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专题01 概率初步
考点类型
知识串讲
（一）事件分类
（1）事件类型：
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率
（1）概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.
（2）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为概率公式：随机事件A的概率。
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0
（三）求概率的方法
（1）列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（2）树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（四）以频率估计概率
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
考点训练
考点1事件的分类与判断
典例1：如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，从某个布袋中随机摸出一个球，则下列说法不正确的是（ ）
A．摸到红球属于必然事件的布袋是④
B．摸到红球属于不可能事件的布袋是①
C．摸到红球属于随机事件的布袋是②和③
D．布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性大
【变式1】下列说法不正确的是（ ）
A．买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件
B．连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上
C．从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件
D．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性
【变式2】估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：
①瞎猫碰到死耗子；②煮熟的鸭子飞了；③种瓜得瓜
将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
【变式3】下列事件中，
（1）太阳从西边落山；
（2）某人的体温是；
（3）；
（4）某个等腰三角形中任意两个角都不相等：
（5）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件．
考点2：概率的公式与计算
典例2：一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则 ．
【变式1】在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【变式2】将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
【变式3】小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是 ．
考点3：列举法求概率
典例3：实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】现有4盒同一品牌的饮料，其中2盒已过期，随机抽取2盒，恰好有一盒过期的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，随机地闭合开关中的三个，能够使灯泡同时发光的概率是 ．
【变式3】某企业进行产品内部探伤，现有3件产品中，含有1件次品，2件良品，从中任取两件产品，求取出的两件产品中含有次品的概率 ．
考点4：列表法、树状图法求概率
典例4：班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下．
(1)第一个摘下D灯笼的概率是 ；
(2)求第二个摘下A灯笼的概率．
【变式1】小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字之积为3的倍数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．这个游戏对公平吗？请说明理由．
【变式2】藏毯作为青海省非物质文化遗产项目之一，与波斯毯、东方毯并称为世界三大名毯．西宁作为藏毯之都，生产的藏毯已成为青海名副其实的特色产品，更是一张通往世界的“金名片”．
(1)为了调查一批藏毯的质量，质检人员从中随机抽取了100件产品进行检测．本次抽样调查的样本容量是________；
(2)6月10日是我国文化和自然遗产日．某校举办非遗文化进校园活动，决定从A，B，C，D四名同学中随机抽取两人作为“小小宣传员”，为大家介绍青海藏毯文化．请用画树状图或列表的方法求出A，B两人同时被选中的概率．
第一人
A B C D
第二人 A —
B —
C —
D —
【变式3】三原色是指色彩中不能再分解的三种基本颜色，其中色光三原色分别为红、绿、蓝，这三种颜色按一定比例混合可以呈现其他颜色．现将正面写有红、绿、蓝字样的三张完全相同且不透明的卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)从三张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有“红”的概率为______；
(2)先从三张卡片中随机抽取一张，记下颜色后放回、洗匀，再重新抽取一张，记下颜色．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的概率．（已知红配绿呈黄色）
考点5：游戏的公平性判断
典例5：有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上，，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
【变式1】第十六届中国昆明新春购物博览会于2024年1月23日－2月7日举行，展期16天，为大家呈现一个集传统手工艺、传统美食、传统春节习俗为一体的春节文化体验．某商家为了促销，开展“砸金蛋送优惠券”的活动，即购物超200元的顾客可获得一次砸金蛋的机会．刘爷爷和张爷爷购物都超过了200元，商家共提供了4个金蛋，只有1个金蛋有优惠券．（记有优惠券的金蛋为A，其余金蛋分别为）
(1)请用列表法或画树状图法，列出刘爷爷和张爷爷砸金蛋所有可能出现的结果；
(2)当商家让刘爷爷先砸时，张爷爷认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得优惠券的概率的角度说明张爷爷的质疑是否合理．
【变式2】小明和小颖都想参加学校杜团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小明去参加活动；转到3的倍数，小颖去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘．
(1)转盘转到号码7的概率是____________．
(2)转盘转到2的倍数的概率是多少？
(3)你认为这个游戏对小明和小颖公平吗？请说明理由．
【变式3】如图，一个均匀的转盘被平均分成了等份，分别标有这个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）．
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面三种中选一种：．猜“是的倍数”；．猜“是大于等于的数”；．猜“是偶数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由．
考点6：以频率估计概率
典例6：如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：
转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000
转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667
转到黄色区域的频率
(1)下列说法错误的是______（填写序号）．
①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域；
②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数；
③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10．
(2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）；
(3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可．
【变式1】一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表
摸球次数
白球频率
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 （精确到）左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是 ．
(2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列表法或树状图求摸到个蓝球、个白球率．
【变式2】某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705
(1)计算并完成表格：
(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？（精确到）
(3)转动转盘一次，估计指针落在“铅笔”的概率．（精确到）
【变式3】某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数 50 100 200 400 800 1000
落在“牛奶”区域的次数 30 61 119 242 603
落在“牛奶”区域的频率 0.6 0.61 0.59 0.59 0.603
(1)完成上述表格，其中______，______；
(2)请估计当很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______；
(3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
考点7：统计概率综合
典例7：新春佳节，临沂琅琊古城吸引了众多外地市民前来寻找年味，快乐过节．作为山东文旅开年的扛鼎之作，琅琊古城自年月日起正式开城迎客，为临沂市再添文旅新地标．某学习小组对景点演出中的校场演兵、国秀琅琊、扶摇云裳、只此琅琊，这四个节目开展我最喜欢的演出节目调查．随机调查了部分游客，每位游客必须且只能选择这四个节目中的一个，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
(1)本次共调查了______名游客；并将条形统计图补充完整；
(2)组所对应的扇形圆心角为______度；
(3)若某天游客达到万人次，则该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数约为多少人？
(4)若某游客从中任选两个表演节目来观看，恰好选到国秀琅琊和只此琅琊的概率为多少？
【变式1】为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：，. ，，，，，，，，，，，
整理数据：甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下：
组别
甲 4 11 13 10 2
乙 6 3 15 14 2
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
量 平均数 众数 中位数 方差
甲 74.5 86 m 47.5
乙 73.1 84 76 23.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）；
(2)在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）；
(3)甲校有名学生都参加此次测试，如果成绩达到分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数．
(4)成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲校、乙校各一名同学的概率．
【变式2】为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“错题集”的展示活动，对该校部分学生“错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
整理情况 频数 频率
非常好 ______
较好 ______
一般 ______ ______
不好 ______
(1)补全统计表，本次抽样共调查了多少本学生的错题集？
(2)该校有名学生，每名学生都有整理错题集，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的错题集一共约多少本？
(3)某学习小组名学生的错题集中，有本“非常好”（ 记为，），本“较好”（ 记为），本“一般”（ 记为），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．
整理情况 频数 频率
非常好 42 0.21
较好 70 0.35
一般 52 0.26
不好 36 0.18
【变式3】成都大运会闭幕式上，最后出场的“花花”流下的两滴“泪水”表达了不舍的情绪，让人非常感动．花花作为成都大熊猫繁育研究基地的“顶流明星”，无数游客前去成都大熊猫繁育研究基地看花花，园区采用单循环的观赏模式，每名左右游客看熊猫时间3分钟，保证不会有人群杂音、闪光灯等干扰到幼年熊猫的休息．某中学为了解学生对花花的喜爱程度，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为______人，扇形统计图中“喜欢”对应的扇形圆心角度数为______；
(2)若该校共有名学生，请你估计对花花的喜爱程度为“一般”的学生人数；
(3)本次调查中，“很喜欢”的4人中有一名男生和三名女生，若从中随机抽取两人前往成都大熊猫繁育研究基地观看花花，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
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专题01 概率初步
考点类型
知识串讲
（一）事件分类
（1）事件类型：
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率
（1）概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.
（2）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为概率公式：随机事件A的概率。
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0
（三）求概率的方法
（1）列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（2）树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（四）以频率估计概率
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
考点训练
考点1事件的分类与判断
典例1：如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，从某个布袋中随机摸出一个球，则下列说法不正确的是（ ）
A．摸到红球属于必然事件的布袋是④
B．摸到红球属于不可能事件的布袋是①
C．摸到红球属于随机事件的布袋是②和③
D．布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性大
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类、判断事件发生的可能性的大小，根据事件的分类办法分析即可得解.
【详解】解：A．摸到红球属于必然事件的布袋是④，故A正确，不符合题意；
B．摸到红球属于不可能事件的布袋是①，故B正确，不符合题意；
C．摸到红球属于随机事件的布袋是②和③，故C正确，不符合题意；
D．布袋②中有1个红球，2个白球，布袋③中有2个红球，1个白球，因此布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性小，故D不正确，符合题意．
故选：D．
【变式1】下列说法不正确的是（ ）
A．买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件
B．连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上
C．从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件
D．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性
【答案】B
【分析】题目主要考查时间发生的可能性，理解题意，列出事件发生的结果数，即可判断事件发生的可能性大小，即可求解．
【详解】解：A、买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件，正确，不符合题意；
B、连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上，是可能发生也可能不发生的，错误，符合题意；
C、从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件，正确，不符合题意；
D、掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能有2，4，6三种结果，掷出的点数是3的倍数的可能性有3，6两种结果，故掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性，正确，不符合题意；
故选B．
【变式2】估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：
①瞎猫碰到死耗子；②煮熟的鸭子飞了；③种瓜得瓜
将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
【答案】②①③
【分析】根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案．本题主要考查可能性的大小，随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即（必然事件）；
②不可能事件发生的概率为0，即（不可能事件）；
③如果为不确定事件（随机事件），那么（A）．
【详解】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件；
②煮熟的鸭子飞了，是不可能事件；
③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件．
将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③．
故答案为：②①③．
【变式3】下列事件中，
（1）太阳从西边落山；
（2）某人的体温是；
（3）；
（4）某个等腰三角形中任意两个角都不相等：
（5）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件．
【答案】 （1） （2）（4） （3）（5）
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：（1）根据生活常识，可知太阳一定从西边落山，所以“太阳从西边落山”是必然事件．
（2）因为正常人体的体温都在左右，所以“某人的体温是”是不可能事件．
（3）当时，，当a，b中至少有一个不等于0时，为正数，所以“”是随机事件．
（4）根据等腰三角形的性质，等腰三角形中至少有两个角相等，所以“某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件．
（5）经过有信号灯的十字路口，可能遇见红灯，也可能不遇见红灯，所以“经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件．
故答案为：（1）；（2），（4）；（3），（5）；
考点2：概率的公式与计算
典例2：一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率公式即可求解．
【详解】解：从袋中随机取出一个球是白球的概率为，
，
解得：，
故答案为：．
【变式1】在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了摸球的概率，由题意求出白色小球的频率即可得出答案，牢记频率与概率的关系和概率的公式是解题的关键．
【详解】解：由题意知：摸到白色小球的频率为，
则口袋中白球的个数为：；
故选：．
【变式2】将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．
【详解】解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，
所以取到有理数的概率为，
故答案为：．
【变式3】小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是 ．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，解题的关键是熟练掌握几何概率的求法，先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖3块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球停留在黑色区域的概率是．
故答案为：．
考点3：列举法求概率
典例3：实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
根据题意可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数的所有等可能的结果为：56，65，57，75，58，85，共6种结果，
其中是奇数的结果有：65，57，75，85，共4种，
实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为．
故选：D．
【变式1】现有4盒同一品牌的饮料，其中2盒已过期，随机抽取2盒，恰好有一盒过期的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．列举出所有的情况，再得到恰好有一盒过期的情况数，利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵有4盒同一品牌的饮料，其中2盒已过期，
设未过期的两盒为A，B，过期的两盒为C，D，随机抽取2盒，
则结果可能为，，，，，，
共6种情况，其中恰好有一盒过期的有4种，
∴恰好有一盒过期的概率是，
故选C．
【变式2】如图，随机地闭合开关中的三个，能够使灯泡同时发光的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了列举法求随机事件的概率，根据图示，把所有等可能结果表示出来，再运用概率计算公式即可求解，掌握列举法求随机事件的概率的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，把所有等可能结果表示出来如下，
共有10种等可能结果，能让同时发光得结果有两种，
∴你能够使灯泡同时发光得概率是，
故答案为： ．
【变式3】某企业进行产品内部探伤，现有3件产品中，含有1件次品，2件良品，从中任取两件产品，求取出的两件产品中含有次品的概率 ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用例举法求解随机事件的概率，先例举所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：3件产品，含有1件次品，2件良品，用表示良品，用表示次品；
从中任取两件产品，所有可能结果有，，，，，，
∴取出的两件产品中含有次品的概率为，
故答案为：
考点4：列表法、树状图法求概率
典例4：班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下．
(1)第一个摘下D灯笼的概率是 ；
(2)求第二个摘下A灯笼的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键，用到的知识点为：概率．
（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解： 第一次摘只能先从和中选择任意一个，
第一个摘下灯笼的概率是；
故答案为：；
（2）解：由题意，画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种，
第二个摘下灯笼的概率为．
【变式1】小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字之积为3的倍数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．这个游戏对公平吗？请说明理由．
【答案】公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，列表法或画树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有赢的机会，本题中即小明先挑选或小亮先挑选的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】解：根据题意可列表如下：
第一次 第二次 1 2 3 4
1 /
2 /
3 /
4 /
从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有6种，
∴；
则这个游戏公平．
【变式2】藏毯作为青海省非物质文化遗产项目之一，与波斯毯、东方毯并称为世界三大名毯．西宁作为藏毯之都，生产的藏毯已成为青海名副其实的特色产品，更是一张通往世界的“金名片”．
(1)为了调查一批藏毯的质量，质检人员从中随机抽取了100件产品进行检测．本次抽样调查的样本容量是________；
(2)6月10日是我国文化和自然遗产日．某校举办非遗文化进校园活动，决定从A，B，C，D四名同学中随机抽取两人作为“小小宣传员”，为大家介绍青海藏毯文化．请用画树状图或列表的方法求出A，B两人同时被选中的概率．
【答案】(1)100
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、样本容量，解答本题的关键是明确题意，画出相应的表格，求出相应的概率．
（1）根据样本容量的定义，可以写出本次抽样调查的样本容量；
（2）根据题意，可以画出相应的表格，然后求出相应的概率即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
本次抽样调查的样本容量是100，
故答案为：100；
（2）根据题意列表如下：
第一人
A B C D
第二人 A —
B —
C —
D —
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中A，B两人同时被选中的结果共有2种，即，，
∴A，B两人同时被选中的概率为．
【变式3】三原色是指色彩中不能再分解的三种基本颜色，其中色光三原色分别为红、绿、蓝，这三种颜色按一定比例混合可以呈现其他颜色．现将正面写有红、绿、蓝字样的三张完全相同且不透明的卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)从三张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有“红”的概率为______；
(2)先从三张卡片中随机抽取一张，记下颜色后放回、洗匀，再重新抽取一张，记下颜色．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的概率．（已知红配绿呈黄色）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到的卡片上写有“红”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到的卡片上写有“红”的结果有1种，
抽到的卡片上写有“红”的概率为．
故答案为：．
（2）解：列表如下：
红 绿 蓝
红 （红，红） （红，绿） （红，蓝）
绿 （绿，红） （绿，绿） （绿，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，绿） （蓝，蓝）
共有9种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的结果有：（红，绿），（绿，红），共2种，
抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的概率为．
考点5：游戏的公平性判断
典例5：有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上，，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
【答案】树状图或列表见解析，不公平．改成：若这两数的商为负整数，则小贝赢；否则小晶赢．（改的公平即可）．
【分析】本题考查的是游戏的公平性问题，利用列表法与画树状图的方法求解随机事件的概率，先列表得到所有的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可；
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能事件，小贝赢即商是负整数的有6种等可能结果，小晶赢所即商为正数有5种等可能结果；
所以：，，
所以，
所以游戏不公平．
修改规则如下：若这两数的商为负整数，则小贝赢；否则小晶赢．
【变式1】第十六届中国昆明新春购物博览会于2024年1月23日－2月7日举行，展期16天，为大家呈现一个集传统手工艺、传统美食、传统春节习俗为一体的春节文化体验．某商家为了促销，开展“砸金蛋送优惠券”的活动，即购物超200元的顾客可获得一次砸金蛋的机会．刘爷爷和张爷爷购物都超过了200元，商家共提供了4个金蛋，只有1个金蛋有优惠券．（记有优惠券的金蛋为A，其余金蛋分别为）
(1)请用列表法或画树状图法，列出刘爷爷和张爷爷砸金蛋所有可能出现的结果；
(2)当商家让刘爷爷先砸时，张爷爷认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得优惠券的概率的角度说明张爷爷的质疑是否合理．
【答案】(1)见解析
(2)不合理，理由见详解
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法和用概率公式求解概率，
根据树状图画法画图即可，然后将所有的可能结果均列出；
按照概率公式将刘爷爷和张爷爷获得优惠券的概率求出进行对比即可．
【详解】（1）解：树状图如图所示
由树状图可知，共有12种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，，；
（2）由树状图可知，刘爷爷先砸时，获得优惠券的概率为，张爷爷获得优惠券的概率为，
则两人获得优惠券的概率相等，
故张爷爷的质疑不合理．
【变式2】小明和小颖都想参加学校杜团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小明去参加活动；转到3的倍数，小颖去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘．
(1)转盘转到号码7的概率是____________．
(2)转盘转到2的倍数的概率是多少？
(3)你认为这个游戏对小明和小颖公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)游戏不公平，理由见解析
【分析】本题考查概率，解本题的关键在正确找出所有可能的结果．概率公式等于所求情况数与总情况数之比．
（1）利用直接列举法求概率即可；
（2）分别写出所有可能的结果和的倍数的结果，然后根据概率公式即可计算出转到的倍数的概率；
（3）根据题意，可得共有种等可能的结果，然后再分别表示出2的倍数结果和的倍数的结果，再利用概率公式计算出两人去参加活动的概率，再进行比较即可判断．
【详解】（1）解：一个转盘9等分，共有中等可能结果，随意转动转盘，转到有种情况，
∴转盘转到号码7的概率是；
（2）转动九等分转盘，共有1、2、3、4、5、6、7、8、9，9种等可能的结果，其中2的倍数有4个，分别是2、4、6、8，
所以P（转到2的倍数；
（3）游戏不公平，理由如下：
由（2）可知小明去参加活动的概率为，
由于3的倍数有3、6、9共3种可能，
所以P（转到3的俗数），
所以小颖去参加活动的概率为，
因为，
所以游戏不公平．
【变式3】如图，一个均匀的转盘被平均分成了等份，分别标有这个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）．
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面三种中选一种：．猜“是的倍数”；．猜“是大于等于的数”；．猜“是偶数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由．
【答案】应选择方式，理由见解析
【分析】本题考查了游戏的公平性，分别求出每一种方式获胜的概率即可判断求解，掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：应选择方式，理由如下：
由题意可得，，，，
∵，
∴方式获胜的可能性更大，
∴应选择方式．
考点6：以频率估计概率
典例6：如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：
转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000
转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667
转到黄色区域的频率
(1)下列说法错误的是______（填写序号）．
①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域；
②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数；
③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10．
(2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）；
(3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可．
【答案】(1)①③
(2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为
(3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同
【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可；
（3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误；
②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确；
③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①③．
（2）解：，
故．
（3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【变式1】一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表
摸球次数
白球频率
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 （精确到）左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是 ．
(2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列表法或树状图求摸到个蓝球、个白球率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图法求概率，概率公式．
（1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近，根据利用频率估计概率，可估计摸到蓝球的概率为；
（3）先画树状图法得出所有种等可能的结果数，再找出摸到个蓝球、个白球的结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近；则摸到蓝球的概率为；
故答案为：，．
（2）解：由（1）得摸到白球的概率率为，
所以可估计口袋中白球有（个），蓝球的个数有个；
将第一个口袋中个白球分别记为，，，蓝球记为，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中摸到个蓝球、个白球的情况有种．
∴摸到个蓝球、个白球的概率为．
【变式2】某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705
(1)计算并完成表格：
(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？（精确到）
(3)转动转盘一次，估计指针落在“铅笔”的概率．（精确到）
【答案】(1)计算及完成后的表格见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，有理数的除法运算等知识点，读懂表格，从表格中得到必要的信息是解题的关键．注意，频率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据频率的算法“频率频数总数”，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可知当很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可．
【详解】（1）解：落在“铅笔”的频率，
故答案为：，
完成后的表格如下：
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701
（2）解：根据频率的定义，可知当很大时，频率将会接近其概率，
当很大时，频率将会接近；
（3）解：由上可知，获得铅笔的概率约是，
转动转盘一次，指针落在“铅笔”的概率约是．
【变式3】某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数 50 100 200 400 800 1000
落在“牛奶”区域的次数 30 61 119 242 603
落在“牛奶”区域的频率 0.6 0.61 0.59 0.59 0.603
(1)完成上述表格，其中______，______；
(2)请估计当很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______；
(3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
【答案】(1)0.605；472
(2)0.6；0.6
(3)
【分析】本题考查了利用频率估计概率，扇形统计图，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数；
（2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“牛奶”的概率约是0.6；
（3）可根据获得“面粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“面粉”区域的扇形的圆心角．
【详解】（1）；，
故答案为：0.605；472；
（2）估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是0.6，
故答案为：0.6；0.6；
（3），
所以表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是．
考点7：统计概率综合
典例7：新春佳节，临沂琅琊古城吸引了众多外地市民前来寻找年味，快乐过节．作为山东文旅开年的扛鼎之作，琅琊古城自年月日起正式开城迎客，为临沂市再添文旅新地标．某学习小组对景点演出中的校场演兵、国秀琅琊、扶摇云裳、只此琅琊，这四个节目开展我最喜欢的演出节目调查．随机调查了部分游客，每位游客必须且只能选择这四个节目中的一个，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
(1)本次共调查了______名游客；并将条形统计图补充完整；
(2)组所对应的扇形圆心角为______度；
(3)若某天游客达到万人次，则该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数约为多少人？
(4)若某游客从中任选两个表演节目来观看，恰好选到国秀琅琊和只此琅琊的概率为多少？
【答案】(1)，图见解析
(2)
(3)万
(4)
【分析】（1）先由节目的人数及其所占百分比可得总人数，于是可求出节目的人数，据此即可补全条形统计图；
（2）由节目的人数和总人数可求出节目人数所占百分比，进而可求出其对应的扇形圆心角；
（3）由节目的人数和总人数可求出节目人数所占百分比，利用样本估计总体即可求出该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数；
（4）利用树状图得出所有可能，进而求出概率．
【详解】（1）解：由图可知，节目的人数为，其所占百分比为，
游客总人数（名），
故答案为：；
节目的人数游客总人数节目的人数节目的人数节目的人数
（名），
故补全条形统计图如下：
（2）解：节目人数所占百分比节目的人数总人数
，
组所对应的扇形圆心角，
故答案为：；
（3）解：节目人数所占百分比节目的人数总人数
，
该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数（万），
答：该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数约为万；
（4）解：画树状图如下：
恰好选到国秀琅琊和只此琅琊的概率为．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合应用，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体，树状图法求概率等知识点，利用条形统计图与扇形统计图得出正确信息是解题的关键．
【变式1】为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：，. ，，，，，，，，，，，
整理数据：甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下：
组别
甲 4 11 13 10 2
乙 6 3 15 14 2
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
量 平均数 众数 中位数 方差
甲 74.5 86 m 47.5
乙 73.1 84 76 23.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）；
(2)在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）；
(3)甲校有名学生都参加此次测试，如果成绩达到分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数．
(4)成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲校、乙校各一名同学的概率．
【答案】(1)；；乙
(2)甲
(3)人
(4)
【分析】本题考查了中位数、方差、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中位数的定义即可得出的值，根据乙校成绩在所占比例乘以即可得出圆心角度数，根据方差的意义即可得解；
（2）根据中位数进行比较即可得解；
（3）由样本估计总体的思想求解即可；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：把甲校名学的数学从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数．
故答案为：；
乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是，
故答案为：；
甲校成绩的方差乙校成绩的方差，
本次测试成绩更整齐的是乙校．
故答案为：乙；
（2）解：在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是甲校的学生，
理由：甲校的中位数是，乙校的中位数是，，故该学生是甲校的学生；
故答案为：甲；
（3）解：人，
答：估计甲校能参加第二轮比赛的人数约有人．
（4）解：画树状图如图：
共有种等可能的结果数，其中甲校、乙校各一名同学的结果数为，
甲校、乙校各一名同学的概率．
【变式2】为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“错题集”的展示活动，对该校部分学生“错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
整理情况 频数 频率
非常好 ______
较好 ______
一般 ______ ______
不好 ______
(1)补全统计表，本次抽样共调查了多少本学生的错题集？
(2)该校有名学生，每名学生都有整理错题集，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的错题集一共约多少本？
(3)某学习小组名学生的错题集中，有本“非常好”（ 记为，），本“较好”（ 记为），本“一般”（ 记为），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．
【答案】(1)，，，，；本
(2)本
(3)
【分析】本题考查频数与频率，样本估计总体，列表法与画树状图法法求概率等知识，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
（1）根据较好的部分对应的圆心角即可求得对应的百分比，即可求得总数，然后根据，即可求解；
（2）利用总人数乘以对应的频率即可；
（3）利用树形图方法，利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：较好的所占的比例是：，
则本次抽样共调查的错题集数是：本；
整理情况 频数 频率
非常好 42 0.21
较好 70 0.35
一般 52 0.26
不好 36 0.18
非常好的频数是：本，
一般的频数是：本，
较好的频率是：，
一般的频率是：，
不好的频率是：；
故答案为：，，，，；
（2）解：该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生错题集一共约有本，
（3）解：共有种等可能的结果，其中种是非常好的，
则两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是：．
【变式3】成都大运会闭幕式上，最后出场的“花花”流下的两滴“泪水”表达了不舍的情绪，让人非常感动．花花作为成都大熊猫繁育研究基地的“顶流明星”，无数游客前去成都大熊猫繁育研究基地看花花，园区采用单循环的观赏模式，每名左右游客看熊猫时间3分钟，保证不会有人群杂音、闪光灯等干扰到幼年熊猫的休息．某中学为了解学生对花花的喜爱程度，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为______人，扇形统计图中“喜欢”对应的扇形圆心角度数为______；
(2)若该校共有名学生，请你估计对花花的喜爱程度为“一般”的学生人数；
(3)本次调查中，“很喜欢”的4人中有一名男生和三名女生，若从中随机抽取两人前往成都大熊猫繁育研究基地观看花花，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)，
(2)人
(3)
【分析】（1）由题意知，本次调查的学生总人数为（人），扇形统计图中“喜欢”对应的扇形圆心角度数为，计算求解即可；
（2）根据，计算求解即可；
（3）记男生为，女生分别为，依题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】（1）解：由题意知，本次调查的学生总人数为（人），
扇形统计图中“喜欢”对应的扇形圆心角度数为，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴名学生中估计对花花的喜爱程度为“一般”的学生人数人；
（3）解：记男生为，女生分别为，
依题意画树状图如下；
∴共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生共有6种等可能的结果，
∵，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握条形统计图、扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键．
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