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微专题04 圆的相关计算通关专练
一、单选题
1．如图，圆锥的轴截面是一个斜边为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：∵圆锥的轴截面是一个斜边为1的等腰直角三角形，
∴底面半径=，母线长为，底面周长=π，
∴圆锥的侧面积=，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是牢记有关公式．
2．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连结AD，由题意易得△ABC的面积，∠A=80°，然后根据扇形面积公式及割补法可求解．
【详解】解：连结AD，则AD⊥BC，如图所示：
∴△ABC的面积是：BC AD=×4×2=4，
∵∠EPF=40°，
∴∠A=2∠EPF=80°．
则扇形EAF的面积是：，
故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=．
故选B．
【点睛】本题主要考查扇形面积公式及切线的性质，熟练掌握扇形面积公式及切线的性质是解题的关键．
3．用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的底面周长是（ ）
A．2π cm B．3π cm C．4π cm D．5π cm
【答案】C
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个扇形,扇形的半径为圆锥的母线,扇形的弧长为圆锥底面圆的周长,根据关系可推到出公式:（其中r表示圆锥底面圆半径,l表示圆锥的母线长）,根据题意代入公式即可求解底面半径,然后根据圆的周长公式求解即可.
【详解】根据圆锥展开侧面是一个扇形,利用圆锥底面圆周长等于展开侧面弧长公式可得:
,
,
r=2,
C= 4π,
【点睛】本题主要考查圆锥母线,半径,底面圆周长与圆锥展开侧面扇形的关系,解决本题的关键是要熟练掌握圆锥和展开扇形之间的关系.
4．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若，，则长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求解即可.
【详解】，，
，
，
，
，
的长为：．
故选B．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用以及圆周角定理，正确得出的度数是解题的关键．
5．如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的内对角互补解题．
【详解】四边形内接于，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．如图，从一块直径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）m
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由∠BAC=90°可知BC为直径，进而得到△ABC为等腰直角三角形，进而求出AB的长，再由弧长公式即可求解．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴BC是圆的直径，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=，
∴围成的圆锥的底面周长为：，
设围成的圆锥的底面圆半径为，
则有，解得，
故围成的圆锥的底面圆半径为，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长的计算公式，圆锥的底面展开图等知识点，熟练掌握弧长的计算公式是解决本题的关键．
7．如图，在中，，，，若A为圆心，为半径的弧交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的两锐角互余可求出∠A的度数，从而代入弧长公式：，即可得出弧CD的长度．
【详解】∵∠ACB=90°,∠B=30°
∴∠A=60°
∴弧CD的长为：
故选B.
【点睛】本题考查弧长的计算，求出∠A的度数是本题解题的突破口.
8．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．π
【答案】A
【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
【详解】解：连接OC、OB
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COB＝＝60°，
∵OA=OB
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
弧BC的长为: ．
故选：A．
【点睛】此题考查了扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．
9．如图，中，，，，点O，H分别为边AB，AC的中点，将绕点B顺时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图知阴影部分的面积是扇形BH1H和扇形BO1O的面积差，已知了两个扇形的圆心角的度数都是120°，关键是求出两个扇形的半径；OB的长为△ABC斜边的一半，易求得；而BH的长，可在Rt△CHB中根据勾股定理求得，由此得解．
【详解】解：如图，根据旋转的性质知△OBH≌△O1BH1，
Rt△ABC中，∠A=30°，BC=；
∴AB=，
∴AC==3，
∴BO=，CH=，
Rt△BHC中，由勾股定理，得：
BH2=CH2+BC2==，
∴阴影部分面积=扇形BH1H的面积-扇形BOO1的面积，
=
=
=
故选B．
【点睛】此题主要考查的是扇形面积的计算方法，能够正确的求出两个扇形的半径是解答此题的关键．
10．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为．若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得扇形乙的圆心角，再根据扇形的面积公式：进行计算即可．
【详解】解：∵甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数之比为，
∴扇形乙的圆心角，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式：（n为圆心角的度数，r为半径）．
11．圆锥的底面半径r为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握计算公式是关键．
12．某同学用一根长为（12+4π）cm的铁丝，首尾相接围成如图的扇形（不考虑接缝），已知扇形半径OA＝6cm，则扇形的面积是（ ）
A．12πcm2 B．18πcm2 C．24πcm2 D．36πcm2
【答案】A
【分析】首先根据铁丝长和扇形的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的圆心角，然后代入扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵铁丝长为（12+4π）cm，半径OA＝6cm，
∴弧长为4πcm，
∴扇形的圆心角为：＝120°，
∴扇形的面积为：＝12πcm2，
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，解题的关键是了解扇形的面积公式及弧长公式，难度不大．
13．如图，中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H，首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法求出BD的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据30°角直角三角形的性质求出OH的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H
∵，，
∴在中，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆
∴是圆的直径，
∴
∴，即
解得：
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∵OH⊥CD
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了30°角直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
14．如图，矩形中，，，以为圆心，长为半径画圆弧，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，利用，得出，从而得出的度数，代入弧长公式计算即可求出的长度．
【详解】解：∵以为圆心，长为半径画圆弧，交于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴由勾股定理得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度为：，
故选：．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，解得本题的关键是求出的度数，要求我们熟练掌握弧长的计算公式及解直角三角形的知识．
15．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
【答案】C
【分析】连接、，先求出正五边形的中心角，再根据圆周角知识即可求出．
【详解】解：连接，如图，
∵正五边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理等知识，熟知相关知识，求出正五边形的中心角是解题关键．
二、填空题
16．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的弧长公式即可得到结论．
【详解】解：正六边形的边长为2，
，，
，
，
过作于，
，，
在中，，
，
同理可证，，
，
的长度为
故答案为：．
17．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，格点A，B，C均在上，点E是上一点，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查弧长的计算，圆周角定理，勾股定理，关键是证明是直径，由圆周角定理求出的度数，连接，作的中点O，连接，先证明为的直径，，可得，再求出半径，最后根据弧长公式求解即可，
【详解】解：如图，连接，作的中点O，连接，
由格点图可得：
为的直径，，
，
，
的长为，
故答案为：
18．小明用长为铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，为圆心．
（1）若，A为的中点，则长为 ；
（2）若使得模型的面积最大，则的值为
【答案】 /
【分析】本题为二次函数应用题，主要考查扇形的周长和面积的计算，正确记忆公式是解题关键．
由，即可求解；
每个扇环的圆心角为，面积为，由，即可求解．
【详解】解：（1）设每个扇环的周长为，则，设，
则，
解得：，
故答案为：；
（2）每个扇环的圆心角为，面积为，设每个扇环的周长为，则，设，，
根据题意得：，
则，
，所以抛物线开口向下，
式中，
时，S取值最大，即，
故答案为：．
19．如图，点A、B、C在半径为1的上，，则的长等于 ．
【答案】/
【分析】根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：，
，
的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是弧长计算、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
20．如图，是的直径，切于点，线段交于点．若，，则弧的长为 ．
【答案】
【分析】求得半径和圆心角的度数，即可求得弧的长．
【详解】解：∵切于点
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴弧的长
故答案为．
【点睛】此题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
21．如图，是的内切圆，切点分别是，，，连接，，，的半径为，，则弦所对的弧长为 ．
【答案】或
【分析】连接OD、OE、OF，先分别说明AO、OC是∠BAC、∠BCA的平分线，在运用三角形内角和定理可得∠BAC和∠BCA的和，进而求得∠B，然后再求∠DOE,最后分弦所对的弧为优弧和劣弧两种情况解答即可．
【详解】解：连接OD、OE、OF，
∵是的内切圆
∴OD⊥AB，OF⊥AC,OE⊥AC，OD=OE=OF
∴AO、OC是∠BAC、∠BCA的平分线，即∠BAC=2∠OAC, ∠BCA=2∠OCA
∵
∴∠OAC+∠OCA=180°-∠AOC=65°
∴∠BAC+ ∠BCA =2（∠OAC +∠OCA）=130°
∴∠B=180°-∠BAC+ ∠BCA=50°
∴OD⊥AB，OE⊥BC,
∴∠DOE=360°-90°-90°-50°=130°
∴当弦所对的弧为优弧时，弧长为
当弦所对的弧为劣弧时，弧长为．
故答案为或．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质、角平分线的判定与性质、多边形内角和定理以及弧长公式，对弧长分优弧和劣弧两种情况求解是解答本题的关键．
22．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．（结果保留）
【答案】
【分析】直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解：圆锥侧面积为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算；熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
23．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形无底彩色纸帽，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为30cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 cm2．（结果保留π）
【答案】240π
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求出即可．
【详解】解：底面半径为8cm，
则底面周长=16π，
侧面面积=×16π×30=240πcm2．
故答案为：240π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式，熟练记忆圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．
24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝12，BC＝6，以AB为直径的圆与以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】9－3/－3+9
【分析】如图，分别取AB、BC的中点M、O，连接MD、BD、OD，阴影部分的面积等于S半圆BOC－（S扇形BMD －S△MBD）－（S扇形BOD －S△OBD），求出各部分面积即可得到答案．
【详解】如图，分别取AB、BC的中点M、O，连接MD、BD、OD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝12，BC＝6，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2
∴AB2 =AC2－BC2=108
∴AB==6
∵BC=AC
∴∠A=30°
∴ ∠C=90°－∠A=60°
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是直角三角形
∴∠MBD=90°－∠A=60°
∵M是AB的中点
∴MD=MB=AB=3
∴△MBD是等边三角形
∴ BD=MD=MB=3
∴S扇形BMD －S△MBD
= MBMD×sin60°
= －
∵∠C=60°，OC=OD=3
∴△COD是等边三角形
∴∠COD=60°
∴∠BOD=180°－∠COD=120°
∵BC是直径
∴∠BDC=90°
S△BOD= S△BDC－ S△ODC
=BDDC－ ODOCsin∠DOC
= －
=
∴S扇形BOD －S△OBD
=
=3－
∴阴影部分的面积S
= S半圆BOC－（S扇形BMD －S△MBD）－（S扇形BOD －S△OBD）
= ×－ ( －)－(3－ )
=9－3
故答案为：9－3
【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，把不规则的图形面积转化为规则图形面积的和或者差是解决此类问题的关键．
25．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等，（如图②），小华用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 平方米．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，平行线的性质，勾股定理，扇形面积，三角形面积，熟练掌握相关性质定理，正确计算弓形的面积，是解答本题的关键．
设圆心为，连接，过点作于点，根据题意，求出，，从而得到，利用，由此求出答案．
【详解】解：根据题意，圆形桌面如图所示，
设圆心为，连接，过点作于点，
则，
是⊙的直径，
，，
，
和平行且相等，
，
（米），
，
，
，
，
，
，
，
，
桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（平方米），
故答案为：．
三、解答题
26．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留）
【答案】扇形的弧长为：；扇形的面积为：
【分析】直接利用扇形的弧长公式和扇形的面积求解即可．
【详解】解：由题意得，扇形的弧长为：．
扇形的面积为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式和扇形的面积公式．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．
【答案】⊙O的半径长为2．
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得△AOC是等腰直角三角形，AC＝4，易得OA.
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠D＝90°，
∵OA＝OC，且AC＝4，
∴OA＝OC＝AC＝2，
即⊙O的半径长为2．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题关键.
28．如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结交于点．
（1）求证：．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见详解；（2）2π 4
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可以证得AD垂直且平分BC，然后根据垂直平分线的性质证得AB＝AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB，根据扇形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）AB＝AC．理由如下：
连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
又∵DC＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴2∠BAD=∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAD =45°，
∵AB＝8，
∴OB＝OD＝4，
∴DH＝4÷=2，
∴△OBD 的面积＝×4×2=4
又∵扇形OBD的面积＝＝2π，
∴阴影部分面积＝2π 4．
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形的面积公式以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应圆心角的度数的关系是关键．
29．如图，AB是⊙O的直径，点C在线段AB的延长线上，，．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径4，求BD与两条线段BC，CD围成的阴影部分面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，BD．证明△OBD是等边三角形，进而求得∠BDC＝30°，根据∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°，即可得证；
（2）由（1）证得∠ODC＝90°，∠BOD＝60°，根据勾股定理求得，根据阴影部分面积即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，BD．∵OA＝OD，∠DAB＝30°，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°．
∴∠BOD＝∠DAB＋∠ODA＝60°．
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形．
∴BD＝OB，∠OBD＝∠ODB＝∠DOB＝60°．
∵OB＝BC，
∴BD＝BC．
∴∠OBD＝∠BDC＋∠BCD＝2∠BDC＝60°．
∴∠BDC＝30°．
∴∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°．
即OD⊥DC于点D．又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵⊙O的半径为4，
∴OB＝BC＝OD＝4．
∴OC＝8．
由（1）证得∠ODC＝90°，∠BOD＝60°．
∴在Rt△DCO中，．
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于原点对称的；
（2）将绕点顺时针旋转90°得到，弧是点所经过的路径，则旋转中心的坐标为______；
（3）求图中点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）连接AA2，作AA2的垂直平分线，再作BB2的垂直平分线，它们的交点即为所求；
（3）利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）如图所示，的坐标为．
（3）设旋转半径为，则，
旋转角，
∴点所经过的路径长即弧长为．
【点睛】本题考查了旋转作图，旋转的性质和弧长计算公式，掌握相关知识是解题的关键．
31．如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可．
【详解】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠D＝90°
∴∠D＝∠ABC；
（2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α，
∵OE＝CE，
∴∠EOC＝∠BCO＝α，
在△BCO中，α+α+90°+α＝180°，
∴α＝30°
∴∠A＝60°，
，
∵OA＝AB＝3，
∴OC＝OA＝3，
又
OD＝ 3，
∴S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC＝3×3﹣﹣＝﹣π．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，求扇形面积公式，根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC求解是解题的关键．
32．如图，已知∠MAN，按下列要求补全图形．（要求利用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
①在射线AN上取点O，以点O为圆心，以OA为半径作⊙O分别交AM、AN于点C、B；
②在∠MAN的内部作射线AD交⊙O于点D，使射线AD上的各点到∠MAN的两边距离相等，请根据所作图形解答下列问题；
（1）连接OD，则OD与AM的位置关系是 ，理论依据是 ；
（2）若点E在射线AM上，且DE⊥AM于点E，请判断直线DE与⊙O的位置关系；
（3）已知⊙O的直径AB＝6cm，当弧BD的长度为 cm时，四边形OACD为菱形．
【答案】（1）平行；内错角相等，两直线平行；（2）相切，理由见解析；（3）π
【分析】（1）根据角平分线的定义、圆的性质可得，根据内错角相等，两直线平行即可得证；
（2）利用切线的定义即可判定；
（3）根据菱形的性质、圆的半径相等可得是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，可得，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：补全图形如下：
；
（1），
∵根据作图可知AD平分∠MAN，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）相切，理由如下：
∵DE⊥AM，，
∴，
∴直线DE与⊙O相切；
（3）∵四边形OACD为菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
33．某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径，，．（计算结果保留）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．
【答案】（1）花边的长度为；（2）
【分析】（1）主要是求阴影部分外环和内环的弧长之和，直接利用弧长公式求解即可；
（2）用大扇形部分的面积减去小扇形部分的面积计算即可．
【详解】解：（1）优弧的长为cm，
优弧的长为cm，
至少需要花边的长度为；
（2）灯罩的侧面积为:
．
【点睛】主要考查了弧长公式和扇形的面积公式，熟练掌握计算公式是解答本题的关键．
34．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）．
【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD的度数，得到的长，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．
【详解】解：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOD=×3=135°，
∵OA=5，
∴的长==，
设这个圆锥底面圆的半径为R，
∴2πR=，
∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．
故答案为．
35．如图，在平面直角坐标系中，，若绕点逆时针旋转后，得到（对应点是对应点是）．
(1)画出；
(2)求旋转过程中点的运动路径长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查旋转性质作图及求点旋转后形成的弧长，熟练掌握旋转性质，熟记弧长公式是解决问题的关键．
（1）根据旋转性质作出图形即可；
（2）利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：
旋转过程中点的运动路径长为．
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微专题04 圆的相关计算通关专练
一、单选题
1．如图，圆锥的轴截面是一个斜边为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
3．用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的底面周长是（ ）
A．2π cm B．3π cm C．4π cm D．5π cm
4．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若，，则长为( )
A． B． C． D．
5．如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从一块直径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）m
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，若A为圆心，为半径的弧交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．π
9．如图，中，，，，点O，H分别为边AB，AC的中点，将绕点B顺时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为．若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．圆锥的底面半径r为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
12．某同学用一根长为（12+4π）cm的铁丝，首尾相接围成如图的扇形（不考虑接缝），已知扇形半径OA＝6cm，则扇形的面积是（ ）
A．12πcm2 B．18πcm2 C．24πcm2 D．36πcm2
13．如图，中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，矩形中，，，以为圆心，长为半径画圆弧，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
二、填空题
16．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为 ．
17．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，格点A，B，C均在上，点E是上一点，若，则的长为 ．
18．小明用长为铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，为圆心．
（1）若，A为的中点，则长为 ；
（2）若使得模型的面积最大，则的值为
19．如图，点A、B、C在半径为1的上，，则的长等于 ．
20．如图，是的直径，切于点，线段交于点．若，，则弧的长为 ．
21．如图，是的内切圆，切点分别是，，，连接，，，的半径为，，则弦所对的弧长为 ．
22．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．（结果保留）
23．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形无底彩色纸帽，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为30cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 cm2．（结果保留π）
24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝12，BC＝6，以AB为直径的圆与以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
25．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等，（如图②），小华用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 平方米．
三、解答题
26．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留）
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．
28．如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结交于点．
（1）求证：．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
29．如图，AB是⊙O的直径，点C在线段AB的延长线上，，．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径4，求BD与两条线段BC，CD围成的阴影部分面积．
30．如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于原点对称的；
（2）将绕点顺时针旋转90°得到，弧是点所经过的路径，则旋转中心的坐标为______；
（3）求图中点所经过的路径长（结果保留）．
31．如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
32．如图，已知∠MAN，按下列要求补全图形．（要求利用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
①在射线AN上取点O，以点O为圆心，以OA为半径作⊙O分别交AM、AN于点C、B；
②在∠MAN的内部作射线AD交⊙O于点D，使射线AD上的各点到∠MAN的两边距离相等，请根据所作图形解答下列问题；
（1）连接OD，则OD与AM的位置关系是 ，理论依据是 ；
（2）若点E在射线AM上，且DE⊥AM于点E，请判断直线DE与⊙O的位置关系；
（3）已知⊙O的直径AB＝6cm，当弧BD的长度为 cm时，四边形OACD为菱形．
33．某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径，，．（计算结果保留）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．
34．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．
35．如图，在平面直角坐标系中，，若绕点逆时针旋转后，得到（对应点是对应点是）．
(1)画出；
(2)求旋转过程中点的运动路径长（结果保留）．
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