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微专题03 圆与几何综合通关专练
一、单选题
1．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，在半圆中，是半圆的直径，，，连接，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．7 D．8
4．如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，，，则（ ）
A．60° B．72° C．75° D．78°
7．如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）
A．3 B． C．4 D．
8．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
二、填空题
9．如图，以为直径的的圆心到直线的距离，的半径,，直线不垂直于直线，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为点、，则四边形的面积的最大值为 .
10．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
11．如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=25，AB=14，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 .
12．如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与， 分别相交于点，，则线段长度的最小值是 ．
13．如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 ．
14．如图，C为圆O上一动点（不与点B重合），点T为圆O上一动点，且∠BOT＝60°，将BC绕点B顺时针旋转90°得到BD，连接TD，当TD最大时，∠BDT的度数为 ．
15．如图，四边形APBC内接于⊙O，∠APB＝120°，PC平分∠APB，若PB＝3，PA＋PC＝7，则PC＝ ．
16．如图，正方形的边长为8，为中点，为边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作．当与边相切时，的长为 ．
三、解答题
17．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
18．如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若点为的中点，的半径为，求的长．
19．如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的外接圆的半径．
20．如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
21．综合探究
如1图、2图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长至点D，使得，过点D作于点E，连接．
(1)如1图，当点E与点O重合时，求证：是等边三角形；
(2)如2图，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，求证：．
(3)当时，求的长．
22．如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
23．如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：
(3)若，，求的半径．
24．如图，是等边三角形的外接圆，点为劣弧上一点，连接，过点作的平行线交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：是的切线．
25．如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．
(1)求证：；
(2)当点A到弦的距离为1时，求的值．
26．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
27．如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
28．如图，是的外接圆，是的直径，C是延长线上一点，在上，连接，若．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
29．如图，内接于是⊙O的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点，，的延长线交于交于点，.
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
30．如图，是的外接圆，的半径为，，，直径与交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
31．如图，在中，为的外接圆，点为优弧的中点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
32．如图，在中， ，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
33．如图，点是的内心，的延长线交边于点，交外接圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
34．如图，四边形中，．以O为圆心，以为半径作．
(1)求证：是的切线；
(2)连接形延长交于点D，延长交于点E，与的延长线交于点F，
①补全图形；
②若，求证：．
35．如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径和的长．
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微专题03 圆与几何综合通关专练
一、单选题
1．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】取中点，连接、，，根据等腰三角形的性质可得，根据圆周角定理可知点在以为直径的圆上，取中点，以为圆心，为直径作，连接，交于，可得即为的最小值，利用勾股定理可求出 的长，根据直角三角形斜边中线的性质可得，可求出 ，利用勾股定理即可求出的长，进而可得的长，可得答案.
【详解】取中点，连接、，，
∵ ，为中点，
∴
∴点在以为直径的圆上，
取中点，以为圆心，为直径作，连接，交于，
∴即为的最小值，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴ ，，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
故选C.
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，根据圆周角定理确定点M的运动轨迹是解题关键.
2．如图，在半圆中，是半圆的直径，，，连接，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可计算出，的长度，根据勾股定理可计算出的长度，即可算出以为直径半圆的面积，扇形的面积，的面积，即可算出则弓形的面积，则阴影部分的面积为，代入计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意，是半圆的直径，，，
∴为半径，，
在中，，
以为直径半圆的面积，
扇形的面积，
的面积，
∴弓形的面积，
∴则阴影部分的面积为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，分析题目中阴影部分的面积，应运用几何图形的面积和与差的关系进行求解是解决本题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．7 D．8
【答案】A
【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP=2，则AB的最小长度为4．
【详解】解：如图，连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，
∵C（3，4），
∴OC==5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP=OC﹣3=2，
∴OP=OA=OB=2，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴AB长度的最小值为4，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆切线的性质、坐标和图形的性质、圆周角定理、勾股定理，找到OP的最小值是解题的关键.
4．如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DA＝R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.
【详解】连结BE，
∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，
∴点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，，
∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，
∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，
∵，
∴AD=BD，
如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在CD的延长线上，作DF＝DA，
则∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴点D为弓形AB所在圆的圆心，
设⊙O的半径为R，
则点C的运动路径长为：，
DA＝R，
点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，
C、E两点的运动路径长比为：，
故选A.
【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OD，OH⊥AC于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，则四边形ODCH为矩形，由矩形的性质得出OH=CD=，则OA=OH=，接着计算出∠BOD=45°，BD=OD=，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积=S△OBD S扇形DOE进行计算．
【详解】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH=CD=，
在Rt△OAH中，∠OAH=45°，
∴OA=OH=，
在Rt△OBD中，
∵∠B=45°，
∴∠BOD=45°，BD=OD=，
∴图中阴影部分面积=S△OBD S扇形DOE= =3-．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．
6．如图，的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，，，则（ ）
A．60° B．72° C．75° D．78°
【答案】B
【分析】根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
【详解】解：∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠E=∠EOD=12°，
在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=24°，
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠ODC=24°．
∴∠AOC=∠E+∠ECO=12°+24°=36°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=，
故选择：B.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的外角和定理，熟练掌握三角形外角定理是关键．
7．如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据题意可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，进而证明，最后即可求出长的最大值.
【详解】解：如图，可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，证明如下：
连接BP,
∵,
∴BD=DC,
∵是的中点，
∴DE//BP, ,
所以当BP的长最大时，长的最大，
由题意可知P在BA延长线与的交点时BP的长最大此时长的最大，
∵BC=6,AD=4,
∴BD=DC=3,BA=5,
∵的半径为2，即AP=2,
∴BP=5+2=7,
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的动点问题，熟练掌握圆的性质并利用中位线性质得出是解题的关键.
8．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
【答案】B
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BD＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断和所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是可得到BC的长．
【详解】解：如图，连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△OBD中，OD＝，
∵将沿BC折叠，
∴和所在的圆为等圆，
∴，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∵DE＝OD＝1，
∴四边形ODEF是正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OCF中，CF＝，
∴CE＝CF＋EF＝2＋1＝3，
而BE＝BD＋DE＝2＋1＝3，
∴BC＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理及正方形的判定和性质等．
二、填空题
9．如图，以为直径的的圆心到直线的距离，的半径,，直线不垂直于直线，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为点、，则四边形的面积的最大值为 .
【答案】12
【分析】先判断OE为直角梯形ADCB的中位线，则OE＝（AD＋BC），所以S四边形ABCD＝OE CD＝3CD，只有当CD＝AB＝4时，CD最大，从而得到S四边形ABCD最大值．
【详解】解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，
而OA＝OB，
∴OE为直角梯形ADCB的中位线，
∴OE＝（AD＋BC），
∴S四边形ABCD＝（AD＋BC） CD＝OE CD＝3CD，
当CD＝AB＝4时，CD最大，S四边形ABCD最大，最大值为12．
故答案为：12
【点睛】本题考查了梯形的中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
10．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
【答案】a．
【分析】作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，H为的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE=FG=a，根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE=a，即可得到EF=a．
【详解】如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，同理可得，H为的圆心，
连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，
设GE=GD=x，则CG=2a-x，CE=a，
Rt△CEG中，（2a-x）2+a2=x2，
解得x=a，
∴GE=FG=a，
同理可得，EH=FH=a，
∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，
∴GO=BC=a，
∴Rt△OEG中，OE=，
∴EF=a，
故答案为a．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
11．如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=25，AB=14，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 .
【答案】17
【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，如图，根据等腰三角形的性质得AH=BH=AB=7，再利用勾股定理计算出CH=24，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得OH=AB=7，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH-OH（当点C、O、H共线时取等号），从而得到OC的最小值．
【详解】作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵AC=BC=25,
∴AH=BH=AB=7，
在Rt△BCH中,CH===24，
∵OC≥CH OH(当点C. O、H共线时取等号)，
∴当O,C,H共线时，OH=BH=7，
∴OC的最小值为24 7=17.
故答案为17.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系与圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握点与圆的位置关系与圆周角定理.
12．如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与， 分别相交于点，，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】设圆心为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则有；由勾股定理的逆定理知，是直角三角形，直径，由线段最短知，即，只有当点F在CD上，且CD是直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，有最小值为CD的长，由直角三角形的面积公式知，此时．
【详解】解：设圆心为F，与的切点为，
，，，
是的直径，
连接，连接，，
∵点、在上，是的直径
，
又∵
∴，
∵与切于点，
∴；
∴当点是的斜边的高的中点时，三点共线，且为的斜边的高，此时的直径等于
又∵，
∴能取到最小值4.8.
故答案为:
【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，线段最短，直角三角形的面积公式求解．作辅助线转化问题是关键.
13．如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 ．
【答案】6
【分析】当点P与点A重合时，作MF⊥x轴，CH⊥x轴交AB于E，作BG⊥CH于G，连接ME，取MC的中点D以CD为半径作圆，连接DE、DA，先求出点E坐标为（-1,2），证明△AMF≌△CAH，得到点M（-7,2），当点P与点B重合时，点M与点E重合，即可得到答案.
【详解】如图，当点P与点A重合时，作MF⊥x轴，CH⊥x轴交AB于E，作BG⊥CH于G，连接ME，取MC的中点D以CD为半径作圆，连接DE、DA，
∵，，
∴M、A、E、C四点共圆，
∵，，
∴，∠ABO=45°，
∴∠ABG=45°
∵，
∴BG=CG=1，
∴EG=BG=1，
∴点E坐标为（-1,2）
∵，
∴∠MAF+CAH=90°，
∵∠MAF+∠AMF=90°，
∴∠AMF=∠CAH,
∵，
∴△AMF≌△CAH，
∴MF=AH=2，AM=CH=4，
∴点M的坐标为（-7,2），
当点P与点B重合时，点M与点E重合，此时的坐标为（-1,2），
∴当点从点运动到点时，则点运动的路径长为线段ME的长，ME=-1-（-7）=6，
故答案为：6.
【点睛】此题考查直角坐标系中点的坐标特点，利用点坐标表示线段长度，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，直角坐标系中动点问题.
14．如图，C为圆O上一动点（不与点B重合），点T为圆O上一动点，且∠BOT＝60°，将BC绕点B顺时针旋转90°得到BD，连接TD，当TD最大时，∠BDT的度数为 ．
【答案】7.5°
【分析】作与圆O半径相等的圆E，圆E与圆O的直径AB相切与点B，连接TE并延长交圆E于点D，连接BD，作BC⊥BD，交圆O于点C，则BE⊥AB，在圆E上取一点F，连接TF、EF，则TE+EF＞TF，由DE＝EF，得出TD＞TF，此时TD最大，易证△OBT是等边三角形，得出∠OBT＝60°，BT＝OB＝BE，求出∠EBT＝90°+60°＝150°，∠BET＝（180°﹣150°）＝15°，∠EDB＝∠BET＝7.5°，即可得出结果．
【详解】解：作与圆O半径相等的圆E，圆E与圆O的直径AB相切与点B，连接TE并延长交圆E于点D，连接BD，作BC⊥BD，交圆O于点C，如图所示：
则BE⊥AB，
在圆E上取一点F，连接TF、EF，则TE+EF＞TF，
∵DE＝EF，
∴TD＞TF，
∴此时TD最大，
∵OB＝OT，∠BOT＝60°，
∴△OBT是等边三角形，
∴∠OBT＝60°，BT＝OB＝BE，
∴∠BET＝∠BTE，
∵BE⊥AB，
∴∠EBT＝90°+60°＝150°，
∴∠BET＝（180°﹣150°）＝15°，
∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠EDB＝∠BET＝×15°＝7.5°，
即∠BDT的度数为7.5°，
故答案为：7.5°．
【点睛】本题主要考查圆上的动点问题，掌握等腰三角形的性质及等边三角形的判定及性质是解题的关键.
15．如图，四边形APBC内接于⊙O，∠APB＝120°，PC平分∠APB，若PB＝3，PA＋PC＝7，则PC＝ ．
【答案】5
【分析】过点作交于点，延长 ，过点作交延长线于点，根据 平分，，可证得 是等边三角形，则有，根据，，可得 ，得到，设 ，，得到， ，根据，得到，利用 ，得到，，求解即可得到 ．
【详解】解：如图示：过点作交于点，延长 ，过点作交延长线于点，
∵平分，，
∴，
∴
∴是等边三角形
∴
∵，，
∴，，
∴ ，
∴，
设，，
则，
∵，，
∴，即：，
化简得：，
∵
∴，
∴，即：，
化简得：，
即有，解之得：，
即：，
故答案是：5．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角的性质、解含30度角的直角三角形，解二元一次方程等知识点，熟悉下相关性质是解题的关键．
16．如图，正方形的边长为8，为中点，为边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作．当与边相切时，的长为 ．
【答案】
【分析】设与边相切时于G点，连接FG，与边相切，四边形ABCD是正方形，可得EF=AB=8，因为为中点，得EB=4，在Rt△BEF中，利用勾股定理即可求出BF，进而求出CF.
【详解】设与边相切时于G点，连接FG
是以点为圆心，长为半径的圆
∵与边相切，四边形ABCD是正方形
∴EF=AB=8
∵为中点
∴EB=4
在Rt△BEF中，
CF=BC-BF=8-
故答案为：8-
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形中利用勾股定理求边长．
三、解答题
17．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为2
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
（1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论；
（2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为2．
18．如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若点为的中点，的半径为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）连接，则，得到，结合平分可推出，根据平行线的性质并结合，交的延长线于点，即可证明；
（2）连接，则，由圆周角定理和角平分线的定义可推出是等边三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，交AE的延长线于点，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，则，
由（1）知，
，
，
点为的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
由（1）知是的切线，
，
，
，
，
．
19．如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的外接圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)cm
【分析】本题考查圆的综合知识．
（1）由平分，得，可得，由平分，得，进而推得即可；
（2）先证明，得是等腰直角三角形，得到即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴是的直径，
连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴，
∴的外接圆的半径为．
20．如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键．
（1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可；
（2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
21．综合探究
如1图、2图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长至点D，使得，过点D作于点E，连接．
(1)如1图，当点E与点O重合时，求证：是等边三角形；
(2)如2图，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，求证：．
(3)当时，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)BC的长为或
【分析】（1）证明，再证明，得到．即可得到结论；
（2）先证明是的中位线，得到，由与半圆O相切，得到，即可得到结论；
（3）分点E在上和点E在上两种情况，利用勾股定理分别进行求解即可．
【详解】（1）证明： 是半圆O的直径，
．
又，
垂直平分，
．
点E与点O重合，
．
∵，
．
．
∴是等边三角形；
（2）证明：点C是的中点，点O是的中点，
是的中位线，
∴
又 与半圆O相切，
．
（3）解：，
．
①如图，当点E在上时，，．
，，
∴在和中，由勾股定理得，
即，
解得．
．
②如图，当点E在上时，同理可得，
解得．
．
综上所述，的长为或．
【点睛】此题考查了切线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，分类讨论是解题的关键．
22．如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解题的关键．
（1）连接，则，由，可得，再根据可得，可推出，即可证明；
（2）由，，可得，设半径为，在中，由勾股定理列方程，即可求解．
【详解】（1）（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2） ，，
利用勾股定理求得，
，
设半径为，
在中，由勾股定理得：，
即
解得：，
的半径为．
23．如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的半径为
【分析】（1）首先由平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，进而可证明结论；
（2）过点作于点，由垂径定理可得，再根据垂直的定义可得，然后利用平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（3）由（2）知，，可得，在中，利用勾股定理即可求解
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
平分；
（2）如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）由（2）知，，
，
，
，
，，
的半径为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识的综合运用，作出辅助线是解决本题的关键．
24．如图，是等边三角形的外接圆，点为劣弧上一点，连接，过点作的平行线交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：是的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、三角形外接圆的性质、切线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，从而得出，再由圆周角定理得出，即可得证；
（2）连接，延长交于，由是等边三角形的外接圆，得出，由平行线的性质得出，即可得证．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，连接，延长交于，
是等边三角形的外接圆，
是三角形三边的垂直平分线的交点，
垂直平分，
，
，
，
为半径，
是的切线．
25．如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．
(1)求证：；
(2)当点A到弦的距离为1时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据点A为的中点，与相切，证明，得到，由，得到，证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由，得到，在中， ，求出，进而求出，根据四边形为平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点M，
∵点A为的中点，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵点A到弦的距离为1，即，
在中， ，
∴，
∴|，
，
由（1）可知四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了圆与四边形综合，切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键．
26．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质结合圆周角的性质得到，进而得到，推出，即可证明结论；
（2）设的半径为r，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线
是的直径
，
，
；
（2）解：设的半径为r，
在中，
，
解得
的半径为2．
【点睛】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，圆周角定理以及勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
27．如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
（1）由圆周角定理得出，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出答案；
（2）过点O作于点G，由垂径定理可得，利用，可求半径为2，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
．
．
是的中点，
．
．
，
．
，
．
，即．
是的切线；
（2）解：如图，过点O作于点G．
由垂径定理，得．
设，则，．
，
，
整理，得，即．
，
．
，即的半径为2．
．
28．如图，是的外接圆，是的直径，C是延长线上一点，在上，连接，若．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）连接，利用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及直径所对的圆周角是直角即可得到与垂直，即是的切线；
（2）设交于点H，由，得到，根据垂径定理，设，则．利用勾股定理求出，从而利用勾股定理求得的长．
【详解】（1）解：证明：如图1，连接．
是的直径，
，
．
，
．
，，
，
，
为的切线．
（2）解：如图2，设交于点H．
，
，
，．
，
．
设，则．
，，
，
，
解得，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合，考查了切线的判定，，圆周角的有关性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用勾股定理建立方程是解题的关键．
29．如图，内接于是⊙O的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点，，的延长线交于交于点，.
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)的半径为2
【分析】本题考查的是圆的综合题
（1）由切线的性质可得，由，可证，可得；
（2）由是的直径，可知，又因为，可知，为等边三角形，即可求出答案.
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵ ，
∴；
（2）解：∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
即的半径为2.
30．如图，是的外接圆，的半径为，，，直径与交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，正确地作出辅助线是解此题的关键．
（1）连接，则，根据圆周角定理得出，求得，得到；
（2）根据直角三角形的性质得到，，连接，根据圆周角定理得到，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
则，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
连接，
，
∵是的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
31．如图，在中，为的外接圆，点为优弧的中点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了圆周角定理，中位线性质，勾股定理，平行线的性质，垂直平分线的判定和性质，等，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）连接并延长交于点，连接，根据圆周角定理，等弧所对的弦相等，进而判断为的垂直平分线，再根据平行线的性质即可证明；
（2）设的半径为，根据中位线性质可得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，
为的外接圆，，
∴为的直径，，
点为优弧的中点，
，
为的垂直平分线．
，
，
是圆的半径，
是的切线．
（2）解：设的半径为，
由（1）知为的中位线，
．
在中，，
在中，，
，
，
解得，或（舍去），故的半径为3．
32．如图，在中， ，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，得，即可得，故，而，有，即知为的切线；
（2）连接，证，，故是的中线，可得，，即得，即可求出半径．
【详解】（1）证明：连接，，
是的直径，
，
，
点D是的中点，
点O是的中点，
是的中位线，
，
．
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径是．
【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及圆的切线的判定，圆内接四边形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，根据题意作辅助线，构造直角三角形求解是解答此题的关键．
33．如图，点是的内心，的延长线交边于点，交外接圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点．
（1）连接，根据内心的性质得出，，进而推出，根据三角形的外角定理得出，，则，即可求证；
（2）先求出，通过证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：．
34．如图，四边形中，．以O为圆心，以为半径作．
(1)求证：是的切线；
(2)连接形延长交于点D，延长交于点E，与的延长线交于点F，
①补全图形；
②若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①补全图形见解析；②见解析
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）连接，由“”可证，可得，由切线的判定可得结论；
（2）①依照题意画出图形，如图所示；②由全等三角形的性质可得，由在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得，由外角的性质和直角三角形的性质可得，可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，，，
∴，
∴，
是的半径，
又∵，
∴是的切线；
（2）①解：依照题意画出图形，如图所示，
②证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
35．如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径和的长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为3，的长为
【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，
（1）连接，根据是半径，是的切线得，，
即，根据于F得，则，根据得，即可得；
（2）在中，设，则，，由勾股定理可得，即，解得，则，，根据于F，得，，可得，在中，，，由勾股定理得，即可得，根据平分，，得；
掌握切线的性质，等边对等角，勾股定理，角平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是半径，是的切线，
∴，
∴，
即∴，
∵于F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，设，
∴，，
由勾股定理可得：，
即，
得，
∴，，
∵于F，
∴，
，
∴，
在中，，，由勾股定理得：
，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴的半径为3，的长为．
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