中小学教育资源及组卷应用平台
微专题02 切线的证明与相关计算通关专练
一、单选题
1．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为，如果以的速度沿由向的方向移动，点与直线相切时，的值为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．6或10
【答案】D
【分析】当P移动到位置时，设切点为，根据 ，得出，求得的值，同理，当P移动到位置时求得，即可求解．
【详解】解：如解图，当P移动到位置时，与直线相切，
设切点为，连接，则．因为，
所以，所以，此时的值为．
如解图，当P移动到位置时，与直线也相切，
同理，所以．此时的值为．
所以与直线相切时移动的秒数是6或10．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
2．如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作DG⊥BC于点G，连接OC、OE，根据切线长定理可得CE=CF，OC平分∠ECF，DF=DH，所以OC垂直平分EF，令OC、EF相交于点M，则EM=FM，设圆半径为R，则DG=2R，CG=3，CD=6-R+3-R，根据勾股定理可求出R，再利用求出EM即可求得EF．
【详解】连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图，
∵，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，
∵点E、F、H是切点，
∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线，
∴EM=FM，
设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，，
∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，
∵，
∴
解得：R=2，
∴CE=6-2=4，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选 A．
【点睛】本题考查了切线长定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．7 C． D．12
【答案】A
【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴
又∵∠ACB＝90°
∴四边形OECD是矩形
∵EO=DO
∴矩形OECD是正方形
设EO=x，
则EC=CD=x
在在Rt△ABC中，
故
解得：x=1
∴BC=3，AC=4
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是三角形的内切圆与内心，熟记切线的性质以及理解三角形内心的定义是解此题的关键．
4．如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，若＝80°，＝60°，则∠ADC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】C
【分析】连接AB，交CD于E，根据圆周角定理，可求出∠ABC=40°，∠CAB=30°，由CD平分∠ACB，可得∠ACD=20°，然后根据三角形的外角的性质，得到∠AED=50°，再根据切线的性质求出∠BAD=40°，从而得出∠ADC=90°.
【详解】连接AB，交CD于E，
∵弧AB=80°，弧BC=60°
∴∠ABC=40°，∠CAB=30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=20°，
∴∠AED=∠CAB +∠ACD =50°，
∵直线l与圆相切于点A
∴∠BAD=40°，
∴∠ADC=90°.
故选C.
【点睛】此题主要考查了圆周角定理和切线的性质定理的应用，灵活应用圆的相关定理进行角的转化是解题关键.
5．如图，⊙O的直径为6，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OA，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用直角三角形的性质和平角的定义计算出∠AOB=130°，然后根据弧长公式即可求得结论．
【详解】连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝90°-∠P＝50°，
∴∠AOB＝180°-∠AOP＝130°，
∵⊙O的直径为6，
∴OA＝3，
∴的长＝＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和弧长公式，根据“圆的切线垂直于经过切点的半径”正确作出辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键．
6．如图，切于点A，交于点B，，，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【分析】由切线的性质知，在中，已知了的长，设圆的半径为r，可用勾股定理求出r的长．
【详解】解：∵切于A，
∴，
设圆的半径为r，在中，则，
∵，，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证时，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决相关问题．
7．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
先利用对顶角相等和互余得到，再利用等腰三角形的性质得到，然后根据切线的性质得到，从而利用互余计算出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
．
故选：B．
8．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠C=40°，则∠ABO的度数是（ ）
A．50° B．40° C．25° D．20度
【答案】C
【详解】因为BC是⊙O的切线,OB是⊙O的半径,
∴∠OBC=90°,
∵∠C=40°,
∴∠BOC=50°,
∵OA=OB,
∴∠A=∠ABO=25°,
故选C．
9．如图，是的内切圆，点、分别为，上的点，且为的切线，若的周长为，边的长为．则的周长为（ ）
A．15 B．7.5 C．10 D．9
【答案】C
【分析】根据切线长定理可以证得：BF+CH=BG+CG=BC，DE=DR+ER=DF+EH，根据△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EH=AF+AH=△ABC的周长-（BF+CH）=△ABC的周长-BC即可求解.
【详解】解：∵⊙I是△ABC的内切圆，设与AB，BC，AC的切点分别为：F，G，H，
∴BF=BG，CG=CH，DR=DF，ER=EH,
∴BF+CH=BG+CG=BC=5，
DE=DR+ER=DF+EH，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EH=AF+AH=△ABC的周长-BC-（BF+CH）=△ABC的周长-2BC=20-2×5=10．
故选C.
【点睛】本题考查了切线长定理，正确理解∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EH=AF+AH=△ABC的周长-（BF+CH）=△ABC的周长-BC是关键.
10．如图，经过圆心交于点，与相切于点．若，，则与之间的函数关系图象是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，根据圆周角定理可得 ，再根据切线的性质得到解题即可．
【详解】解：连接 ，则 ，
为 的切线，
，
，，即 ，
，
当 时，，当 时，．
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质是解题的关键．
11．如图，内接于，过点A作的切线交的延长线于点D．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据切线的性质得到，再根据三角形外角性质计算出，然后利用圆周角定理得到的度数．
【详解】解：∵为的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
12．如图，为的切线，为切点，点在上，如果，那么为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质得∠OAC＝90°，则∠OAB＝35°，所以可求∠AOB＝110°．
【详解】解：∵∠OAC＝90°，
∴∠OAB＝90° 55°＝35°，
∴∠AOB＝180° 35°×2＝110°．
故选C．
【点睛】此题运用了切线的性质定理、三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．
13．如图所示，是的外接圆，为的直径，过点作的切线，交的延长线于点D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质计算得到答案．
【详解】解：连接，
为的切线，
.
，
，
.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．如图，点P为⊙O外一点，连结OP交⊙O于点Q，且PQ=OQ，经过点P的直线l1，l2，都与⊙O相交，则l1与l2所成的锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．0°＜α＜45° C．0°＜α＜60° D．0°＜α＜90°
【答案】C
【分析】本题利用切线的性质和30度所对的直角边等于斜边的一半这两个定理解决即可.
【详解】当直线 与圆相切时夹角最大，
∴OA⊥PA,BO⊥PB,
∵PQ=OQ=OA，
∴∠APO=30°，
同理∠BPO=30°，
∴∠APB=60°，
∴0°＜α＜60°.
故选C.
15．如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ）
A．20° B．35° C．70° D．110°
【答案】A
【分析】利用切线的性质可得∠PAO=90°，在Rt中利用两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵PA与⊙O相切于A点，
∴∠PAO=90°．
又∵∠POA＝70°，
∴Rt中，，
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线经过半径的外端点且垂直于半径．
16．如图所示，在△DEF中，EF＝10，DF＝6，DE＝8，以EF的中点O为圆心，作半圆与DE相切，点A、B分别是半圆和边DF上的动点，连接AB，则AB的最大值与最小值的和是（ ）
A．6 B．2+1 C． D．9
【答案】D
【分析】先确定AB的最大值与最小值，作辅助线，构建矩形OCDB，则此时AB最小，图中FN就是AB的最大值，根据勾股定理和中位线定理可得结论．
【详解】如图，设⊙O与DE相切于点C，连接OC，作于点B，交⊙O于点A
由点与圆的位置关系得：图中AB最小，最小值为；当点A在点N处，点B在点F处时，AB最大，最大值为FN
由勾股定理得：
由圆的切线的性质得：
，即圆的半径为3
则AB的最小值为，AB的最大值为
因此，AB的最大值与最小值的和是
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据点与圆的位置关系确认AB取最大值与最小值时，点A、B的位置是解题关键．
17．如图，中，，过点A作的平行线交过点C的圆的切线于点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OA．由可得出，从而可利用“SSS”证明，即得出，再根据等腰对等角可得出．由切线的性质可得出，从而得出，最后根据平行线的性质，即可求出的度数．
【详解】如图，连接OA．
∵，
∴．
∵OB=OB，OC=OA，
∴(SSS)，
∴．
∵OB=OC，
∴，
∵CD为⊙O切线，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．连接常用的辅助线是解题关键．
18．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【分析】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长．
【详解】解：连接交于点F点，
为直径，
，
∴，
又为切线，
，
∴，
四边形是矩形，
，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理．
19．如图，已知的直径AB的延长线与过C点的切线PC交于点P，若为20°，则直径与弦AC的夹角等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【分析】连接OC，根据切线的性质可得，利用三角形内角和得出，再由等边对等角得出，最后依据三角形外角性质即可得出．
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵PC与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查直线与圆的位置关系中切线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等，熟练掌握这些性质融会贯通作出辅助线是解题关键．
20．如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于点 C，∠ECB=35°， 则∠D 的度数是（ ）
A．145° B．125° C．90° D．80°
【答案】B
【详解】解：连接
∵EC与相切,
故选：B.
二、填空题
21．如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键．证明，可得，结合，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
22．已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为 .
【答案】1
【分析】分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，由切线的性质可得：∠ODC=∠OEC=90°，设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形，从而得出：EC=CD=OD=OE=r，再根据切线长定理可得：BF=BD =3－r，AF=AE =4－r，再根据勾股定理求出AB，利用AB的长列方程即可.
【详解】解：如图所示，分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF
∴∠ODC=∠OEC=90°
∵∠C=90°，设OD=OE=r
∴四边形OECD是正方形
∴EC=CD=OD=OE=r
根据切线长定理可得：BF=BD=BC－CD=3－r，AF=AE=AC－EC=4－r
由勾股定理可知：AB=
∵AF＋BF=AB
∴（4－r）＋（3－r）=5
解得：r=1
故答案为1
【点睛】此题考查的是求三角形内切圆的半径，掌握正方形的判定及性质、切线的性质和切线长定理是解决此题的关键.
23．如图，将一张半径为2的半圆形纸片沿它的一条弦折叠，使得弧与直径相切，若切点分直径为3：1两部分，则折痕长为 ．
【答案】
【分析】过作弦的垂线，垂足为，分别与弧的交点为、，过切点作半径交于点，根据垂径定理及其推论得到，即为的中垂线，必过弧所在圆的圆心，再根据切线的性质得到必过弧所在圆的圆心，则点为弧所在圆的圆心，根据折叠的性质有为半径等于的半径，即，并且，由点分的直径为两部分可计算出，在中，设，利用勾股定理可计算出，则由计算出，可得到的长，于是可计算出的长，在中，利用勾股定理计算，即可得到的长．
【详解】解：过作弦的垂线，垂足为，分别与弧的交点为、，过切点作半径交于点，如图，
，
，即为的中垂线，
必过弧所在圆的圆心，
又为弧所在圆的切线，，
必过弧所在圆的圆心，
点为弧所在圆的圆心，
弧沿折叠得到弧，
为半径等于的半径，即，并且，
，
而点分的直径为两部分，
，
在中，设，则，
，即，解得，
，
，
，
在中，，即，
，
．
故折痕长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理，熟悉相关性质是解题的关键．
24．如图，、为的切线，和是切点，延长到点，使，连接，若，则 度．
【答案】64
【分析】本题考查了切线长定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；由已知条件推导出，，由此根据，能求出的大小．
【详解】解：如图所示，连接，
、为的切线，和是切点，，
垂直平分
，
，，
，
，
．
故答案为：．
25．如图，在中，，，为的中点，以点为圆心的分别与，相切于，两点，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接OE、OA、OD，易证Rt△COE≌Rt△BOD，可知△ABC是等边三角形，进一步求得OE、AE，根据可求解．
【详解】解：连接OE、OA、OD，
∵以点为圆心的分别与，相切于，两点
∴OD⊥AB，OE⊥AC
在Rt△COE和Rt△BOD中
∴Rt△COE≌Rt△BOD（HL）
∴∠B=∠C
又∠A=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，∠BAO=∠OAC=30°，∠EOD=120°
∴OE=OC sin60°==
∴AE=
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积公式等，解题的关键是通过证△ABC是等边三角形，求出半径的长．
26．小明用一把角尺和一块边长为3的正方形小木块测量并计算圆的半径，如图，小木块（正方形）两边紧靠在角尺的两边，顶点C紧靠上，角尺的较长边与相切于点E．量得，则的半径等于 ．
【答案】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OE，OC，过C作于F，利用勾股定理，在Rt△COF中，得到r2=（r3）2+52，求出r即可．
【详解】解：连结OE，OC，过C作于F，
AE切⊙O于E，
，
又，，
四边形BCFE是矩形，
，，
设⊙O的半径为r，
在中，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
27．如图所示，四边形是矩形，以为直径作半圆与相切于点E，再以点A为圆心，线段长为半径作弧，与交于点E．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】根据切线的性质和画图过程判断出，，求出，再利用计算即可得解．
【详解】解：由题意可知：，，
∴E为中点，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴阴影部分的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积，矩形的性质，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
28．如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则AD的长为 ．
【答案】1
【分析】连接OB，根据菱形及圆的基本性质证得是等边三角形，再利用等边三角形及切线的性质求得∠ODB=30°，从而利用30°角的直角三角形的性质求出OD即可得到结果．
【详解】解：连接OB，则OA=OB=1，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，
∴OA=AB=OB，即是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
又∵BD是切线，
∴OB⊥BD，即∠OBD=90°，
∴∠ODB=30°，
∴OD=2OB=2，
∴AD=OD－OA=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了菱形及圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，切线的性质及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握各几何图形的性质是解题的关键．
29．如图，中，，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D．若，则的度数是 ．
【答案】/65度
【分析】连接．由可得出，从而可利用“”证明，即得出，再根据等边对等角可得出．由切线的性质可得出，从而得出，最后根据平行线的性质，即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵为切线，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．连接常用的辅助线是解题关键．
30．如图，等边的边长为4，的半径为2，P为上动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接、，利用切线的性质得到，可得当CP最小时，PQ最小，此时，再求出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：连接、，
∵的切线，切点为Q，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小即取最小值，
∵是等边三角形，
∴当时，最小，此时，
∵，
∴，
∴，
∴此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键．
31．如图，⊙O与四边形ABCD各边都相切．若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD长为 ．
【答案】3
【分析】根据切线长定理可得AD+BC=AB+CD，即可求AD的长度．
【详解】∵⊙O与四边形ABCD各边相切，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=5，BC=6，CD=4，
∴AD=3，
故答案为3．
【点睛】此题考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题关键．
32．如图，AB是⊙O的直径，BC是切线，AC交⊙O于D，在AB上取AE＝AD，DE的延长线交⊙O于F．若∠C＝50°，则∠F的度数是 ．
【答案】30°．
【分析】连接AF，根据切线的性质和已知条件可求出∠AED的度数，再由圆周角定理可求出∠AOF的度数，再根据三角形外角和定理即可求出∠F的度数．
【详解】连接AF，
∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠EAD＝40°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝70°，
∴∠AOF＝140°，
∵∠FEO＝110°，
∴∠OFE＝30°，
故答案为30°．
【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知切线与圆周角的性质.
33．两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC= cm．
【答案】2
【分析】如图，设两个同心圆的圆心为O，小圆与BC的切点为D，连接OB，OD，在构建的直角三角形中，由勾股定理即可求得BC的长．
【详解】如图，设BC与小圆的切点为D，连接OB、OD，
∵BC与小圆相切，
∴∠ODB=90°，BD=CD，
在Rt中，OB=4cm，OD=3cm，
由勾股定理，得：BD=cm，
∴BC=2BD=2cm，
故答案为2．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理等，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题
34．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，AB＝12，则圆环的面积为 ．
【答案】
【分析】设与小圆的切点为C，连接、，有垂径定理求出，由勾股定理可得，由即可求得答案．
【详解】解：如图，设与小圆的切点为C，连接、，
∵为小圆的切线，
∴，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质定理，垂径定理、勾股定理等知识，掌握整体代入思想方法是解题的关键．
35．如图，有一直角三角形的铁皮ABC， AC＝3，BC＝4，若利用此三角形铁皮剪出一圆形铁片，则剪出圆形铁片面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】如图，当圆形铁片为三角形的内切圆时，三角形的面积最大，再根据切线长定理求解内切圆的半径，从而可得答案．
【详解】解：如图，当圆形铁片为三角形的内切圆时，三角形的面积最大，
记切点分别为，连接
结合切线长定理可设： 而
则
解得：
当圆形铁片为三角形的内切圆时，
而
四边形是正方形，
三角形的内切圆的半径为1，
此时圆的面积为．
故答案为：
【点睛】本题考查的是直角三角形的内切圆，切线长定理的应用，正方形的判定与性质，掌握“直角三角形的内切圆的半径的求解”是解本题的关键．
三、解答题
36．如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理解三角形．
（1）根据，分别切于点，，得到平分，得到，再根据得到，利用等量替换得到；
（2）连接，先算出，再利用勾股定理得到的长度，设的半径为，在中，得到，即可求出r的长度，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，分别切于点，，
∴平分，即，，
∴，
∵，
∴，
而，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，分别切于点，，
∴，，
∴，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
∴．
37．如图，AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理可得∠AOD=120°，所以∠DOP=60°，再根据∠APD=30°可得OD⊥DP，从而根据切线的判定可得解答；
（2）由⊙O的半径为5可以算得△ODP与扇形DOB的面积，求出两者之差即可得到解答．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠DOP＝180°﹣120°＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠P＝30°，∠ODP＝90°，OD＝5
∴OP＝10
由勾股定理得：
∴＝S△ODP﹣S扇形DOB
＝
＝．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理的应用及扇形面积的计算是解题关键．
38．如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）﹣π．
【分析】（1）连接OD，先由平行四边形的性质得OA=DC，OC=AD，再证△OAD、△OCD都是等边三角形，得∠AOD=∠COD=60°，然后证△OBF≌△ODF（SAS），得∠OBF=∠ODF=90°，即可得出结论；
（2）先求出∠FEB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得OE=2，DE=OD=，然后求出S△EOD=，S扇形AOD=，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴OA＝DC，OC＝AD，
∵OA＝OC＝OD，
∴OA＝OD＝AD，DC＝OC＝OD，
∴△OAD、△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝60°，
在△OBF和△ODF中，
，
∴△OBF≌△ODF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF，
∵∠OBF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴EF⊥OD
∵点D在⊙O上，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODE中，∵∠AOD＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∵OD＝1，
∴OE＝2，DE＝OD＝，
∴S△EOD＝OD×DE＝×1×＝
，S扇形AOD＝＝π，
∴图中阴影部分的面积＝S△EOD﹣S扇形AOD＝﹣π．
【点睛】本题考查了切线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积等知识；熟练掌握切线的判定和平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
39．已知：为的直径，点为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为交于点．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理、切线的性质是解答本题的关键．
（1）连接,由是过点C的切线可得，然后可以推出，结合推导出，，即平分；
（2）过点O作，首先证得四边形是矩形可得，然后利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：如图：连接．
∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
∴，
∵是过点C的切线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴,即平分．
（2）解：如图，过点O作，垂足为F．
∴，．
由（1）知，，，
∴四边形是矩形．
∴．
在中，，
∴,即的半径为2.5．
40．如图，为的直径，为的弦，，，的平分线交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（2）由是直径得，进一步求出，再根据同弧所对的圆周角相等可得结论；
（2）由，即可求得答案．
【详解】（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵是直径，
∴，
在中，，
∴；
∵的平分线交于点D，
∴；
∴，
∴；
∴在等腰中，，
∴四边形的面积
．
故四边形的面积是．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键．
41．如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）过点O作的垂线，垂足为D，则，然后可得，则有是等边三角形，进而根据等边三角形的性质及勾股定理可进行求解．
【详解】（1）证明：连接，则是的半径，，
是的直径
是的切线；
（2）解：过点O作的垂线，垂足为D，则
，
由（1）可知：，
是等边三角形
，
由勾股定理得：
．
【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理及垂径定理，熟练掌握切线的判定、圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
42．如图，已知过菱形的三个顶点A，B，D，连接，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点P，根据菱形的性质得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得出， 证明是等边三角形，得出，进而， ，再根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接交于点P，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，扇形面积，菱形的性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键．
43．如图，的直径，为延长线上一点，与相切于点，过点作弦，连接．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据垂径定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和得到，推出四边形是平行四边形，于是得到结论．
【详解】（1）（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
点为的中点．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形的面积．
44．如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
(1)若的周长为12，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查的是切线的性质，切线长定理的含义，四边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）由切线长定理可得答案；
（2）如图，连接，，，利用切线的性质与切线长定理的含义，再结合四边形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：由切线长定理可知，，，．
则的周长 ．
．
（2）如图，连接，，，
则，．
．
在四边形中，，，
即，
．
45．如图，的直径为，弦为，、分别是的平分线与，的交点，为延长线上一点，且．
求、的长；
试判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；直线与相切，理由详见解析．
【分析】（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；
（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出.
【详解】解:（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AD=BD==5，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，
∴AC==5，
∴，；
直线与相切，理由是：
连接，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法：①有半径，证明垂直，②有垂直，证半径；本题属于第①种情况.
46．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且A（－8，0）、B（2，0），以AB的中点P为圆心、AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设M点为（1）中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式；
（3）判定（2）中直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由；
（4）过坐标原点O作直线BC的平行线OG，与②中的直线MC相交于点G，连接AG，求点G的坐标，并证明AG⊥MC．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）顶点M点坐标为(，)，直线MC的解析式为；（3）直线MC与⊙P相切，理由见解析；（4）点G点坐标为(，)，证明见解析
【分析】（1）连结AC、BC，如图，根据圆周角定理由AB为⊙P的直径得到∠ACB=90°，再证明Rt△ACO∽Rt△CBO，利用相似比计算出OC=4，则C点坐标为（0，-4），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）先把（1）轴得到的解析式配成顶点式得到M点的坐标，然后利用待定系数法确定直线MC的解析式；
（3）连结PC，如图，易得PC=5，PM=，利用两点间的距离公式计算出MC=，则根据勾股定理的逆定理可证明△PCM为直角三角形，∠PCM=90°，即PC⊥MC，则根据切线的判定定理可得直线MC与⊙P相切；
（4）连接AC、AG，求得BC的解析式，解方程组求得点G点坐标，同（3）根据勾股定理的逆定理可证明△ACG为直角三角形，∠AGC=90°，从而证明AG⊥MC．
【详解】（1）连结AC、BC，如图，
∵A（－8，0）、B（2，0），
∴OA=8，OB=2，
∵AB为⊙P的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
而∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠BAC=∠BCO，
∴Rt△ACO∽Rt△CBO，
∴OC：OB=OA：OC，即OC：2=8：OC，
∴OC=4，
∴C点坐标为（0，-4），
设抛物线的解析式为，
把C（0，-4）代入求得，
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
∴顶点M点坐标为(，)，
设直线MC的解析式为，
把M (，)代入得：，
解得：，
∴直线MC的解析式为；
（3）直线MC与⊙P相切．理由如下：
连结PC，如图，
∵AB为⊙P的直径，AB=10，
∴PC=5，
∵PM=，MC=，
而，
∴，
∴△PCM为直角三角形，∠PCM=90°，
∴PC⊥MC，
∴直线MC与⊙P相切；
（3）如图，连接AC、AG，
同理，利用待定系数法求得BC的解析式为，
解方程组，得：，
∴点G点坐标为(，)，
，
，
，
∴，
∴△ACG为直角三角形，∠AGC=90°，
∴AG⊥MC．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定定理和相似三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质，利用待定系数法确定函数解析式，利用勾股定理的逆定理证明垂直，理解坐标与图形的性质．
47．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若AB=10，ED2CE，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6
【分析】（1）连接OD，先证明OD∥BE，可得∠ODE=90°，即可证DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥BE于M，可证四边形ODEM是矩形，可得DE=OM，OD=EM，由勾股定理可求CE的长，即可求BC的长．
【详解】解：（1）连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）过点作于．
∵，，，
∴．
∴四边形是矩形．
∴，．
∵，
∴．
设，则．
∴．
∵，
∴．
在中，．
解得，（舍去），．
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，矩形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
48．如图，在中，四边形为圆内接四边形，过作交延长线于，．
AI
(1)求证：为切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）本题考查圆内接四边形性质和切线的判定，因为点在圆上，利用“连半径，证垂直”即可解题．
（2）本题连接，延长线与延长线交于点，利用圆周角定理，得到，结合（1）中结论，证明，利用全等的性质，得到，再利用等腰三角形性质与判定，得出的长，即可解题．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
为切线，
（2）解：连接， 延长线与延长线交于点，如图所示：
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以圆的半径为5．
【点睛】本题考查圆内接四边形性质、切线的判定、圆周角定理、全等三角形的性质和判定和等腰三角形性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形和等腰三角形，即可解题．
49．如图，已知的直径为，于点，与相交于点，在上取一点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）填空：
①当，时，则___________．
②连接，当的度数为________时，四边形为正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）①10；②
【分析】（1）连接OD，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）①利用等腰三角形的性质证明E是AC中点，再利用中位线定理得到，再用勾股定理求出OE，从而得到BC；
②添加条件，先通过四个边相等的四边形是菱形，证明四边形AODE是菱形，再加上一个直角就是正方形了．
【详解】解：（1）证明：如图，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，OD是半径，
∴DE是的切线；
（2）①证明：∵，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即E是AC中点，
∵O是AB中点，
∴，
在中，，
∴BC=2OE=10，
故答案是：10；
②当时，四边形AODE为正方形，
证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
由（2）得AO=AE，
∵AO=DO=AE=DE，
∴四边形AODE是菱形，
∵，
∴四边形AODE是正方形，
故答案是：．
【点睛】本题考查切线的证明，三角形中位线定理，正方形的证明，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理并结合题目条件进行证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
微专题02 切线的证明与相关计算通关专练
一、单选题
1．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为，如果以的速度沿由向的方向移动，点与直线相切时，的值为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．6或10
2．如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．7 C． D．12
4．如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，若＝80°，＝60°，则∠ADC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
5．如图，⊙O的直径为6，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，切于点A，交于点B，，，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．5
7．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠C=40°，则∠ABO的度数是（ ）
A．50° B．40° C．25° D．20度
9．如图，是的内切圆，点、分别为，上的点，且为的切线，若的周长为，边的长为．则的周长为（ ）
A．15 B．7.5 C．10 D．9
10．如图，经过圆心交于点，与相切于点．若，，则与之间的函数关系图象是 （ ）
A． B．
C． D．
11．如图，内接于，过点A作的切线交的延长线于点D．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，为的切线，为切点，点在上，如果，那么为（ ）
A． B．
C． D．
13．如图所示，是的外接圆，为的直径，过点作的切线，交的延长线于点D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点P为⊙O外一点，连结OP交⊙O于点Q，且PQ=OQ，经过点P的直线l1，l2，都与⊙O相交，则l1与l2所成的锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．0°＜α＜45° C．0°＜α＜60° D．0°＜α＜90°
15．如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ）
A．20° B．35° C．70° D．110°
16．如图所示，在△DEF中，EF＝10，DF＝6，DE＝8，以EF的中点O为圆心，作半圆与DE相切，点A、B分别是半圆和边DF上的动点，连接AB，则AB的最大值与最小值的和是（ ）
A．6 B．2+1 C． D．9
17．如图，中，，过点A作的平行线交过点C的圆的切线于点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．4
19．如图，已知的直径AB的延长线与过C点的切线PC交于点P，若为20°，则直径与弦AC的夹角等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
20．如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于点 C，∠ECB=35°， 则∠D 的度数是（ ）
A．145° B．125° C．90° D．80°
二、填空题
21．如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ．
22．已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为 .
23．如图，将一张半径为2的半圆形纸片沿它的一条弦折叠，使得弧与直径相切，若切点分直径为3：1两部分，则折痕长为 ．
24．如图，、为的切线，和是切点，延长到点，使，连接，若，则 度．
25．如图，在中，，，为的中点，以点为圆心的分别与，相切于，两点，则阴影部分的面积为 ．
26．小明用一把角尺和一块边长为3的正方形小木块测量并计算圆的半径，如图，小木块（正方形）两边紧靠在角尺的两边，顶点C紧靠上，角尺的较长边与相切于点E．量得，则的半径等于 ．
27．如图所示，四边形是矩形，以为直径作半圆与相切于点E，再以点A为圆心，线段长为半径作弧，与交于点E．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
28．如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则AD的长为 ．
29．如图，中，，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D．若，则的度数是 ．
30．如图，等边的边长为4，的半径为2，P为上动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为 ．
31．如图，⊙O与四边形ABCD各边都相切．若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD长为 ．
32．如图，AB是⊙O的直径，BC是切线，AC交⊙O于D，在AB上取AE＝AD，DE的延长线交⊙O于F．若∠C＝50°，则∠F的度数是 ．
33．两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC= cm．
34．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，AB＝12，则圆环的面积为 ．
35．如图，有一直角三角形的铁皮ABC， AC＝3，BC＝4，若利用此三角形铁皮剪出一圆形铁片，则剪出圆形铁片面积的最大值是 ．
三、解答题
36．如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
37．如图，AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．
38．如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
39．已知：为的直径，点为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为交于点．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，若，求的半径．
40．如图，为的直径，为的弦，，，的平分线交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)求四边形的面积．
41．如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
42．如图，已知过菱形的三个顶点A，B，D，连接，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
43．如图，的直径，为延长线上一点，与相切于点，过点作弦，连接．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，求四边形的面积．
44．如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
(1)若的周长为12，求的长；
(2)若，求的度数．
45．如图，的直径为，弦为，、分别是的平分线与，的交点，为延长线上一点，且．
求、的长；
试判断直线与的位置关系，并说明理由．
46．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且A（－8，0）、B（2，0），以AB的中点P为圆心、AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设M点为（1）中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式；
（3）判定（2）中直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由；
（4）过坐标原点O作直线BC的平行线OG，与②中的直线MC相交于点G，连接AG，求点G的坐标，并证明AG⊥MC．
47．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若AB=10，ED2CE，求BC的长．
48．如图，在中，四边形为圆内接四边形，过作交延长线于，．
AI
(1)求证：为切线；
(2)若，，求的半径长．
49．如图，已知的直径为，于点，与相交于点，在上取一点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）填空：
①当，时，则___________．
②连接，当的度数为________时，四边形为正方形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
