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专题03 圆周角定理
考点类型
知识串讲
（一）圆周角定理
（1）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（二）圆周角的推论
①推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
②推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
③推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（三）圆的内接四边形
（1）圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
（2）性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
考点训练
考点1：圆周角概念
典例1：下图中所有相等的圆周角有多少对（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式1】下列各图中，为圆周角的是（ ）
A．B． C． D．
【变式2】如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．
【变式3】如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角．
考点2：圆周角定理——求角度
典例2：如图，是的直径，点在上，且弧的长是弧长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，点A，B，C在上，B为弧的中点．若，则 度．
【变式3】如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度．
考点3：同弧（等弧）所对的圆周角相等
典例3：如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则的度数为 ．
【变式3】如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，弧与交于点D，若度数，则的度数为 °．
考点4：直径所对圆周角90°
典例4：如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．6
【变式1】如图，四边形内接于，连接、是的直径， ，若，则的度数为（ ）
A． B． C．45 D．
【变式2】如图，已知四边形中，，，，则 ．
【变式3】如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ．
考点5：圆内接四边形性质
典例5：如图，定点B，C，D在上，连接， 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连结．若，则的度数为 ．
【变式3】如图，小明把一副三角尺放到圆中，斜边重合，点A、B、C、D均在圆上，其中，点P是圆上任意一点（不与A、B、C、D重合），则的度数为 ．
考点6：圆周角定理综合
典例6：如图，已知是的直径，点是上一点，连结，，点为的中点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求长．
【变式1】如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
【变式2】如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接．
(1)如图1，若经过圆心O．
①求的度数；
②猜想是何种特殊三角形，并加以证明．
(2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【变式3】已知是的内接三角形，的平分线交于点．
(1)如图①，若是的直径，，求的长；
(2)如图②，连接，求证：．
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专题03 圆周角定理
考点类型
知识串讲
（一）圆周角定理
（1）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（二）圆周角的推论
①推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
②推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
③推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（三）圆的内接四边形
（1）圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
（2）性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
考点训练
考点1：圆周角概念
典例1：下图中所有相等的圆周角有多少对（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据圆周角的概念进行判断即可得解.
【详解】如图所示，
所对的圆周角为：∠ACB和∠ADB；
所对的圆周角为：∠BAD和∠BCD；
所对的圆周角为：∠CAD和∠CBD；
所对的圆周角为：∠ABC和∠ADC；
共4对.
故选D.
【点睛】此题主要考查了同弧所对的圆周角相等.
【变式1】下列各图中，为圆周角的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
根据由圆周角的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式2】如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．
【答案】
【分析】根据圆周角的定义即可解答．
【详解】解：如图，
所对的圆周角是，
所对的圆周角是．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
【变式3】如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角．
【答案】8
【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可把顶点分别为A、B、C、D的圆周角数出来，即可得到答案．
【详解】解：以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角．
故答案为8．
【点睛】本题考查圆周角的定义和分类思想的应用，根据圆周角的定义对图中圆周角进行分类统计即可得到正确答案．
考点2：圆周角定理——求角度
典例2：如图，是的直径，点在上，且弧的长是弧长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理、角平分线的定义，由圆周角定理得出，结合题意得出，，由角平分线的定义得出，推出，即可得解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵弧的长是弧长的2倍，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1】如图，在中，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键．
根据圆周角定理得出，算出，再根据内接四边形的性质即可求解；
【详解】解：，
，
．
是的直径，
，
．
四边形是的内接四边形，
，
，
故选：C．
【变式2】如图，点A，B，C在上，B为弧的中点．若，则 度．
【答案】144
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理．根据垂径定理得到，结合，求出，即可得到结果．
【详解】解：∵B为弧的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：144．
【变式3】如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度．
【答案】75
【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，
∴，
∴；
故答案为：75．
考点3：同弧（等弧）所对的圆周角相等
典例3：如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵，
∴垂直平分，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴；
故选C
【变式1】如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，圆周角定理；由圆的基本性质得，，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质即可求解；掌握圆周角定理和圆的基本性质是解题的关键．
【详解】解： 是的直径，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式2】如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
由是直径，可得，由题意知，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是直径，
∴，
由题意知，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3】如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，弧与交于点D，若度数，则的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查轴对称的性质，圆周角与弧的关系，解答本题的关键是由折叠的性质得到．由折叠的性质和圆周角与弧的关系得到：，结合是圆的直径，即可求出的度数进而求出结论．
【详解】解：设为直径的圆的圆心为点O，
如图2，设上的点D翻折前为点E，连接，，
由折叠的性质得到：，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴三段弧度数和为，
三段弧度数和为，
度数，
度数为，
∴度数，
∴ ，
故答案为：．
考点4：直径所对圆周角90°
典例4：如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据点B，找到十二等分点的第六个分点E，连接，则为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、，在证为等边三角形，根据刻度尺得出圆半径，根据圆周角定理得为直角三角形，根据勾股定理即可求出．
【详解】如图，在圆上取点E，连接，使得为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、，
C、D均为圆周上十二等分点，
占2个分点，，
，
为等边三角形，
C点、D点分别与刻度1和4对齐，
，即，
由图可知：占4个分点，为直径，
占2个分点，，，
，
，
中
，
故选：C．
【变式1】如图，四边形内接于，连接、是的直径， ，若，则的度数为（ ）
A． B． C．45 D．
【答案】A
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
由，可得，由，可得，由是的直径，可得，则，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2】如图，已知四边形中，，，，则 ．
【答案】
【分析】以为圆心，长为半径作圆，延长交于，连接，在中，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：
，
点，，在以为圆心，长为半径的同一个圆上，以为圆心，长为半径作圆，延长交于，连接，
，
，
，，
是的直径，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是作出以为圆心，长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．
【变式3】如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握圆周角的相关知识是解题关键．首先根据题意可得，，易知，进而可得，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
考点5：圆内接四边形性质
典例5：如图，定点B，C，D在上，连接， 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形对角互补，圆周角定理，是解题的关键．
在外的上取点A，连接，，根据圆内接四边形性质得到，根据圆周角定理可得可得．
【详解】在外的上取点A，连接，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，若，
∴，
∴．
故选D．
【变式2】如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连结．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵圆内接四边形，
∴，
∵点D关于的对称点E在边上，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3】如图，小明把一副三角尺放到圆中，斜边重合，点A、B、C、D均在圆上，其中，点P是圆上任意一点（不与A、B、C、D重合），则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内角四边形内角和问题，分为当点P在优弧上时以及当点P在劣弧上时两种情况下进行求解即可．
【详解】解：当点P在优弧上时，
；
当点P在劣弧上时，四边形为圆内接四边形，
，
，
.的度数为或，
故答案为：或．
考点6：圆周角定理综合
典例6：如图，已知是的直径，点是上一点，连结，，点为的中点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由圆心角、弧、弦的关系得到，由等腰三角形的性质推出，由圆周角定理推出，即可证明；
（）设圆的半径是，得到，由垂径定理得，由勾股定理得到，求出，因此，由勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：连接，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设圆的半径是，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【变式1】如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据求出，求出，求出，根据圆周角定理得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出的度数，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：，
，
（两边都减去），
，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
，
，
，
的度数是，
，
，
的度数是
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
【变式2】如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接．
(1)如图1，若经过圆心O．
①求的度数；
②猜想是何种特殊三角形，并加以证明．
(2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)①；②等边三角形，证明见解析
(2)小明的说法正确，无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化
【分析】本题考查的是垂径定理的推理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及研究四边形的性质，灵活运用相关定理、数形结合思想是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到答案；②根据等边三角形的性质和题意证明，得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）证明，得到，根据圆内接四边形的性质得到，证明等边三角形，根据等边三角形的性质求出即可．
【详解】（1）解：①∵是等边三角形，
∴，
∴，又经过圆心O，
∴，
∴；
②等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴等边三角形；
（2）解：无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴等边三角形，
∴，
∴无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化．
【变式3】已知是的内接三角形，的平分线交于点．
(1)如图①，若是的直径，，求的长；
(2)如图②，连接，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（）连接，由圆周角定理可得，进而由角平分线的定义得，即得到，再根据勾股定理即可求解；
（）由圆周角定理可得，即得，得到，又由圆周角定理得，，等量代换即可求证；
本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
即．
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