC的度数．
【答案】
【分析】根据直径所对圆周角是直角得，就可以算出的度数，再根据平行四边形的性质即可得到结果．
【详解】解：∵BE为直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对圆周角是直角这个性质．
27．如图，P是的直径AB上的一点（不与点A、O、B重合），点C在直径AB上方的半圆上（异于点A、B）．
(1)尺规作图：在上作出一点D，使得（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点C位于直径AB同侧的点D，连接OC、OD，求证．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过C点作AB的垂线交⊙O于E，根据垂径定理得到AB垂直平分CE，则AB平分∠CPE，延长EP交⊙于D点，延长CP交⊙O于D′，则D点和D′点满足条件；
（2）利用PC=PE得到∠PCE=∠PEC，再利用三角形外角性质得到∠CPD=2∠PEC，而根据圆周角定理得到∠COD=2∠DEC，从而得到结论．
【详解】（1）解：如图，点D和D'即为所求；
（2）证明：∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∴∠CPD=∠PEC+∠PCE=2∠PEC，
∵∠COD=2∠DEC，
∴∠CPD=∠COD．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
28．如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理，内心的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据内心的性质可得平分平分，可得，．从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求证．
【详解】证明：如图，
连接，
∵为内心，
∴平分平分，
∴．
∴和所对的圆心角相等．
∴，，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
29．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：
（1）OC＝OD：
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论；
（2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAC＝∠OBD．
在△OAC与△OBD中，
∵，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴OC＝OD．
（2）∵△OAC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴．
【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC≌△OBD是解题的关键．
30．如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分．
（1）求证；
（2）设，，用含的代数式表示；
（3）若，，求弦的长．
【答案】（1）见解析；（2）=2－90°；（3）
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和半径、直径的关系可得∠AEB=90°，OE=，再根据等角对等边证出AB=AC，即可证出结论；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠CAB，然后根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（3）设OE与BD交于点F，根据直径的长求出OB和OE，然后根据三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DE=BE=6，从而证出OE垂直平分BD，BD=2BF，然后设OF=x，根据勾股定理列出方程即可求出x，从而求出结论．
【详解】（1）证明：∵为直径，OE为半径
∴∠AEB=90°，OE=
∴∠AEC=180°－∠AEB=90°
∴∠C＋∠CAE=90°，∠ABE＋∠BAE=90°
∵平分
∴∠CAE=∠BAE
∴∠C=∠ABE
∴AB=AC
∴；
（2）由（1）可知：∠C=∠ABE=
∴∠CAB=180°－∠C－∠ABE=180°－2
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∴∠CAB＋∠ABD=90°
即180°－2＋=90°
∴=2－90°
（3）设OE与BD交于点F
∵
∴OB=OE=
∵AB=AC，平分
∴BE=CE=BC=6，即点E为BC的中点
∵∠BDC=180°－∠ADB=90°
∴在Rt△BDC中，DE=BE=6
∴点E在BD的中垂线上
∵点O在BD的中垂线上
∴OE垂直平分BD，BD=2BF
设OF=x，EF=OE－OF=5－x
根据勾股定理可得：OB2－OF2=BF2=BE2－EF2
即52－x2= 62－（5－x）2
解得：x=
即OF=
∴BF=
∴BD=2BF=
【点睛】此题考查的是圆周角定理及推论、直角三角形的性质、等腰三角形的判定及性质和垂直平分线的判定及性质，掌握圆周角定理及推论、直角三角形的性质、等腰三角形的判定及性质和垂直平分线的判定及性质是解决此题的关键．
31．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=12，求AD的长；
(3)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接OC，AC=CD，∠ACD=120°得∠A=∠D=30°，根据圆周角定理求得∠COD=2∠A=60°，则∠OCD=90°，可证得CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，由∠OCD=90°，∠D=30°得OD=2OC=2r，在Rt△DOC中根据勾股定理列方程求出r的值，即可求出AD的长；
（3）在Rt△DOC中根据勾股定理列方程求出CD的长，而∠COB=60°，由S阴影=S△COD-S扇形COB求出图中阴影部分的面积即可．
【详解】（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：如图，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，
∵∠OCD=90°，∠D=30°，
∴OD=2OC=2r，
∵，且CD=AC=12，
∴，解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
∴．
（3）如图，∵⊙O的半径为3，
∴OC=3，
∵∠OCD=90°，∠D=30°，
∴OD=2OC=6，
∴，
∵∠COB=60°，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、含30°角的直角三角形、勾股定理、扇形面积的计算等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
32．已知的半径为，小明同学作如下操作（如图）：
Ⅰ．在上任取一点A，以A为圆心，为半径作弧，与相交于、两点；
Ⅱ．以为圆心，为半径作弧与相交于点；
Ⅲ．分别以、为圆心，、两点间距离为半径作弧相交于点；
Ⅳ．以为圆心，、两点间距离为半径作弧与相交于点；
(1)、两点之间的距离__________；、两点之间的距离__________；
(2)试猜想的度数，并证明你的结论．
【答案】(1)；
(2)；证明见解析
【分析】（1）连接，先证明，在中利用勾股定理解决问题；
（2）连接，先求长，即可得到长，再利用勾股定理逆定理证明即可求出结论．
【详解】（1）解：连接，如图：
由题意得：，
是等边三角形，
，
同理，
，
点在同一直线上，即为直径，
，，
在中，，
、两点之间的距离；、两点之间的距离；
故答案为：，；
（2）解：的度数为，理由如下：
连接，
由题意得：，
，
，
，
，
在中，，
是直角三角形，，
的度数为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆的性质、勾股定理及逆定理，熟记相关性质与判定是解题关键．
33．问题提出：
(1)如图①，在矩形ABCD内，以BC的中点O为圆心，BC为直径作半圆，Q为半圆上一点．若AB=6，BC=8，求△ADQ的面积的最小值；
问题解决：
(2)如图2，矩形ABCD是城区改造过程中的一块闲置空地，AB=300m，BC=400m，E是AB边上一点，AE=200m，F是BC边上的任意一点．为了美化环境，市规划办决定修建AG、CG、EG、FG四条小路，并在四边形AGCD围成的区域种植草坪，△AEG，△GFC围成的区域种植鲜花，△BEF围成的区域修建供市民休息的凉亭，△GEF围成的区域投放健身器材，供市民锻炼身体，且△BEF与△GEF关于EF成轴对称．根据以上所给信息，求出草坪AGCD面积的最小值．
【答案】(1)△AQD的面积的最小值为8；
(2)草坪AGBD的面积的最小值为75000平方米．
【分析】（1）取AD的中点M，连接QM，QO，MO，可得四边形ABOM为矩形，OM=6，QO=4；由于QM≥OM-QO，得到QM≥2．得到当且仅当Q，O，M三点共线时，QM取最小值，QM取最小值2时，QM⊥AD，此时，Q点到AD的距离小．结论可得；
（2）连接AC，过点E作EN⊥AC于N，连接NG，可得BE=EG=100米，于是点G在以E为圆心100米为半径的圆弧上移动；由于NG≥EN-EG，求得NG≥60米，因此当且仅当E，G，N三点共线时，NG取得最小值．当NG取得最小值时，NG⊥AC，可知点G到AC的最小距离为160-100=60（米），从而得到S△AGC的最小值=15000（平方米），结论可得．
【详解】（1）解：取AD的中点M，连接QM，QO，MO，如图①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，∠BAD=90°．
∵O是BC的中点，M是AD的中点，
∴BO=BC，AM=AD．
∴BO=AM．
∴四边形ABOM为矩形．
∴OM=AB=6．
∵OQ=OB=OC=BC=4，
∴QM≥OM-QO．
∴QM≥2．
∴当且仅当Q，O，M三点共线时，QM取最小值．
QM取最小值2时，QM⊥AD，此时，Q点到AD的距离小．
∴S△AQD的最小值为：×AD×2=8．
∴△AQD的面积的最小值为8；
（2）解：连接AC，过点E作EN⊥AC于N，连接NG，如图②，
∵△GEF是△BEF关于EF的轴对称图形，
∴EB=EG．
∵AB=300米，AE=200米，
∴BE=AB-AE=100米．
∴EG=100（米）．
∴点G在以E为圆心100米为半径的圆弧上移动．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，AB=300米，BC=400米，
∴AC= =500（米）．
∴sin∠BAC==．
∵EN⊥AC，
∴sin∠BAC=，
∴EN=AE=160（米）．
∵NG≥EN-EG，
∴NG≥60米．
∴当且仅当E，G，N三点共线时，NG取得最小值．
当NG取得最小值时，NG⊥AC．
∴点G到AC的最小距离为：160-100=60（米）．
∴S△AGC的最小值为AC×60=×500×60=15000（平方米）．
∵S△ADC=AD CD=×400×300=60000（平方米）．
∴草坪AGBD的面积的最小值为：15000+60000=75000（平方米）．
故草坪AGBD的面积的最小值为75000平方米．
【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，矩形的判定与性质，三角形的面积，直角三角形的边角关系，本题综合性较强，巧妙的添加辅助线是解题的关键．
34．【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在中，为边上的高，且，P为内一点，当时，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园，，与相交于点P，且，过点A作直线的垂线交直线于点E，即，米．赵老师准备在内种植当季蔬菜，边BE的中点F为菜园出入口，为了种植方便，她打算在边上取点M，并沿、修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）7；（2）；（3）存在最小值，最小值为米
【分析】（1）取的中点F，连接，根据即可求出的最小值；
（2）作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点，连接、、，交直线l于点，连接，先证，即当点P在点的位置时，取得最小值，最小值为的长；
（3）延长，交于点G，作点F关于的对称，利用证明，进而可证，以为底边，在的下方作等腰，使，则点P以点O为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点M，此时，当点P在上时，取最小值，最小值为．
【详解】解：（1）取的中点F，连接，如图1所示，
∵四边形是矩形，且E、F分别是的中点，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，
当且仅当E、P、F三点共线时，PE取最小值，此时，
故答案为：7；
（2）作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点，连接、、，交直线l于点，连接，如图2．
∵，
∴点P到BC的距离等于，
∴点P在内直线l上．
则，，，
∴．
∵，
∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值为的长．
∵，，，
∴．
∴为等腰直角三角形，
∴，
即的最小值为．
（3）存在最小值，理由如下：
延长，交于点G，作点F关于的对称，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
以为底边，在的下方作等腰，使，则点P以点O为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于点M，此时，
当点P在上时，取最小值，最小值为，
∵，，是等边三角形，
∴，
作于点H，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
的最小值为米．
【点睛】本题考查了圆的综合运用，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，综合性较强，巧妙的添加辅助线，求出点P的运动轨迹是解题的关键．
35．如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”．
(1)如图2，是的直径，弦，D是上一点，连接交于点P，连接，是的“幸运角”吗？请说明理由．
(2)设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数．
(3)在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为．
①如图3，连接，求弦的长；
②当时，求的长．
【答案】(1)是的“幸运角”，理由见解析
(2)n
(3)6或8
【分析】（1）利用“幸运角”的定义，说明即可；
（2）利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半即可解答；
（3）①连接，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质解答即可；②利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，再利用等腰直角三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：是的“幸运角”，理由如下：
∵是的直径，弦，
∴平分，即为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的“幸运角”．
（2）解：∵的度数为n，
∴，
∵，
∴
∴，
∴∠．
∴的“幸运角”度数=．
∴的“幸运角”度数为n．
（3）解：①连接，如图，
∵的“幸运角”度数为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵直径，
∴，
∴；
②∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
设，则，
在中，
∵，
∴，解得：或，
∴或，
∴6或8．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键．
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