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专题07 圆的相关计算
考点类型
知识串讲
（一）与圆有关的计算
（1）弧长和扇形面积的计算：
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝
（2）圆锥与侧面展开图
①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
②计算公式：
,（r为底面半径）
S侧=πrl（l为母线长，r为底面半径）
（3）圆锥表面积
圆锥体表面积公式：（为母线，R为底面半径）
备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积
考点训练
考点1：运用公式求扇形的弧长
典例1：已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点P，从点P向半径引垂线交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【变式2】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中的长为，裙长为，圆心角，则的长为 m．
【变式3】如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
考点2：求扇形半径或圆心角
典例2：如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ．
【变式3】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ．
考点3：旋转过程中点经过的路径长
典例3：如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
【变式1】如图，在中，，将绕顶点C顺时针方向旋转至的位置，且A，C，三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转至图 位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转至图 位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
【变式3】如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留）
考点4：运用公式求扇形的面积
典例4：如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点为上一点，以点为圆心，的长为半径作圆与边相切于点，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为 ．
【变式3】如图，已知中，，若以为直径作分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
考点5：旋转过程中线段（图形）扫过的面积
典例5：如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是 ．
【变式3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，绕点O逆时针旋转90°得到．则线段绕点O逆时针旋转90°得到的图中阴影部分面积是 ．
考点6：求阴影部分的面积
典例6：如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【变式3】如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为 ．
考点7：求圆锥的侧面积
典例7：草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
【变式3】如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．
考点8：求圆锥的底面半径与高
典例8： 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C．π D．2
【变式2】如图，从一块边长为6的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【变式3】如图，用一个半径为，弧长为的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，则圆锥的高 ．
考点9：求圆锥侧面展开图的圆心角
典例9：如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】圆锥的底面直径是，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的全面积是 （结果用含的式子表示）．
【变式3】现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ．
考点10：圆的相关计算与实际问题
典例10：图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
【变式1】如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．
(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
【变式2】如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？
【变式3】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数；
(2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
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专题07 圆的相关计算
考点类型
知识串讲
（一）与圆有关的计算
（1）弧长和扇形面积的计算：
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝
（2）圆锥与侧面展开图
①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
②计算公式：
,（r为底面半径）
S侧=πrl（l为母线长，r为底面半径）
（3）圆锥表面积
圆锥体表面积公式：（为母线，R为底面半径）
备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积
考点训练
考点1：运用公式求扇形的弧长
典例1：已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式、圆周角定理，由等边三角形的性质结合圆周角定理得出，再由弧长公式计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，
，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴，
故选：C．
【变式1】如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点P，从点P向半径引垂线交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．如图，连由△OPH的内心为I，可得到，并且易证，得到，所以点I在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过A、I、O三点作，如图，连，在优弧取点，连，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长．
【详解】解：如图，连
∵的内心为I，
∴，
∴，
而，即，
∴，
又∵公共，
而，
∴，
∴，
所以点I在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；
过A、I、O三点作，如图，连，
在优弧取点，连，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长π（），
所以内心I所经过的路径长为．
故选：B．
【变式2】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中的长为，裙长为，圆心角，则的长为 m．
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，即可计算．
【详解】解：圆心角，
的长，
米，
（米，
的长（米，
故答案为：
【变式3】如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即可求解．
【详解】解：连接，由题意得，
是边长为2的等边三角形，
∴
，
扇形的弧长为，
圆锥的底面圆的半径是．
故答案为：．
考点2：求扇形半径或圆心角
典例2：如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆心角的计算，利用圆的周角等于，根据“黄金扇形”的定义列算式求解即可．
【详解】解：“黄金扇形”的圆心角约为，
故选C．
【变式1】若的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可
【详解】设半径为r，
则周长为2πr，
120°所对应的弧长为
解得r=3
故选C
【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．
【变式2】已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案．
【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式3】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ．
【答案】108
【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：108
考点3：旋转过程中点经过的路径长
典例3：如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键．
解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上，
∴，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴点C经过的路径长为：，
故选：C．
【变式1】如图，在中，，将绕顶点C顺时针方向旋转至的位置，且A，C，三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的两锐角互余的性质，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，然后求出旋转角，再根据弧长公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵绕顶点C顺时针方向旋转至的位置，
∴，
∴旋转角，
又∵，
∴点A所经过的最短路线的长．
故选：B．
【变式2】如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转至图 位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转至图 位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式是解决问题的关键．先求出对角线的长，然后根据弧长公式依次计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
转动一次顶点A的路线长是：，
转动第二次顶点A的路线长是：，
转动第三次顶点A的路线长是：，
转动第四次顶点A的路线长是0，
故顶点A转动四次经过的路线长为：，
故答案为．
【变式3】如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算、直角三角形的性质．首先可求得，根据直角三角形的性质，即可求得、的长，再由题意可得的度数，最后利用弧长公式即可求解；
【详解】解：
．
，，
，
顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长为．
故答案为：．
考点4：运用公式求扇形的面积
典例4：如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴弓形的面积=弓形的面积，
∴阴影部分的面积
=扇形的面积的面积
，
故选：C．
【变式1】习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，
，
，
所以山水画所在纸面的面积为：．
故选：C．
【变式2】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点为上一点，以点为圆心，的长为半径作圆与边相切于点，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，切线的性质，扇形面积，等腰直角三角形的判定与性质，利用网格线及勾股定理逆定理求得是等腰直角三角形，再利用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接，
根据网格线，可得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∵的长为半径作圆与边相切于点，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式3】如图，已知中，，若以为直径作分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】此题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵以为直径作分别交于点M、N，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
考点5：旋转过程中线段（图形）扫过的面积
典例5：如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：
；
；
则．
故选：D．
【变式1】如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，
其中扇形的半径为，圆心角最大角度为，
∴扇形的最大面积为：，
故选：B．
【变式2】如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是扇形面积的计算．由将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处，可得，由题给图象可知：可得出阴影部分面积．
【详解】解：中，是直角，，
，．
将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处，
．
所以
．
故答案为：．
【变式3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，绕点O逆时针旋转90°得到．则线段绕点O逆时针旋转90°得到的图中阴影部分面积是 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出，的长，然后根据求解即可．
【详解】解：如图，连接．
由勾股定理，得
，，
由旋转的性质，得
，．
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，扇形的面积计算，得出是解答本题
的关键．
考点6：求阴影部分的面积
典例6：如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形面积减去直角三角形的面积之差．
【详解】解：连接，，如图，
正方形的边长为2，为对角线的交点，
由题意可得：，经过点，且，．
点，分别为，的中点，
，
，．
以为弦的两个弓形面积相等．
．
故选：C．
【变式1】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解．
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
故选：B．
【变式2】如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，，
，
∵
，
故答案为：．
【变式3】如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得，，
故答案为：．
考点7：求圆锥的侧面积
典例7：草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3，
∴母线长为，
∴圆锥模型的侧面积为．
故选：B．
【变式1】如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积公式；根据三视图可得此几何体为圆锥，那么，从而得出答案．
【详解】根据三视图可得：这个几何体为圆锥，
直径为，圆锥母线长为，
侧面积.
故选：B.
【变式2】如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵底面半径为，
∴圆锥底面圆的周长为，
即扇形纸片的弧长为，
∵母线长为，
∴圆锥的侧面积．
故答案为：
【变式3】如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．
先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【详解】解：由勾股定理得：母线，
．
故答案为：．
考点8：求圆锥的底面半径与高
典例8： 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形；作于，如图，根据折叠的性质得等于半径的一半，即 ，再根据特殊角的三角函数值得出，则，所以，则利用弧长公式可计算出弧的长，再求出底面圆的半径为，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高．
【详解】如图，过点作，垂足为，交于点，
由折叠的性质可知， ，则
由此可得，在中，，
同理可得，
在中，由三角形内角和定理，得．
弧的长为．
设围成的圆锥的底面半径为，则，
．
圆锥的高为．
故选A．
【变式1】已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C．π D．2
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：B．
【变式2】如图，从一块边长为6的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
如图：连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵是边长为6的等边三角形，
∴，
∴扇形的弧长为，
∴圆锥的底面圆的半径是．
故答案为：．
【变式3】如图，用一个半径为，弧长为的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，则圆锥的高 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵弧长为，
∴圆锥的底面周长为，
∵圆锥的底面半径为，
则圆锥的高，
故答案为∶8．
考点9：求圆锥侧面展开图的圆心角
典例9：如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
∵
∴
∴
解得：
故选：C．
【变式1】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为，
∵圆锥的底面圆周长为cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm，
由题意得：，解得：，
则，解得，即扇形的圆心角为，
故答案为：B．
【变式2】圆锥的底面直径是，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的全面积是 （结果用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长，扇形面积．求出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：该圆锥底面周长，
∵母线长为，
∴该圆锥的侧面展开图的半径为，
∴，解得：，
即展开图（扇形）的圆心角是，
圆锥的全面积，
故答案为：，．
【变式3】现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式和圆锥相关计算，熟知两者之间的对应关系是解题关键．圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．据此计算出制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角，即可获得答案．
【详解】解：设制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角为，
由题意，剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽，
可得，
解得，
∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是，
∴剪去的扇形纸片的圆心角为．
故答案为：．
考点10：圆的相关计算与实际问题
典例10：图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
∴；
（2）解：，，，
而，
，
．
【变式1】如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．
(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可；
（2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为，
根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：
，
又∵．
，
解得：．
∴它的侧面展开图的圆心角是90°；
（2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：
根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，
，B为的中点，
由（1）知
∴
∴它所走的最短路线长是．
【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．
【变式2】如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？
【答案】11.44πkg
【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量．
【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m，
圆锥的高为300mm=0.3m，
则圆锥的母线长为：＝0.5m．
∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2），
∵圆柱的高为800mm=0.8m．
圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2），
∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2），
∵每平方米用锌0.11kg，
∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg，
∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）．
答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式．
【变式3】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数；
(2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
【答案】(1)
(2)这根绳子的最短长度为
【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离．
本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题．
【详解】（1）解： 设的度数为，
底面圆的周长等于，
解得．
（2）解：连接，过作于，
∴，
∵由（1）得
∴
∵
则
由，
∴，
∴，
∴，
即这根绳子的最短长度是．
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