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微专题01 配方法、△的应用通关专练
一、单选题
1．下列关于x方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．在正比例函数中，若y的值随x的值的增大而减小，则二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定
6．若实数m满足二次根式有意义，且使得一元二次方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数m有（ ）个
A．7 B．6 C．4 D．3
7．关于的方程的根的判别式是（ ）
A． B． C． D．
8．一元二次方程（x+1）（x-2）=-3x-3的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．已知关于的方程有且只有一个根（相同的两个根视为一个根），则的值为（ ）
A． B． C． D．或
10．一元二次方程x2+mx+1＝0有实数根，不等式组有解，则m应满足的条件是（ ）
A．m≥2 B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或2≤m≤3 D．2≤m＜3
11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
12．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A． B．
C． D．
13．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
14．关于x的一元二次方程x2-（k+4）x+2k=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
15．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
16．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与a的取值有关
17．若一元二次方程的系数满足，则方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
18．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
19．已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
20．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
二、填空题
21．代数式-有最 值为 ．
22．若方程有实数根，则b的取值范围是 ．
23．无论x取何值，总有意义，则m的取值范围是 .
24．有，两个黑布袋，布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字，，，；布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字，，．小明先从布袋中随机取出一个小球，用表示取出的球上标有的数字，再从布袋中随机取出一个小球，用表示取出的球上标有的数字．若用表示小明取球时与的对应值，则使关于的一元二次方程有实数根的概率为 ．
25．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
26．方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．该方程判别式的值为 ，由此可以判断它的根的情况为 ．
27．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是 ．
28．若关于x的方程：a（x＋m）2＋b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝－2，x2＝1，则方程：a（x＋m－2）2＋b＝0的解 ．
29．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0，当m取 时，方程有两个相等的实数根．
30．若二次三项式在实数范围内能因式分解，则的最大整数解为 ．
31．解为个时，求 ．
32．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝﹣x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为 ．
33．方程的根的情况是 .
34．如果关于x的方程有两个实数根，那么实数k的取值范围为 ．
35．一元二次方程的根的判别式 0（填“”，“”或“”）．
三、解答题
36．证明：无论取何值时恒有实数根．
37．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）试说明无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2016的值．
38．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）如果是方程的一个根，求的值及方程的另一个根.
39．已知时，二次三项式的值等于4．
（1）x为何值时，这个二次三项式的值为3；
（2）是否存在x的值，使得这个二次三项式的值为？说明理由．
40．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
41．阅读下面方法，解答后面的问题：
【阅读理解】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例题：已知x可取任意实数，试求二次三项式的取值范围．
解：
∵x取任何实数，总有，∴．
因此，无论x取任何实数，的值总是不小于-4的实数．
特别的，当x=3时，有最小值-4
【应用1】：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ）
A．有最大值-10 B．有最小值-10 C． 有最大值-7 D．有最小值-7
【应用2】：某品牌服装进货价为每件50元，商家在销售中发现：当以每件90元销售时，平均每天可售出20件，为了扩大销售量，增加盈利，商家决定采取适当的降价措施．
（1）将市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天那就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利为1200元，我们设降价x元，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
（2）请利用上面【阅读理解】提供的方法解决下面问题：
这家服装专柜为了获得每天的最大盈利，每件服装需要降价多少元？每天的最大盈利又是多少元？
42．已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．
43．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
44．已知关于的一元二次方程
(1)试判断上述方程根的情况．
(2)已知的两边的长是关于上述方程的两个实数根，的长为5．
①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②当为何值时，是等腰三角形？请求出此时的周长．
45．关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，且，求n的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，一次函数和．
①求证：一次函数的图象经过点．
②当时，试比较与的大小．
46．已知关于的一元二次方程
(1)若方程有两个不相等的实数根， 求k的取值范围 ．
(2)若方程的一个根为，求k的值和方程的另一个根；
47．已知方程是关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求实数k的值及方程的另一个根．
48．已知关于的方程有两个不相等的实数根 ．
（1）求的取值范围；
（2）亮亮在通过变化的值研究二次函数的图象时发现，这些函数图象都过点，若函数的图象也经过点，求的值 ．
49．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
50．已知方程：x2﹣2x﹣8=0，解决以下问题：
（1）不解方程判断此方程的根的情况； 请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．
（2）这些方法都是将解 转化为解 ；
（3）尝试解方程：x3+2x2+x=0．
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微专题01 配方法、△的应用通关专练
一、单选题
1．下列关于x方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A中方程，移项并平方可得一次方程，求解得的值，判断将代入原方程中算术平方根是否有意义，若有则存在实数根；B中方程，移项并平方可得一次方程，该一次方程无解，故原方程无实数根；C中方程平方移项得x2﹣5x+7＝0，由于，此方程无实数根，故原方程无实数根；D中方程平方移项得x2﹣7x+11＝0，由于，可得此方程的解是：或，判断将代入原方程中算术平方根是否有意义，若有则存在实数根．
【详解】解：A中∵
∴
平方得
解得x＝2.5
∵2﹣x＜0，算术平方根无意义
∴原方程无实数根， 故本选项不符合题意；
B中∵
∴
平方得
∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；
C中∵
平方移项得x2﹣5x+7＝0
∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D中∵
平方移项得x2﹣7x+11＝0
∴方程的解是：或
∵，
∴原方程有实数根，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了无理方程，一元二次方程的根，算术平方根的非负性等知识．解题的关键在于正确的进行求解．
2．关于一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键．
首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可．
【详解】∵
∴
∴
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解： ，
一元二次方程的根的情况是有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
5．在正比例函数中，若y的值随x的值的增大而减小，则二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一次函数的图象与性质以及二次函数图象与x轴交点问题．由在正比例函数中，y的值随x值的增大而减小，可得，再令，从而可判断关于x的一元二次方程根的判别式，即可得答案．
【详解】解：∵在正比例函数中，y的值随x值的增大而减小，
∴，
二次函数中，令，得，
关于x的一元二次方程根的判别式，
∵时，，
∴，
∴关于x的一元二次方程根有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
6．若实数m满足二次根式有意义，且使得一元二次方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数m有（ ）个
A．7 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义可求出m的取值范围，再根据一元二次方程有两个不相等的实数根得m的另一个取值范围，再确定公共部分即可解决问题．
【详解】解∵二次根式有意义，
∴
∴
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
整理得，
∴
∴
∵
∴整数m为-3，-2，-1，0，共4个，
故选C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的差别式，以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解答本题的关键
7．关于的方程的根的判别式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：
∴根的判别式是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．一元二次方程（x+1）（x-2）=-3x-3的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．
【详解】解：化为一般形式为，
其中，， ，
，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键．
9．已知关于的方程有且只有一个根（相同的两个根视为一个根），则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解，根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根，解一元一次一次方程即可得出结果．
【详解】解：当时，原方程为：，
解得：，此时有且只有一个根；
当时，原方程为：，即为一元二次方程，
一元二次方程有且只有一个根，
，
，即，
，
综上，或时，关于的方程有且只有一个根，
故选：D．
10．一元二次方程x2+mx+1＝0有实数根，不等式组有解，则m应满足的条件是（ ）
A．m≥2 B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或2≤m≤3 D．2≤m＜3
【答案】C
【分析】由方程有实数根可得Δ≥0，列出关于m的不等式，得出m的范围，分别解出不等式组中的两个不等式，确定m的范围即可.
【详解】∵方程x2+mx+1=0有实数根，
∴Δ=m2﹣4≥0，
解得m≤﹣2或m≥2，
分别解出不等式组的两个不等式：x≥m，x≤3，
∵不等式组有解，
∴2≤m≤3或m≤﹣2.
故选C.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程的解的情况确定出m的范围，再结合不等式组的解的情况最终确定m的范围.
11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有不相等的实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
故选：C．
12．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系，要使一元二次方程中两实数根之和为2，必有且： 分别计算即可判断．
【详解】解：A.方程中，，但两根之和为，不符合题意；
B.方程中，，但两根之和为0，不符合题意；
C.方程中，，不符合题意;
D.方程 中且两根之和为2，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了根与系数的关系，要掌握根与系数的关系式： ．
13．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．计算出的值即可得到答案．
【详解】解：，
故方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
14．关于x的一元二次方程x2-（k+4）x+2k=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】先根据根的判别式求出“”，再判断的符号即可得到答案．
【详解】∵
∴＞0
∴方程有两个不相等实数根．
故选：B．
【点睛】本题是对根的判别式的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
15．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【详解】解： ，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
16．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与a的取值有关
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；”结合原方程列出判别式即可解题．
【详解】解：由题可得：
，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
17．若一元二次方程的系数满足，则方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
【答案】D
【分析】先根据判断出，所以无法判断的取值范围，从而得出答案．
【详解】∵，
∴、同号，即．
∴．
又∵，
∴无法判断与的大小．
∴无法判断的取值范围．
∴无法判断一元二次方程的根的情况．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握的取值范围与一元二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键．
18．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，整理方程得到一般形式，计算根的判别式即可得到答案．
【详解】解：整理得，
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A
19．已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根，
∴m-1≠0，且Δ=22-4×(m-1)×1≥0，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
20．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
【详解】解：由题意知：，，
∴且．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，记住根的判别式是解题关键．
二、填空题
21．代数式-有最 值为 ．
【答案】 大
【分析】设y=，将其配方化成a(x-h)2+k形式，根据a的符号和二次函数的性质性质求解即可．
【详解】设y=
则：y==，
∵﹤0，
∴当x=1时，y=取得最大值，
故答案为：大，．
【点睛】本题考查配方法的应用、求二次函数的最值，熟练掌握配方法和求二次函数的最值方法是解答的关键．
22．若方程有实数根，则b的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的判别式．
首先把方程化为一般形式，再根据方程有实数解可得，再代入相应数据进行计算即可．
【详解】∵
∴，
∵方程有实数解，
∴，
解得：，
故答案为：．
23．无论x取何值，总有意义，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，因此列出方程可求解.
【详解】解：根据题意得：中，
解得：．
即当时，，分式一定有意义.
故答案是：
【点睛】本题考查了分式有意义的条件以及二次方程有解的条件，转化为一元二次方程的解的问题是关键．
24．有，两个黑布袋，布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字，，，；布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字，，．小明先从布袋中随机取出一个小球，用表示取出的球上标有的数字，再从布袋中随机取出一个小球，用表示取出的球上标有的数字．若用表示小明取球时与的对应值，则使关于的一元二次方程有实数根的概率为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果，根据树状图，即可求得关于x的一元二次方程有实数根的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】根据题意画出树状图如下：
由图可知，数对共有12中等可能结果，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∵在数对的12种等可能结果中，能使有：，共计10种，
∴能使关于x的一元二次方程有实数根的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及一元二次方程根的判别式的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是能根据题意画出符合要求的树状图，知道使一元二次方程有实数根的条件．
25．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据根的判别式，即可得出，求解可得出的取值范围．
【详解】解：∵关于的方程有有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次函数根的判别的应用，根据根的情况列出判别式，求解不等式即可．
26．方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．该方程判别式的值为 ，由此可以判断它的根的情况为 ．
【答案】 2 -6 3 12 有两个不相等的实数根
【分析】先将方程化为一般形式，再计算出判别式的值，根据结果判断根的情况．
【详解】解：化简可得：，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为3，
该方程判别式的值为，
由此可以判断它的根的情况为：有两个不相等的实数根，
故答案为：2；-6；3；12；有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握定义和根的判别式．
27．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
28．若关于x的方程：a（x＋m）2＋b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝－2，x2＝1，则方程：a（x＋m－2）2＋b＝0的解 ．
【答案】0或3
【分析】把后面一个方程中的x＋2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】∵关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝2，x2＝ 1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x＋m-2）2＋b＝0变形为a[（x-2）＋m]2＋b＝0，即此方程中x-2＝-2或x-2＝1，
解得x＝0或x＝3，
故答案为： 0或3．
【点睛】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
29．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0，当m取 时，方程有两个相等的实数根．
【答案】-2
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）=8m+16=0，
解得：m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
30．若二次三项式在实数范围内能因式分解，则的最大整数解为 ．
【答案】
【分析】由二次三项式在实数范围内可以因式分解，可得是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．
【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内可以因式分解，
∴是一元二次方程且在实数范围内有解，
∴，，
解得 且，
所以的最大整数解为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键．
31．解为个时，求 ．
【答案】
【分析】利用或根的情况即可或者利用图象解答即可．
【详解】法一：由题意知大于；则或，有一个方程有个相等的根，另一个方程有个不相等的根；若第个方程有个相等的根，则，求得（舍去）；第2个方程有2个相等的根，则，求得；代入第1个方程，有个不相等的根，成立，所以；
法二：与图象有三个交点，此时．
【点睛】此题考查了二次函数图象与一元二次方程解的情况，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程及其应用．
32．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝﹣x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为 ．
【答案】3
【分析】分别以A、B、C为三角形顶角顶点，根据平面直角坐标中两点距离公式，列出方程求解即可．
【详解】解：如图所示：
∵动点C在直线y＝﹣x上，
设点C坐标为（x，﹣x），
分三种情况讨论：
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=6-2=4，
当AC＝AB时，根据勾股定理，得
（x-0）2+(-x-2)2=AC2=AB2=42，
整理得，（﹣x﹣2）2+x2＝42，
解得，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
所以点C的坐标分别为：（﹣1+，1﹣）、（﹣1﹣，1+）．
当BC＝AC时，点C在AB中垂线上，
点C纵坐标为（6+2）÷2=4，点C（﹣4，4）；
当BC＝AB时，（﹣x﹣6）2+x2＝42
整理，得x2+6x+10＝0，
实数范围内此方程无解，
这种情况不存在，
所以点C的个数为3个．
故答案为3．
【点睛】本题考查了直线上与已知两点组成等腰三角形的点，已知两点坐标用勾股定理求两点距离，用公式法解一元二次方程，根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，分类讨论是解决本题的关键．
33．方程的根的情况是 .
【答案】有两个相等的实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
方程有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式：时，方程有两个不相等是实数根；时，方程有两个相等是实数根；时，方程无实数根．
34．如果关于x的方程有两个实数根，那么实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据x的方程有两个实数根，得，代数化简计算，即可作答．
【详解】解：∵有两个实数根
∴
解得
故答案为：
35．一元二次方程的根的判别式 0（填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】根据根的判别式等于，代入求值即可．
【详解】解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
故答案为：=．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式是是解题的关键．
三、解答题
36．证明：无论取何值时恒有实数根．
【答案】见解析
【分析】当k=0，方程式一元一次方程，有实数根；根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论．
【详解】证明：当k=0，方程式一元一次方程，有实数根；
当k≠0时，
，
方程有实数根．
综上所知，无论k取何值时恒有实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
37．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）试说明无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2016的值．
【答案】（1）无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）2000．
【详解】试题分析：（1）先找出a=1，b=2m，c=m2﹣1，再代入根的判别式进行判断；
（2）首先求出m2+6m=﹣10，再整体代值计算即可．
解：（1）因为a=1，b=2m，c=m2﹣1，
所以b2﹣4ac=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0．
所以无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）因为方程有一个根为3，
所以9+6m+m2﹣1=0，即m2+6m=﹣10．
所以2m2+12m+2016=2（m2+6m）+2016=﹣16+2016=2000．
考点：根的判别式；一元二次方程的解．
38．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）如果是方程的一个根，求的值及方程的另一个根.
【答案】（1）.（2）m=1;另一根为2.
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2-4（m-1）＞0，然后解不等式即可；
（2）先根据方程的解的定义把x=0代入原方程求出m的值，则可确定原方程变为x2-2x=0，然后利用因式分解法解方程得到方程的另一根．
【详解】解：（1）由题意得：.
,
.
.
（2）将代入原方程得：.
将代入原方程得：.
.
,.
另一根为2.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
39．已知时，二次三项式的值等于4．
（1）x为何值时，这个二次三项式的值为3；
（2）是否存在x的值，使得这个二次三项式的值为？说明理由．
【答案】（1）1；（2）不存在，理由见解析
【分析】（1）由已知可以得到m的值，并可得一元二次方程，解方程可得答案；
（2）由已知可得一元二次方程，计算判别式的值可以得解．
【详解】解：（1）当时，求得，
∴由已知可得方程：，
即，
解之可得；
（2）不存在，理由如下：
令，可得，
∵Δ=
∴方程无解，故不存在x的值，使得这个二次三项式的值为 1．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解与根的判别式的计算与应用是解题关键．
40．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)方程的另一个根为：；以此两根为边长的直角三角形的面积为或．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）将代入方程可确定m的值，然后求解一元二次方程得出方程的另一个解；分两种情况讨论直角三角形的面积：①当该直角三角形的两直角边是1、3时；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，利用勾股定理确定另一条直角边，然后求面积即可得．
【详解】（1）证明：，
其中：，，，
∴，
∴在实数范围内，m无论取何值，，
即，
∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得：将代入方程可得：
，
解得，
∴方程为，
解得：或，
∴方程的另一个根为；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为：；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，
由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，
则该直角三角形的面积为；
综上可得，该直角三角形的面积为或．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理，分情况讨论三角形等，理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
41．阅读下面方法，解答后面的问题：
【阅读理解】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例题：已知x可取任意实数，试求二次三项式的取值范围．
解：
∵x取任何实数，总有，∴．
因此，无论x取任何实数，的值总是不小于-4的实数．
特别的，当x=3时，有最小值-4
【应用1】：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ）
A．有最大值-10 B．有最小值-10 C． 有最大值-7 D．有最小值-7
【应用2】：某品牌服装进货价为每件50元，商家在销售中发现：当以每件90元销售时，平均每天可售出20件，为了扩大销售量，增加盈利，商家决定采取适当的降价措施．
（1）将市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天那就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利为1200元，我们设降价x元，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
（2）请利用上面【阅读理解】提供的方法解决下面问题：
这家服装专柜为了获得每天的最大盈利，每件服装需要降价多少元？每天的最大盈利又是多少元？
【答案】【应用1】B ；【应用2】（1）A；（2）降价15元时，每天的盈利最大，每天的最大盈利是1250元.
【分析】应用1、根据配方法求出其顶点式，即可得出即可；
应用2、（1）根据题意中的等量关系列出方程即可；
（2）根据（1）中的方程，将其转化为顶点式即可得出结论.
【详解】应用1、B
应用2、（1）A
（2）
∵ ∴
特别的，当x=15时，有最大值1250
∴降价15元时，每天的盈利最大，每天的最大盈利是1250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
42．已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．
【答案】△ABC为直角三角形，理由见解析．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得=0，整理后得，即可作出判断．
【详解】解： ∵方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得，
∴△ABC为直角三角形．
【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答此题的关键．
43．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
【答案】（1）m＞；（2）取m=0，x1=0，x2=2
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
（2）由（1）中m的取值范围，可取一个符合条件的m的值，代入解方程即可．
【详解】解：（1）关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即[-2（m+1）]2-4m2＞0，解得m＞；
（2）∵m＞，
∴可取m=0，此时方程为x2-2x=0，
解得x1=0，x2=2．
【点睛】本题主要考查根的判别式，由根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
44．已知关于的一元二次方程
(1)试判断上述方程根的情况．
(2)已知的两边的长是关于上述方程的两个实数根，的长为5．
①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②当为何值时，是等腰三角形？请求出此时的周长．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)①当时，是直角三角形；②当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16
【分析】（1）根据判别式即可得出，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出．①设，，根据利用勾股定理得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；
②根据（1）结论可得出，由此得出△ABC是等腰三角形分两种情况求解即可得出结论．
【详解】（1）在方程中，
，
方程有两个不相等的实数根．
（2），
．
①不妨设，
斜边时，有，即，
解得：（舍去）．
当时，是直角三角形
②，由（1）知，
故有两种情况：
（Ⅰ）当时，，
，
满足任意两边之和大于第三边，
此时的周长为；
（Ⅱ）当时，，
满足任意两边之和大于第三边，
此时的周长为．
综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16．
【点睛】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，勾股定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式时，方程有两个不等实数根”是解题的关键．
45．关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，且，求n的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，一次函数和．
①求证：一次函数的图象经过点．
②当时，试比较与的大小．
【答案】（1）；（2）①见解析；②当时，，当时，，当时，．
【分析】（1）将代入方程，根据方程有两个不相等的实数根，得出，代入解不等式即可；
（2）①首先根据方程有两个相等的实数根，得出，即，将代入一次函数，结合，即可证明；②设，根据题目，讨论的符号即可得出结论．
【详解】解：（1）将代入方程得，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得，；
（2）①证明：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
∴，
当时，
代入一次函数得：
，
故一次函数的图象经过点；
②设，
∵，
∴，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的情况求参数范围以及一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根的情况所对应的的取值范围．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程无实数根，．
46．已知关于的一元二次方程
(1)若方程有两个不相等的实数根， 求k的取值范围 ．
(2)若方程的一个根为，求k的值和方程的另一个根；
【答案】(1)
(2)当时，另一个根为；当时，另一个根为0
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程：
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）把代入原方程，可求出k，再解出原方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）解：∵方程的一个根为，
∴，
解得：或0，
当时，原方程为，
解得：，
即另一个根为；
当时，原方程为，
解得：，
即另一个根为0；
综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为0．
47．已知方程是关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求实数k的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)的值为，方程的另一个根为
【分析】（1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可；
（2）方程的另一个根为，则结合条件运用“韦达定理”分别建立等式求解即可．
【详解】（1），
，
，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得：
，解得：．
∴的值为，方程的另一个根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键．
48．已知关于的方程有两个不相等的实数根 ．
（1）求的取值范围；
（2）亮亮在通过变化的值研究二次函数的图象时发现，这些函数图象都过点，若函数的图象也经过点，求的值 ．
【答案】(1) 且；(2)b=-1.
【分析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）计算x＝1时的函数值得到a＝2，则A（1，2），然后把A点坐标代入y＝x＋b＋2中求出b的值．
【详解】解：（1）根据题意得且△，
解得且；
（2）当时，，
，
把代入得，解得，
即的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
49．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
【答案】（1）k＜；（2）2
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴．
解得：k＜；
（2）∵k为正整数，
∴k=1或2．
当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意；
当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意．
∴k的值为2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
50．已知方程：x2﹣2x﹣8=0，解决以下问题：
（1）不解方程判断此方程的根的情况； 请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．
（2）这些方法都是将解 转化为解 ；
（3）尝试解方程：x3+2x2+x=0．
【答案】（1）此方程有两个不相等的实数根；①x1=4，x2=-2；②x1=4，x2=-2；（3）一元二次方程；一元一次方程；（3）x1=0，x2=x3=-1
【分析】（1）由a=1，b=-2，c=-8，可得△=b2-4ac=36＞0，即可判定此方程的根的情况；①直接利用配方法解一元二次方程；②利用十字相等法解一元二次方程；
（2）将解一元二次方程转化为解一元一次方程；
（3）利用因式分解法求解即可求得答案．
【详解】解：（1）∵a=1，b=-2，c=-8，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-8）=36＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
①配方法：∵x2-2x-8=0，
∴x2-2x=8，
∴x2-2x+1=8+1，
∴（x-1）2=9，
∴x-1=±3，
解得：x1=4，x2=-2；
②因式分解法：∵x2-2x-8=0，
∴（x-4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=-2；
（2）答案为：一元二次方程；一元一次方程；
（3）∵x3+2x2+x=0，
∴x（x2+2x+1）=0，
∴x（x+1）2=0，
∴x=0，x+1=0，
解得：x1=0，x2=x3=-1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及根的判别式．注意△此题考查了一元二次方程的解法以及根的判别式．注意△＞0 方程有两个不相等的实数根．．
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