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专题06 一元二次方程单元过关（培优版）
考试范围：第二十一章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
2．已知x1，x2是方程的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．4
3．若实数a，b，x满足，，则多项式的值可能为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
6．某县第一中学学校管理严格、教师教学严谨、学生求学谦虚，三年来中考数学A等级共728人．其中2016年中考的数学A等级人数是200人，2017年、2018年两年中考数学A等级人数的增长率恰好相同，设这个增长率为x，根据题意列方程，得（ ）
A． B． C． D．
7．配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：
①用配方法解方程，变形后的结果是；
②已知方程可以配成，那么可以配成；
③若关于的方程有实数根，则；
④若可以配成形如的形式，则；
⑤用配方法可以求得代数式的最小值是1．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知是方程的根，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
9．如图：一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行 1个点，第二行2个点 ……第行有个点……，若10 是前4行之和，则465是前（ ）行之和.
A．20 B．25 C．28 D．30
10．如图，在中，，．点是上一点，连接，将沿折叠至．连接，，平分交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．元旦晚会，全班同学互赠贺卡，若每两个同学都相互赠送一张贺卡，小明统计全班共送了1640张贺卡，那么全班有多少人？设全班有x人，则根据题意可以列出方程 .
12．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则ab的值是 ．
13．若关于x的一元二次方程只有一个实数解，则m的值是 ．
14．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m2，请求出原来大矩形空地的长和宽．
(1)请找出上述问题中的等量关系：_________________；
(2)若设大矩形空地的宽为xm，可列出的方程为_____________，方程的解为__________，原来大矩形空地的长和宽分别为_________．
15．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意列出方程（化为一般式） ．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
评卷人得分
三、解答题
17．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
（3）（x+1）（x+7）＝﹣9
18．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”．
(1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号）
① ② ③；
(2)若方程是“差方程”，求的值．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
20．计算
(1)化简：
(2)小华在解方程时，解答过程如下：
解：移项，得 第一步
两边开平方，得 第二步
所以 第三步
“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．
21．成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．
（1）求各通道的宽度；
（2）现有一工程队承接了对这的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了的绿化任务后，将工作效率提高，结果提前天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
22．【综合与实践】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程（）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
【操作判断】）（1）小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，进而得到原方程的根为， ．
【实践探究】（2）小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如，这个方程利用公式法或者配方法可得：，，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对进行因式分解得到，请你利用这个方法对进行因式分解．
【问题解决】（3）小彬：从特殊到一般，是否所有的代数式（）都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？
23．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）若假设降价元，此时每天可销售商品_______件，
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？每件盈利________元．
（3）已知该商品的原价为169元，为达到（2）中的日盈利目标，商场准备分2次降价，那么平均每次应降价百分之多少？（结果精确到0.1%）
24．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元．
(1)若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为___________元（直接写出结果）．
(2)若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？
25．如图，在矩形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点在坐标轴上，点P在边上，直线，直线．
（1）分别求直线与x轴，直线与的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线上的点，若是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）已知矩形的顶点N在直线上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值范围．
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专题06 一元二次方程单元过关（培优版）
考试范围：第二十一章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义则，再根据一元二次方程有实数根，则，即可得到的范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，本题的关键是理解一元二次方程有实数根，包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况．
2．已知x1，x2是方程的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．4
【答案】A
【分析】由根与系数的关系可求得和的值，再对变形为代入数据即可得出结论．
【详解】∵，是方程的两根，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式的应用，解题的关键是根据根与系数的关系找出，．
3．若实数a，b，x满足，，则多项式的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将多项式进行变形，利用配方法可得，再根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
∵，
∴的最小值是．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据关于x的一元二次方程x2-ax=0的一个根是2，将x=2代入方程即可求得a的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-ax=0的一个根是2，
∴22-2a=0，
解得a=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
5．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把及图形按照样例那样去分析即可．
【详解】把方程变形得到，
如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，解得，小正方形边长为，故得的正数解为，
即，，
故选：C．
6．某县第一中学学校管理严格、教师教学严谨、学生求学谦虚，三年来中考数学A等级共728人．其中2016年中考的数学A等级人数是200人，2017年、2018年两年中考数学A等级人数的增长率恰好相同，设这个增长率为x，根据题意列方程，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用增长率x分别表示出2017年和2018年中考数学A等级的人数，再根据三年来中考数学A等级共728人即可列出方程．
【详解】解：2017年和2018年中考数学A等级的人数分别为：、，根据题意，得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题关键．
7．配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：
①用配方法解方程，变形后的结果是；
②已知方程可以配成，那么可以配成；
③若关于的方程有实数根，则；
④若可以配成形如的形式，则；
⑤用配方法可以求得代数式的最小值是1．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据配方法和完全平方式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴，故①正确；
∵可以配成，
∴，即，
∴即，可以配方为，即，故②错误；
∵关于x的方程，即方程有实数根，
∴，
解得，故③正确；
∵可以配成形如的形式，
∴是一个完全平方式，
∴，故④错误；
∵，，
∴，
∴的最小值为1，故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了配方法和完全平方式中的字母求值，熟知配方法是解题的关键．
8．已知是方程的根，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】由题意知x=3是方程x2-2x+a=0的一个根，再根据一元二次方程的根的定义求解，代入x=3，即可求出．
【详解】解：∵x=3是方程的根，
由一元二次方程的根的定义，可得，
32-2×3+a=0，
解此方程得到a=-3，
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，把解代入方程易得出a的值，属于基础题，比较简单．
9．如图：一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行 1个点，第二行2个点 ……第行有个点……，若10 是前4行之和，则465是前（ ）行之和.
A．20 B．25 C．28 D．30
【答案】D
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n行共有个点，则＝465，然后解方程得到n的值；
【详解】设三角点阵中前n行的点数的和为465，则有n（n+1）＝465，
整理这个方程，得：n2+n﹣930＝0
解方程得：n1＝30，n2＝﹣31，
根据问题中未知数的意义确定n＝30，即三角点阵中前30行的点数的和是465．
故选D．
10．如图，在中，，．点是上一点，连接，将沿折叠至．连接，，平分交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作EF⊥AC，EG⊥AB，通过勾股定理，求出AB，BC，的长度，E是∠BAC，的角平分线，得出AGEF为正方形，利用正方形性质及勾股定理即可求出答案．
【详解】解：作EF⊥AC，EG⊥AB，
由题得∠ABC=90°，，
∴∠BAC，=90°，BC=BC,，
∴AB：BC，=1:2，∠AC，B=30°，∠ABC，=60°，
又∵，
∴
∴
∴AB=,
∵AE是∠BAC，的角平分线
∴EG=EF，
∴四边形AGEF为正方形
设AG=x，∴FA=AG=GE=EF=x
FC,=，C,E=2x
∴
解得x=1或x= （舍去）
∴x=1，即FA=AG=GE=EF=1
AE为正方形AGEF的对角线
∴AE=．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查折叠的性质正方形的性质及勾股定理的应用，解题关键在于做出辅助线，得出AGEF为正方形．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．元旦晚会，全班同学互赠贺卡，若每两个同学都相互赠送一张贺卡，小明统计全班共送了1640张贺卡，那么全班有多少人？设全班有x人，则根据题意可以列出方程 .
【答案】x(x﹣1)＝1640
【分析】设全班有x人.根据互赠贺年卡一张，则x人共赠贺卡x(x﹣1)张，列方程即可.
【详解】解：设全班有x人.根据题意，得
x(x﹣1)＝1640，
故答案是：x(x﹣1)＝1640.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
12．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则ab的值是 ．
【答案】5
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴ab=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果，是方程的两根，那么，．
13．若关于x的一元二次方程只有一个实数解，则m的值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再解方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程只有一个实数解，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、解一元二次方程，熟记考查一元二次方程的根与判别式的关系得出关于m的一元二次方程是解题的关键．
14．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m2，请求出原来大矩形空地的长和宽．
(1)请找出上述问题中的等量关系：_________________；
(2)若设大矩形空地的宽为xm，可列出的方程为_____________，方程的解为__________，原来大矩形空地的长和宽分别为_________．
【答案】14.
【详解】试题分析：（1）原矩形面积－小路面积＝草坪面积.
（2）利用关系式列方程,并解方程.
试题解析：
(1)原矩形面积－小路面积＝草坪面积.
(2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312 ，x＝14或x＝－11(宽应为正数，故舍去),
所以，原来长宽是28 m、14 m.
点睛：一元二次方程与面积问题，可以把四个小面积合而为一，相当于宽变成x-2,长变成2x-2,所以面积是（x-2）(2x-2)=312，运算更简单.
15．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意列出方程（化为一般式） ．
【答案】x2﹣x﹣45＝0
【分析】设参加这次聚会的同学共有x人，则每个人握手（x﹣1）次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解．
【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人，
根据题意得，＝45，即x2﹣x﹣45＝0．
故答案为x2﹣x﹣45＝0．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，属于典型题，设未知数，找到等量关系，列出方程是解题关键.
16．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①④
【分析】①根据根的判别式即可作出判断；
②方程有两个不相等的实数根，则，当c=0时，cx2+bx+a=0为一元一次方程；
③若c是ax2+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断；
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则方程有实根，判别式，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
【详解】①根据公式法解一元二次方程可知，若a+c=0，且a≠0，∴a，c异号，∴，故此时有两个不相等的实数根，故选项①正确；
②若c=0，b≠0，则，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，方程cx2+bx+a=0仅有一个解，故选项②错误；
③将x=c代入方程ax2+bx+c=0，可得，即，解得c=0或ac+b+1=0，因此ac+b+c=0不一定成立，故选项③错误；
④∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，此时
，故选项④正确
故答案为①④．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系．
评卷人得分
三、解答题
17．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
（3）（x+1）（x+7）＝﹣9
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝5，x2＝；（3）x1＝x2＝﹣4
【分析】（1）等式两边同时加1，然后利用公式法解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可；
（3）整理后可以用公式法求方程的解．
【详解】解：（1）∵x2﹣2x=4，
∴x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
则x﹣1=，
即x1=1+，x2=1﹣；
（2）∵3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，
∴（x﹣5）（3x﹣13）=0，
则x﹣5＝0或3x﹣13=0，
解得x1=5，x2=；
（3）整理成一般式得x2+8x+16=0，
则（x+4）2=0，
解得x1=x2=﹣4．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，熟记解一元二次方程的几种方法是解此题的关键．
18．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”．
(1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号）
① ② ③；
(2)若方程是“差方程”，求的值．
【答案】(1)②
(2)或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键．
（1）分别求出方程的解即可判断；
（2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解．
【详解】（1）解：①，
，
∴，
，不是整数根，故①不是“差方程”；
②，
，
∴，
∴，故②是“差方程”；
③，
，
，
∴方程无整数根，故③不是“差方程”；
故答案为：②；
（2）解：方程因式分解得，
解得：，.
∵方程为“差方程”，
∴，
解得：或.
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据根的情况确定参数的范围，由即可求解；
（）利用根与系数的关系得出，解方程即可；
此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，，熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，
则，
解得：．
20．计算
(1)化简：
(2)小华在解方程时，解答过程如下：
解：移项，得 第一步
两边开平方，得 第二步
所以 第三步
“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．
【答案】(1)-1；
(2)二 ；正确的解答过程，见解析
【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；
（2）根据直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：
=-1；
（2）解：第二步开始出现错误；
正确解答过程：
移项，得（x+6）2=9，
两边开平方，得x+6=3或x+6=-3，
解得x1=-3，x2=-9，
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．
（1）求各通道的宽度；
（2）现有一工程队承接了对这的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了的绿化任务后，将工作效率提高，结果提前天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
【答案】（1）各通道的宽度为米；（2）原计划每天完成平方米的绿化任务.
【分析】（1）设各通道的宽度为x米，将四个小矩形合并成一个大矩形，则大矩形的长为(90-3x)cm，宽为(60-3x)cm，再根据矩形面积公式列方程求解即可；
（2）设该工程队原计划每天完成ym2的绿化任务，则按原计划完成任务需要天，完成的绿化任务需要天，提高工作效率后完成剩余工作量所需要的时间为天，再按照题干所给时间关系列出方程并求解即可.
【详解】解：（1）设各通道的宽度为x米，将四个小矩形合并成一个大矩形，则可得方程，
(90-3x)(60-3x)=4536，解得x=2或48(不合题意，舍去)，
故各通道的宽度为米；
（2）设该工程队原计划每天完成ym2的绿化任务，则由题干条件得，
，解得y=400m2/天，
经检验，y=400m2/天是原方程的解，并符合题意，
故原计划每天完成平方米的绿化任务.
【点睛】本题考查了一元二次方程和分式方程的应用，注意一元二次方程的两个根需要符合实际意义及题目要求，分式方程的根需要检验.
22．【综合与实践】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程（）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
【操作判断】）（1）小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，进而得到原方程的根为， ．
【实践探究】（2）小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如，这个方程利用公式法或者配方法可得：，，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对进行因式分解得到，请你利用这个方法对进行因式分解．
【问题解决】（3）小彬：从特殊到一般，是否所有的代数式（）都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？
【答案】（1）（2）（3）要满足，
【分析】
本题考查解一元二次方程和因式分解：
（1）根据两数之积为0，则其中一个因数为0，作答即可；
（2）配方法求出的两个根，再进行因式分解即可；
（3）根据公式法解一元二次方程，再进行因式分解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴或，
∴，；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当有实数根时，，
此时的根为：，
∴当时，代数式（）都能进行因式分解，
∴．
23．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）若假设降价元，此时每天可销售商品_______件，
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？每件盈利________元．
（3）已知该商品的原价为169元，为达到（2）中的日盈利目标，商场准备分2次降价，那么平均每次应降价百分之多少？（结果精确到0.1%）
【答案】（1）（40+2x）；（2）25元，35；（3）7.7%
【分析】（1）利用原来每天销售的商品件数40+2×降价的钱数即可表示；
（2）根据日盈利=每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40+2×降价的钱数），把相关数值代入求解即可；
（3）设平均每次应降价y，利用2次降价后的售价为169-25可得方程，解之即可．
【详解】解：（1）若假设降价元，
此时每天可销售商品（40+2x）件；
（2）设降价x元，由题意得：（60-x）（40+2x）=3150，
化简得：x2-40x+375=0，
解得：x1=15（舍），x2=25，
则每件盈利60-25=35元；
（3）设平均每次应降价y，
由题意得：，
解得：y=≈7.7%或y=（舍），
∴平均每次应降价7.7%．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
24．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元．
(1)若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为___________元（直接写出结果）．
(2)若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？
【答案】(1)
(2)
(3)99或72
【分析】(1) 对于B场门票，求得当时，票价与购票人数之间的函数关系式，把代入即可；
(2) 对于A场门票，求得时，票价与购票人数之间的函数关系式，把代入即可求解；
(3) 设观看A场比赛的人数为人，，则观看B场比赛的人数为人，根据题意应分两种情况：第一种情况：当；第二种情况：当时分别列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：对于B场门票，当时，票价与购票人数之间的函数关系式为，
∵该直线过点(70，240)，(0，450)，
∴可得 ，解得，
∴，
∴当时，，
∴一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为元，
故答案为：；
（2）解：对于A场门票，当时，票价与购票人数之间的函数关系式为，
∵该直线过点(30，400)，(70，200)，
∴可得 ，解得，
∴，
∴当 时，，
∴若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用元；
（3）解：设观看A场比赛的人数为人，，则观看B场比赛的人数为人，根据题意应分两种情况：
第一种情况：当，
由题意得，
解得，
∴观看了B场比赛的有人；
第二种情况：
当时，由题意得，
解得(不合题意舍去)，
∴观看B场比赛的人数有人，
综上可得，观看A场比赛的人数不足50人，则有人或72人观看了B场比赛．
【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数的解析式及一次方程的应用，分类讨论分段求解是解题的关键．
25．如图，在矩形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点在坐标轴上，点P在边上，直线，直线．
（1）分别求直线与x轴，直线与的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线上的点，若是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）已知矩形的顶点N在直线上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值范围．
【答案】（1）直线l1与x轴交点坐标为（，0），直线l2与AB的交点坐标为（1，1）；（2）（2，3）或（，）；（3）≤x≤或≤x≤
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；
（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．
【详解】解：（1）将y=0代入直线l1：当y=0时，2x+1=0，
则直线l1与x轴交点坐标为（，0），
直线l2：当y=1时，2x-1=1，即x=1，
则直线l2与AB的交点坐标为（1，1）；
（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，
如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，
∴△APM不可能是等腰直角三角形，
∴点M不存在；
②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，
过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵∠APM=∠APB+∠MPN=90°，∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠MPN，又AP=PM，∠ABP=∠MNP=90°，
∴Rt△ABP≌Rt△PNM（AAS），
∴AB=PN=2，MN=BP，
设M（x，2x-1），则MN=x-2，
∴2x-1=2+1-（x-2），
∴x=2，
∴M（ 2，3）；
③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，
设M1（x，2x-1），
过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，
同②可得：Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，
∴AG1=M1H1=1-（2x-1），
∴x+1-（2x-1）=2，
解得，x=0，
∴M1（0，-1）（不合题意舍去）；
设M2（x，2x-1），
同理可得x+2x-1-1=2，
∴x=，
∴M2（，）；
综上所述，点M的坐标为（2，3）或（，）；
（3）当点N在直线l2上时，
∵点N的横坐标为x，
∴N（x，2x-1），
当点P和点B重合时，P（2，1），
∴AP的中点G坐标为（1，1），
∵四边形ANPQ是矩形，
∴∠ANB=90°，
∴NG=AP=1，
∴（x-1）2+（2x-1-1）2=1，
∴x=（点N在AB上方的横坐标）或x=（点N在AB下方的横坐标），
当点P和点C重合时，P（2，0），AP的中点G'坐标为（1，），
同理：NG'=AP=，
∴（x-1）2+（2x-1-）2=，
∴x=（和点N在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或x=（和点N在AB下方构成的四边形是矩形的横坐标），
∴≤x≤或≤x≤．
【点睛】本题考查了四边形综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
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