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一、单选题
1．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．5
2．一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
4．若一元二次方程的两个实数根是和，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知、是方程两根，则的值( )
A． B． C． D．
6．已知方程的两个根是、，那么这两个根与方程中系数的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于( )
A．3 B．﹣ C． D．﹣1
9．设是一元二次方程的两个根，则（ ）
A．-11 B．4 C．16 D．38
10．若，且有，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A．－3 B．2 C．－2 D．－1
12．若m，n为方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．7.5 D．-1.8
13．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
14．关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（ ）
A．1 B．﹣2 C．2 D．3
15．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
16．方程的两根分别是，则等于 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
17．已知关于x的方程的两实数根为，，则m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或3
18．若3是关于x的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．-2 B．2 C．-5 D．6
19．已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）
A．8 B． C．21 D．
20．甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为和，则原来的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为 ；
22．定义运算：若a，b是方程的两个根，则的值为 ．
23．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
24．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则的值为 ．
25．若抛物线与轴交于两点，则 ．
26．已知一元二次方程的两个根是，，且，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）
27．若方程的两个根分别为，，则的值为 ．
28．设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
29．若m，n是方程两个根，则的值为 ．
30．已知是方程的一个根，那么另一个根为 ．
31．若一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则＝ ．
32．若a、b是方程的两根，则 ．
33．已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ．
34．若x1、x2是方程的两个实数根，则代数式2x1+2x2-x1x2的值等于 ．
35．写一个二次项系数为2的一元二次方程，使得两根分别是-2和1 ．
三、解答题
36．已知关于x的方程有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值．
37．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论p为何值，方程总有两个不等的实数根；
(2)若方程的两根满足，求p的值．
38．已知是一元二次方程的两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若满足，求m的值．
39．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
40．已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
41．已知抛物线y=﹣x2+2bx+1﹣2b(b为常数)．
（1）若点(2，5)在该抛物线上，求b的值；
（2）若该抛物线的顶点坐标是(m，n)，求n关于m的函数解析式；
（3）若抛物线与x轴交点之间的距离大于4，求b的取值范围．
42．已知是关于的方程的两根，求的值．
43．若实数，（）满足，，求式子的值．
44．已知关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x－2m2＋m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2．
（1）当m为何值时，x1=x2.
（2）若x12+x22=2，求m的值.
45．已知关于的一元二次方程
(1)求证：方程总有实数根；
(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数．
46．已知，是一元二次方程的两根，求的值．
47．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
(2)若方程的两根为、，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
(3)若等腰三角形的一边，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求的周长．
48．已知，是一元二次方程的两个根，求：
(1)________，________；
(2)；
(3)；
49．阅读材料：已知实数m，n满足，，且，求的值．
解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，所以，所以．
根据上述材料解决以下问题：
(1)已知实数m，n满足，且，求的值；
(2)思维拓展：已知实数p，q满足，且，求的值．
50．关于的一元二次方程有实数根，．
(1)求的取值范围．
(2)若，求的值．
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一、单选题
1．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系“若，为方程的两个根，则，”求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
∴．
故选：B．
2．一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，
根据题意得：，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据，即可判断.
【详解】解：由题意可知：这个“凤凰”方程的两根分别为1和2，
，．
选项A符合题意，
故选A.
4．若一元二次方程的两个实数根是和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系直接求解即可．
【详解】∵一元二次方程的两个实数根是和，
∴，
故选：A．
5．已知、是方程两根，则的值( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用一元二次方程的解的定义和降次的方法得到，，，则原式可化简为，接着利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：，是方程的两根，
，，
，，则，即
，
，
根据根与系数的关系得，
原式．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则， ．
6．已知方程的两个根是、，那么这两个根与方程中系数的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据根与系数的关系：，，求解即可．
【详解】解：∵方程的两个根是、，
则，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．
7．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意根据解一元二次方程的概念和根与系数的关系对选项逐次判断即可．
【详解】解：∵，
∴，选项A不符合题意；
∵是一元二次方程的实数根，
∴，选项B不符合题意；
∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，选项D符合题意，选项C不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程的解、根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
8．已知方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于( )
A．3 B．﹣ C． D．﹣1
【答案】C
【分析】由两根之和等于-，可得出x1+x2=，此题得解．
【详解】解：∵方程3x2-x-1=0的两根分别是x1和x2，
∴x1+x2=．
故选C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．
9．设是一元二次方程的两个根，则（ ）
A．-11 B．4 C．16 D．38
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
10．若，且有，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可变形为，然后可把看作是方程的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：由可两边同除以，则有，
根据可把看作是方程的两个根，则根据一元二次方程根与系数的关系有：，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11．已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A．－3 B．2 C．－2 D．－1
【答案】B
【分析】直接根据根与系数的关系，，代入计算即可．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
根据根与系数的关系得：，
即：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟知，是解本题的关键．
12．若m，n为方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．7.5 D．-1.8
【答案】A
【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
由，是方程的两个实数根，推出，，，推出，再利用整体代入的思想解决问题．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
．
故选：A．
13．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到a+b=2，ab=3，再把变形得到，再代入求解即可.
【详解】∵一元二次方程的两根为，，
∴a+b=2，ab=3，
∴==．
故选：A．
【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=- ，x1 x2=．
14．关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（ ）
A．1 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【分析】设方程x2+kx-3=0的另一个根为a，根据根与系数的关系得出-3a=-3，求出方程的解即可．
【详解】解：设方程x2+kx﹣3＝0的另一个根为a，
∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，
∴由根与系数的关系得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
即方程的另一个根为1，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能根据根与系数的关系得出关于a的方程是解此题的关键.
15．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
16．方程的两根分别是，则等于 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案.
【详解】解：∵的两根分别是，
∴，
故选：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.
17．已知关于x的方程的两实数根为，，则m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或3
【答案】A
【分析】根据方程的两实数根为，，得出与的值，再根据，即可求出的值．
【详解】解：方程的两实数根为，，
，，
，
，
解得：或，
方程有两实数根，
，
即，
不合题意，舍去，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握，是方程的两根时，，．
18．若3是关于x的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．-2 B．2 C．-5 D．6
【答案】B
【详解】试题分析：设另一个根是，由根与系数的关系可得：，解得，故选B.
考点：1.一元二次方程的根；2．根与系数的关系.
19．已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）
A．8 B． C．21 D．
【答案】B
【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，由矩形的长和宽是方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由勾股定理及完全平方公式的变形即可求得矩形的对角线的长．
【详解】设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽是方程的两个实数根，
∴，
∴矩形的对角线长为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、矩形的性质及完全平方公式的变形，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
20．甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为和，则原来的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：该一元二次方程为，
∵甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，
∴甲同学的两根满足一次项系数，
∴；
∵乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为和
∴乙同学的两根满足常数项，
∴，
∴该方程为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
二、填空题
21．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为 ；
【答案】2018
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合“α，β是方程x2-x-2019=0的两个实数根”，得到α+β的值，再把α代入方程x2-x-2019=0，经过整理变化，即可得到答案．
【详解】解：∵α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，
∴α+β=1，
∵α3-2021α-β
=α（α2-2020）-（α+β）
=α（α2-2020）-1，
∵α2-α-2019=0，
∴α2-2020=α-1，
把α2-2020=α-1代入原式得：
原式=α（α-1）-1
=α2-α-1
=2019-1
=2018．
故答案为2018．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
22．定义运算：若a，b是方程的两个根，则的值为 ．
【答案】0
【分析】先利用新运算得到，再根据一元二次方程解的定义得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：，
，b是方程的两个根，
，，
，，
．
故答案为0．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的定义．
23．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】-12．
【分析】直接根据一元二次方程的根与系数关系、方程的解的概念即可求解．
【详解】解：根据根与系数的关系得mn=2，
∵m是一元二次方程的根，
∴
∴m2-3m=-2
∴=2m2-6m-4mn=2(m2-3m)-4mn=2×(-2)-4×2=-12．
故答案为：-12．
【点睛】此题主要考查求代数式的值，解题的关键是灵活运用一元二次方程的根与系数关系，以及方程的解的概念．
24．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义；根据根与系数的关系得出，，代入求出，根据判别式检验，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，
∴，，且，
∵
即有，
∴
解得：或
当时，，
当时，
∴，
故答案为：．
25．若抛物线与轴交于两点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数关系定理求解即可．
【详解】∵抛物线与轴交于两点，
∴，
故答案为：
26．已知一元二次方程的两个根是，，且，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）
【答案】
【分析】由于关于x的一元二次方程的两个根分别为x1，x2，且x1=2x2，则x1+x2=3x1，x1x2=2x12，根据此条件即可求出方程．
【详解】设一元二次方程有一个根是x1=1，
∴x1+x2=3x1=3，x1x2=2x12=2
∴方程可以为x2-3x+2=0，
故答案是：x2-3x+2=0．
【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程有解时，设为x1，x2，方程可为x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
27．若方程的两个根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案．
【详解】∵方程的两个根分别为，，
∴，．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（若一元二次方程的两个根为，，则，），牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
28．设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，代入求出的值．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，即，，
∴，
故答案为：．
29．若m，n是方程两个根，则的值为 ．
【答案】6
【分析】利用根与系数的关系得到：，，代入所求的代数式求值即可．
【详解】∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
则.
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，
是解决本题的关键．
30．已知是方程的一个根，那么另一个根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，先设方程的另一个根是，根据根与系数的关系，易得，从而易求,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两根之间的关系：，．
【详解】解：设方程的另一个根是，
则可得，
，
即另一个根为，
故答案为：．
31．若一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则＝ ．
【答案】-3
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，再通分得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
所以．
故答案为﹣3．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一般不解方程，求含有一元二次方程两根的代数式的值时，通常分两步完成：（1）由方程得到：x1+x2、x1x2的值（前提是“根的判别式△≥0 ”）；（2）把要求值的代数式变形为用含“x1+x2”和“x1x2”表达的形式，再代值计算即可．
32．若a、b是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，以及代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解此题的关键．根据根与系数的关系得出，再化简，代入的值即可求解．
【详解】解：、b是方程的两根，
，
，
故答案为：．
33．已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及根于系数的关系，熟练掌握待定系数法及根与系数的关系是解题关键．
利用根与系数的关系得出，再将点C代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
将三点代入到中，得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
34．若x1、x2是方程的两个实数根，则代数式2x1+2x2-x1x2的值等于 ．
【答案】2030
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出x1+x2=4，x1x2=-2022，再将其代入2x1+2x2-x1x2=2（x1+x2）-x1x2中，即可求出结论．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2-4x-2022=0的两个实数根，
∴x1+x2=4，x1x2=-2022，
∴2x1+2x2-x1x2=2（x1+x2）-x1x2=2×4-（-2022）=2030．
故答案为：2030．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-，两根之积等于”是解题的关键．
35．写一个二次项系数为2的一元二次方程，使得两根分别是-2和1 ．
【答案】2x2＋2x 4＝0．
【分析】设方程为ax2＋bx＋c＝0，则由已知得出a＝2，根据根与系数的关系得， 2＋1＝， 2×1＝，求出即可．
【详解】解：∵二次项系数为2的一元二次方程的两个根为 2，1，
∴设方程为2x2＋bx＋c＝0， 2＋1＝， 2×1＝，
∴b=2，c=-4，
故答案为：2x2＋2x 4＝0．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝，x1x2＝．
三、解答题
36．已知关于x的方程有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)m＝－2
【分析】（1）根据根的判别式得到关于m的不等式，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：依题意可知：Δ≥0，
即，
∴.
（2）解：依题意可知：
，
∵
∴
∴
解得：m＝10或－2
又∵
∴m＝－2
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握韦达定理、根与系数的关系是解题关键．
37．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论p为何值，方程总有两个不等的实数根；
(2)若方程的两根满足，求p的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）证明：整理得：
∵
∴无论p取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
38．已知是一元二次方程的两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若满足，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再变形已知条件，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：根据题意得：，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系和根与系数的关系是解决此题的关键．
39．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)a的值为3
【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【详解】（1）证明：，
∵，
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，
则，
由①得，
代入②可得：，
解之得，，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
40．已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）m＜1；（2）不存在；理由见解析．
【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；
（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可．
【详解】解：（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=（m-2）2- ＞0
即：4-4m＞0
m＜1
（2）由题意，x1+x2= =4m-8，
若方程两实数根互为相反数，则4m-8=0，
解得，m =2，
因为m＜1，
所以m=2时，原方程没有实数根，
所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m的值而忽略m的范围．
41．已知抛物线y=﹣x2+2bx+1﹣2b(b为常数)．
（1）若点(2，5)在该抛物线上，求b的值；
（2）若该抛物线的顶点坐标是(m，n)，求n关于m的函数解析式；
（3）若抛物线与x轴交点之间的距离大于4，求b的取值范围．
【答案】（1）b=4；（2）n=m2﹣2m+1；（3）b＞3或b＜﹣1．
【分析】（1）将点(2，5)的坐标代入抛物线表达式求解即可；
（2）根据顶点坐标公式可得m、n关于b 的关系式，进一步即可得出结果；
（3）设抛物线与x轴交点的横坐标为s，t，由根与系数的关系可得s+t，st与b的关系式，进一步即可求出抛物线与x轴交点之间的距离与b的关系式，然后可得关于b的不等式，解不等式即得结果．
【详解】解：（1）将点(2，5)的坐标代入抛物线表达式得：5=﹣22+4b+1﹣2b，
解得：b=4；
（2）由抛物线顶点坐标公式得：mb，n=1﹣2b1﹣2b+b2，
故n=m2﹣2m+1；
（3）设抛物线与x轴交点的横坐标为s，t，
则s+t2b，st2b﹣1，
∴，
由题意得：＞4，
解得：b＞3或b＜﹣1，
故b的取值范围为：b＞3或b＜﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系以及含绝对值的不等式的求解等知识，熟练掌握二次函数的相关知识和一元二次方程的根与系数的关系是解此题的关键．
42．已知是关于的方程的两根，求的值．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的韦达定理，即可确定一元二次方程中各项系数的值．
【详解】由韦达定理，得：，
，
而，
所以得：，
代入可得：．
【点睛】本题考查韦达定理，的应用，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
43．若实数，（）满足，，求式子的值．
【答案】.
【分析】由题意a、b是一元二次方程的两根，可得a+b=1，ab=-2015，根据|a-b|=计算即可．
【详解】由题设可知，①
，②
③
由①②得，④
由①②得⑤
将③与⑤联立，可得⑥
将⑥代入④，可得⑦
将⑥两边平分，可得⑧
将⑦代入⑧，可得⑨
从而由⑦和⑨有⑩
由⑩有
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题关键在于熟练掌握计算法则.
44．已知关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x－2m2＋m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2．
（1）当m为何值时，x1=x2.
（2）若x12+x22=2，求m的值.
【答案】（1）m=；（2）.
【分析】（1）当m为何值时x1＝x2，即方程有两个相同的根，则根的判别式△=0；
（2）依据根与系数关系，可以设方程的两根是x1、x2，则可以表示出两根的和与两根的积，依据x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，即可得到关于m的方程，即可求得m的值．
【详解】（1）△=(m－1)2－4(－2m2＋m)=m2－2m＋1＋8m2－4m=9m2－6m＋1=(3m－1)2 ，
要使x1=x2，
∴△=0即△=(3m－1)2=0，
∴ m=
（2）根据题意得：x1+x2=-=1-m，x1 x2==-2m2+m，
∵x12+x22=2，
即x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，
即（1-m）2-2（-2m2+m）=2，
解得m1= ，m2=1．
【点睛】本题是常见的根的判别式与根与系数关系的结合试题．把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决本题的关键．
45．已知关于的一元二次方程
(1)求证：方程总有实数根；
(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与方程根的情况，通过计算，确定判别式非负即可得到结论；
（2）根据题意，直接利用一元二次方程根与系数的关系，借助两根之和为零，列出方程求解即可得到答案．
【详解】（1）证明： ，
，
关于的一元二次方程总有实数根；
（2）解： ，
由一元二次方程根与系数的关系得，
若方程的两个根互为相反数，则，
，解得，
当为何值时，方程的两个根互为相反数．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系、根与系数关系，熟记一元二次方程根的情况与判别式关系及根与系数关系是解决问题的关键．
46．已知，是一元二次方程的两根，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式的运算，熟记“两根之积等于，两根之和等于”是解题关键．
【详解】解：原式，
，
，
．
，是一元二次方程的两根，
，
将代入得：
原式．
47．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
(2)若方程的两根为、，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
(3)若等腰三角形的一边，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)5
【分析】（1）求出根的判别式，根据结果判断即可；
（2）根据方程求出，，再根据两根的平方和为2列出关于k的方程，解之即可．
（3）求出方程的解，再分a为底边和a为腰分别讨论即可．
【详解】（1）证明： ，
无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）解：在中，
，，
∵，
∴，
∴，
化简得：，方程无解，
∴不存在这样的k值；
（3），
解得：，，
若为底边，
则另外两边相等，
∴，
∴的周长为．
若为腰，
则，另外两边为1和2，
而，故构不成三角形，
∴的周长为5．
【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的性质，一元二次方程总有实数根应根据根的判别式来做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．
48．已知，是一元二次方程的两个根，求：
(1)________，________；
(2)；
(3)；
【答案】(1)5，
(2)
(3)
【分析】（1）利用两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；
（2）先通分计算，再整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；
（3）利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】（1）解：，是一元二次方程的两个实数根，
，；
故答案为：5，；
（2）解：；
（3）解：
．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
49．阅读材料：已知实数m，n满足，，且，求的值．
解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，所以，所以．
根据上述材料解决以下问题：
(1)已知实数m，n满足，且，求的值；
(2)思维拓展：已知实数p，q满足，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意给出的方法及根与系数的关系即可求解；
（2）由题可得是方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得出，利用配方法将代数式变形为，再代入计算即可．
【详解】（1）由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，
所以，
所以．
（2），
，即，
，即，
是方程的两个不相等的实数根，
，
∴原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能够根据题意找出一元二次方程是解题的关键．
50．关于的一元二次方程有实数根，．
(1)求的取值范围．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由有实数根，可得，解之即可；
（2）由的实数根为，，得，，根据，即可得，解出的值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根，，
∴，
∴；
（2）由题意可得：，，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
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