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专题01 圆的基本性质+垂径定理
考点类型
知识串讲
（一）圆的相关概念
（1）圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
（2）确定圆的条件：
①圆心；
②半径，
③其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
（3）相关概念
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
等圆：半径相等的圆叫做等圆．
（二）垂径定理及其推论
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③圆的两条平行弦所夹的弧相等
（3）常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度（多为方程勾股）；
②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
考点训练
考点1：圆的相关概念
典例1：如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，圆的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆、直径、弦、半圆等概念，熟练掌握相关概念是解题关键．根据圆、直径、弦、半圆等概念逐一判断即可得答案．
【详解】解：半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定，还要确定圆心位置，故①错误，
直径是弦，故②正确，
弦不一定是直径，故③错误，
半圆是弧，但弧不一定是半圆，故④正确，
圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，故⑤错误，
综上所述：①③⑤的说法是错误的．共3个，
故选：C．
【变式2】平面上有及内一点到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．点P在的内部，则的直径为和的和．
【详解】解：点P在的内部，则的直径为，
所以的半径为；
故答案为7．
【变式3】如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ．
【答案】/27度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线是解题的关键．由得到，则，而，因此，即可求出．
【详解】
解：连，如图，
，，
，
，
而，
，
，
，
，
而，
，
所以．
故答案为：．
考点2：利用垂径定理——求线段
典例2：如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】D
【分析】作的半径于，连接、，如图，利用折叠的性质得垂直平分，则，于是可判断为等边三角形，所以，利用含30度的直角三角形三边的关系求出，然后利用垂径定理得到，从而得到的长．本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
【详解】解：作的半径于，连接、，如图，
圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
垂直平分，
，
而，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式1】如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】连接，交于D，
由题意得：米，，
米，，
在中
米，
米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
【变式2】如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ．
【答案】8
【分析】根据垂径定理可得，再由勾股定理计算即可；
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵的半径为，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：8．
【变式3】如图是一条火车隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则轨道宽的长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意得，再利用勾股定理求得，最后由垂径定理可知即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知，，
，
故答案为：．
考点3：利用垂径定理——求平行弦
典例3：⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
【详解】解：如图，作于E，于F，连，
则，
∵，
∴E、O、F三点共线，
在中，，
在中，，
当圆心O在弦与之间时，与的距离；
当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
所以与的距离是14或2．
故选：C．
【变式1】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．
【变式2】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式3】如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
【答案】
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，
∴，，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：，
即PA＋PC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
考点4：利用垂径定理——求同心圆
典例4：如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点，．则的长（ ）
A．1 B．2 C． D．0.5
【答案】B
【分析】过圆心作弦的垂线，根据垂径定理求解即可．
【详解】解：过圆心O作交于点E，如图
根据垂径定理得，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查应用垂径定理，做辅助线是解题的关键．
【变式1】如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】D
【分析】先根据OH⊥AB于点H可知，AH＝BH，CH＝DH，故可得出AC＝BD，AD＝BC，进而可得出结论．
【详解】解：由垂径定理知，点H是AB的中点，也是CD的中点，则有CH＝HD，AH＝HB，所以AD＝BC，AC＝BD．
所以共有4组相等的线段．
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
【变式2】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中，
在RT△OCE中，，
则
解得：r=134．
故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式3】如图，两圆圆心相同，大圆的弦与小圆相切，，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】16π
【分析】先根据圆的切线的性质可得，再根据垂径定理可得，然后利用勾股定理可得，最后根据阴影部分面积等于大圆面积减去小圆面积即可得．
【详解】解：如图，连接，
由圆的切线的性质得：，
由垂径定理得：，
在中，，
则图中阴影部分面积为，
故答案是：16π．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
考点5：利用垂径定理——实际应用
典例5：某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
【变式1】为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为和，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径的长度为（ ）
A．240 B． C．120 D．
【答案】B
【分析】设小圆的切线与小圆相切于点，与大圆交于，连接、，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，设小圆的切线与小圆相切于点，与大圆交于、，连接、，
，
，
在中，，，
，
，
即该球在大圆内滑行的路径的长度为，
故选B．
【点睛】本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
【变式2】赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【变式3】一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．
【答案】米
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段的长．
根据矩形的性质可推出线段为圆的直径，然后根据勾股定理可求出的长，再根据垂径定理求出点D为的中点，利用中位线即可求出的长，即可求出最大高度．
【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D，
点O为线段的中点，，
为圆O的直径，
宽为米，高为2米，
（米），
圆的半径（米），
，
点D为的中点，
点O为线段的中点，
是的中位线，
（米），
则改造后门洞的最大高度（米）；
故答案为：米．
考点6：垂径定理的推论——定圆心
典例6：一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到）
【答案】半径约为．
【分析】设圆的半径为r，由垂径定理推论可得：∠OCA=90°，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接 由垂径定理推论可得：∠OCA=90°，
设圆的半径为r，则CO=r-0.25，AC=0.36，
OC2+AC2=AO2， 即0.362+（r-0.25）2=r2．
解得：r=0.3842≈0.384．
答：这个车轮的半径为0.384m．
【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论的实际应用，勾股定理的应用，解题的关键是由垂径定理的推论得到：∠OCA=90°.
【变式1】赵州桥（如图）建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求赵州桥桥拱所在圆的半径．（精确到）
【答案】
【分析】设O为圆心，作于D，交弧AB于C，则 ，可得，在 中，利用勾股定理，即可求解
【详解】解：设O为圆心，作于D，交弧AB于C，则 ，如图所示：
拱桥的跨度，拱高，
，
在 中，
，
即， 解得：
即圆弧半径为．
答：赵州桥的主桥拱半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【变式2】请你利用直尺和圆规把弧四等分．
【答案】答案见详解．
【分析】利用弦、弧与直径的关系，平分弦平分弦所对的两条弧先作AB的垂径交圆弧与C，连结AC、BC再作AC、BC的垂径，交圆弧于E、D，则E、C、D满足条件．
【详解】以A、B两点为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于G、H两点，过G、H作直线GH交圆弧与C，
连结AC、BC，
以A、C两点为圆心，以大于AC为半径画弧，两弧交于M、N两点，过M、N作直线MN交圆弧与E，
以B、C两点为圆心，以大于BC为半径画弧，两弧交于P、Q两点，过P、Q作直线PQ交圆弧与D，
则E、C、D三点把圆弧四等分．
【点睛】本题考查尺规作图问题，掌握尺规作图的方法，会利用圆弧，弦与直径的关系作圆弧等分问题是解题关键．
【变式3】如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP=5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条．
【答案】（1）见解析；（2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4
【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案；
②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP=BP===12，
∴AB=2AP=24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，
最短的弦24，
长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
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专题01 圆的基本性质+垂径定理
考点类型
知识串讲
（一）圆的相关概念
（1）圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
（2）确定圆的条件：
①圆心；
②半径，
③其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
（3）相关概念
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
等圆：半径相等的圆叫做等圆．
（二）垂径定理及其推论
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③圆的两条平行弦所夹的弧相等
（3）常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度（多为方程勾股）；
②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
考点训练
考点1：圆的相关概念
典例1：如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】平面上有及内一点到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ．
【变式3】如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ．
考点2：利用垂径定理——求线段
典例2：如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【变式1】如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【变式2】如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ．
【变式3】如图是一条火车隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则轨道宽的长为 ．
考点3：利用垂径定理——求平行弦
典例3：⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【变式1】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【变式2】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
【变式3】如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
考点4：利用垂径定理——求同心圆
典例4：如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点，．则的长（ ）
A．1 B．2 C． D．0.5
【变式1】如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式2】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【变式3】如图，两圆圆心相同，大圆的弦与小圆相切，，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
考点5：利用垂径定理——实际应用
典例5：某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为和，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径的长度为（ ）
A．240 B． C．120 D．
【变式2】赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）
【变式3】一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．
考点6：垂径定理的推论——定圆心
典例6：一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到）
【变式1】赵州桥（如图）建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求赵州桥桥拱所在圆的半径．（精确到）
【变式2】请你利用直尺和圆规把弧四等分．
【变式3】如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP=5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条．
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