中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 弧、弦、圆心角
考点类型
知识串讲
（一）弧、弦、圆心角的基本概念
（1）弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
（2）弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
（3）弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
（二）弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
考点训练
考点1：弧、弦、圆心角的概念
典例1：如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】等于圆周的弧为( )
A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆
【变式2】如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以为端点的弧中，优弧有 ，劣弧有 ．
【变式3】“顶点在圆内的角叫做圆心角”是 的．（选填“正确”或“错误”）
考点2：弧、弦、圆心角——求角度
典例2：如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，是的直径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，已知，，则 ．
【变式3】如图，若圆心角，则的度数是 度．
考点3：弧、弦、圆心角——求线段
典例3：如图，在中，若，且，求的长度．
【变式1】如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．
(1)若，则弧的度数为______．
(2)若，，求的长．
【变式2】如图，C为弧的中点，于点M，于N，且为的直径，若，求长．
【变式3】如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：；
(2)若C、D是AB的三等分点，：
①求；
②请比较GE和BE的大小．
考点4：弧、弦、圆心角——证明题
典例4：如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【变式1】如图，在中，是直径，且交圆于，求证：．
【变式2】如图，中，弦，相交于点，．
(1)比较与的长度，并证明你的结论；
(2)求证：．
【变式3】如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．
(1)若的度数为，求的度数．
(2)求证：．
(3)连接，若，，求的长．
考点5：弧、弦、圆心角——比较问题
典例5：如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A． B． C． D．a，b大小无法比较
【变式1】在同圆中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较它们的大小
【变式2】如图，在⊙O中，＝，∠AOB与∠COD的关系是 ．
【变式3】如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
考点6：弧、弦、圆心角——综合题
典例6：（1）如图，为的弦，已知的半径是，，求到的距离；
（2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
任务：如图，为的弦，画一条与长度相等的弦；
任务：如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径；
请你选择其中一个任务，完成作图．
【变式1】如图，是的半径，
(1)如果，那么_____，_____ =_____，∠AOC_____∠BOD；
(2)如果，那么_____=_____，_____；
(3)如果=，那么_____，_____，_____．
【变式2】如图，为直径，是弦，以为边构造平行四边形，点E在半径上．
(1)已知．求证：．
(2)延长分别交直线，于点F，G．求证：．
【变式3】如图，A，B，C，D是圆O上的点，，，分别交，，OC于点N，M．求证：
(1)；
(2)．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 弧、弦、圆心角
考点类型
知识串讲
（一）弧、弦、圆心角的基本概念
（1）弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
（2）弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
（3）弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
（二）弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
考点训练
考点1：弧、弦、圆心角的概念
典例1：如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有共三条，
故选：B．
【变式1】等于圆周的弧为( )
A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆
【答案】D
【分析】根据弧的命名方式分析.
【详解】大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，直径所对的两条弧是半圆，等于
圆周的弧叫做圆.
故选：D.
【点睛】考核知识点：弧.
【变式2】如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以为端点的弧中，优弧有 ，劣弧有 ．
【答案】 、 ，，，， ，，，
【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【详解】解：图中的直径有，非直径的弦有、；图中以A为端点的弧中，优弧有，，，，；劣弧有，，，．
故答案为：；、；，，，，；，，，．
【点睛】本题考查了圆的认识，关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【变式3】“顶点在圆内的角叫做圆心角”是 的．（选填“正确”或“错误”）
【答案】错误
【分析】顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解.
【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角，
∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误，
故答案为：错误.
【点睛】本题主要考查圆心角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角的定义.
考点2：弧、弦、圆心角——求角度
典例2：如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案．
【详解】连接，
∵弦平行于直径，
∴，
又∵，则，
∴，
∵
∴．
故选：A．
【变式1】如图，是的直径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2】如图，在中，已知，，则 ．
【答案】
【分析】根据在同圆中，同弧所对的圆心角是相等的可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴（同弧所对的圆心角相等），
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同一个圆中同弧所对的圆心角相等是解题的关键．
【变式3】如图，若圆心角，则的度数是 度．
【答案】
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系知识点．根据弧与圆心角的关系即可得到答案．
【详解】解：因为弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，且，
所以的度数为．
故答案为：．
考点3：弧、弦、圆心角——求线段
典例3：如图，在中，若，且，求的长度．
【答案】
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，根据，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1】如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．
(1)若，则弧的度数为______．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，利用三角形的内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出可求解．
（2）作于，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，利用垂径定理即可解决问题．
【详解】（1）解：连接．
，，
，
，
，
，
弧的度数为，
（2）如图，作于．
在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】如图，C为弧的中点，于点M，于N，且为的直径，若，求长．
【答案】
【分析】连接，先求得，从而求得，即可求得，根据圆心角、弧、弦的关系求得，根据圆周角定理求得，根据30°的直角三角形的性质即可求得的长．
【详解】解：连接，
∵于M，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵于N，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
【变式3】如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：；
(2)若C、D是AB的三等分点，：
①求；
②请比较GE和BE的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE
【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；
（2）①先由C、D是的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；
②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得，，再比较即可得出结论；
【详解】（1）解：∵DEOC，
∴∠COD=∠ODE，
∵OC=OD，OF=DE，
∴△OCF≌△DOE(SAS)；
（2）解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF=∠DOE=30°，
∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，
∴∠OGC=90°．
②∵，
∴，
又∵∠DOE=30°，
∴OF=2，
∵∠OCF=∠COF=30°，
∴CF=OF，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE=CF=OF=2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键．
考点4：弧、弦、圆心角——证明题
典例4：如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则；
（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴，
即．
∴．
（2）证明：连接
∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
【变式1】如图，在中，是直径，且交圆于，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、弧与圆心角关系．
连接，根据平行线的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据等量代换得出，最后根据弧与圆心角关系即可得证．
【详解】证明：连接，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
．
【变式2】如图，中，弦，相交于点，．
(1)比较与的长度，并证明你的结论；
(2)求证：．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到．
（2）由证明，即可推出．
【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下：
，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
．
【变式3】如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．
(1)若的度数为，求的度数．
(2)求证：．
(3)连接，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数；
（2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证；
（3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：连接，
，
的度数为，
，
，
；
（2）证明：，
，，
又∵，
，
；
（3）解：连接，交于点，
，
弦是直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
考点5：弧、弦、圆心角——比较问题
典例5：如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A． B． C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，
∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
【变式1】在同圆中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较它们的大小
【答案】C
【分析】作的中点，连接、，则，根据题意，得出，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，得出，再根据三角形的三边关系，得出，再根据等量代换，即可得出结果．
【详解】解：如图，作的中点，连接、，则，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，故选项C正确．
故选：C
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想．
【变式2】如图，在⊙O中，＝，∠AOB与∠COD的关系是 ．
【答案】∠AOB＝∠COD
【分析】推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．因此AB与CD所对的圆心角相等，即∠AOB＝∠COD.
【详解】解：
∵在⊙O中，AB=CD，∠AOB与∠COD分别是AB与CD所对的圆心角
∴∠AOB=∠COD
【点睛】本题考查了圆定理的推论，能发现∠AOB与∠COD分别是AB与CD所对的圆心角，并且AB=CD，是解答此题的关键．
【变式3】如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【分析】过点作于点，交于点，根据
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．
考点6：弧、弦、圆心角——综合题
典例6：（1）如图，为的弦，已知的半径是，，求到的距离；
（2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
任务：如图，为的弦，画一条与长度相等的弦；
任务：如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径；
请你选择其中一个任务，完成作图．
【答案】（1）；（2）解析．
【分析】（1）根据垂径定理得，再根据勾股定理即可得解；
（2）任务：分别过、作直径和，连接，由得；
任务：连接，，，交于点，作射线交于点，由得，从而得是半圆，则为直径．
【详解】解：（）过点作于点，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，即，
解得 ，即到的距离为；
（2）选择任务1：如下图，，
选择任务：如图，如下图为直径．
【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，圆心角与弦弧的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理及垂径定理，熟练掌握无刻度直尺作图，圆心角与弦弧的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理及垂径定理是解题的关键．
【变式1】如图，是的半径，
(1)如果，那么_____，_____ =_____，∠AOC_____∠BOD；
(2)如果，那么_____=_____，_____；
(3)如果=，那么_____，_____，_____．
【答案】(1)，，，=
(2)，，
(3)，，=
【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，，；
故答案为：，，，=
（2）解：∵，
∴，；
故答案为：，，；
（3）解：∵，
∴，，．
故答案为：，，=．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握相关性质的解题的关键．
【变式2】如图，为直径，是弦，以为边构造平行四边形，点E在半径上．
(1)已知．求证：．
(2)延长分别交直线，于点F，G．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（ 1）连接，根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质推出，根据同圆中，圆心角、弧的关系即可得解；
（2 ）根据平行线的性质、对顶角性质、三角形内角和推出，则，结合圆的性质根据线段的和差即可得解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长分别交直线，于点F，G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即 ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，弧与圆心角的关系，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式3】如图，A，B，C，D是圆O上的点，，，分别交，，OC于点N，M．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由得到，推出，而，即可证明问题；
（2）由条件可以证明，即可证明．
【详解】（1），
，
，
，
；
（2），
，，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，三角形全等，掌握以上知识点是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
