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专题01 一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一般形式： ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
（3）【注意】
①只含有一个未知数；
②所含未知数的最高次数是2；
③整式方程。
（二）方程解的应用
（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
（2）方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想）
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】解：A、 当时是一元一次方程，而不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B、，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C、，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、，不是一元二次方程，故本选项不合题意．
故选：．
【变式1】在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：①，是一元二次方程，故本小题正确；
②时是一元二次方程，故本小题错误；
③，整理后得，即是一元二次方程，故本小题符合题意；
④，是一元二次方程，故本小题符合题意．
故选：C．
【变式2】下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）．
①；②；③；
④；⑤．
【答案】②③⑤
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是，
故答案为： ②③⑤．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式3】下列方程：（1） （2） （3） （4） （5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是 （填序号）．
【答案】（2）（4）/（4）（2）
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：（1）中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程；
（2）是一元二次方程；
（3）可以变形为，因此原方程不是一元二次方程；
（4）中的系数一定不等于0，因此此方程一定是一元二次方程；
（5）中分母上含有未知数，是分式方程，不是整式方程；
（6）中时，不是一元二次方程；
综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）．
故答案为：（2）（4）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．
考点2：一元二次方程——求字母
典例2：若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案．
【详解】解：由题意得：，解得，
故选：B．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式1】方程是关于的一元二次方程，则的值是
A．3 B．
C． D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】根据关于的方程是一元二次方程，可得，，进一步求解即可．
【详解】解：根据题意，得，，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件．
【变式2】已知关于的方程是一元二次方程，则为 .
【答案】
【分析】一元二次程的一般形式：（），据此进行求解即可．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键，含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程．
【变式3】若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式即可得到答案．
【详解】依题意得且
解得
故答案是．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程．一般形式为．易错点在于这个条件容易被忽略．
考点3：一元二次方程——求取值范围
典例3：若关于x的方程是一元二次方程，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，结合“关于x的方程（a-1）+2x-1=0是一元二次方程”，得到关于a的不等式，解之即可．
【详解】解：∵关于x的方程（a-1）+x=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，
解得：a≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式1】若方程是关于的一元二次方程，则的范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0的整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的二次项系数不能为0．
【变式2】已知关于x的方程（m＋2）x ＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取范围值是 ．
【答案】m≠—2
【详解】分析：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
详解：由题意得： m+2≠0 ，
解得： m≠ 2 ，
故答案为 m≠ 2.
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程注意几个方面：化简后；一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项的系数不为0；整式方程.
【变式3】若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程可得，再解即可 ．
【详解】解： 由题意得：，
解得：，
故答案为：
考点4：一元二次方程一般式
典例4：将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解：，
则，
∴，
由题意得：，
解得：，
故选：A．
【变式1】方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，，
C．2，，0 D．2，，
【答案】D
【分析】首先把方程化成一般形式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．
【详解】解：将方程化成一般形式，
可得，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二方程的一般形式，熟练掌握一元二方程的一般形式是解题关键．
【变式2】方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
【答案】 1 2
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项．
先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得，所以二次项系数为，一次项系数为2，常数项是
【详解】解：由得到：，
∴其二次项系数是3，一次项系数为2，常数项为．
故答案为：3，，．
【变式3】将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2，
化成的一般形式为，
一次项系数为，
故答案为：．
考点5：一元二次方程解的应用——求字母
典例5：若是方程的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】D
【分析】题目主要考查一元二次方程的解，把代入方程求出m即可．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴．
故选：D．
【变式1】已知是关于x的一元二次方程的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入原方程求出k值，再根据得出答案．
【详解】当时，，
解得或．
根据题意，
可知，
∴．
故选：A．
【变式2】若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，即可求解；理解一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
故答案：．
【变式3】若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解，是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．将代入方程，求解即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
故答案为：2．
考点6：一元二次方程解的应用——求代数式
典例6：已知a是方程 的一个解，则的值为（ ）
A．10 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义及代数式求值，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程求得，然后根据即可求解．
【详解】解：把代入方程得：，
则，
则．
故选：A
【变式1】已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2028
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，以及代数式求值，根据已知可得，整体代入，即可求解．
【详解】解：依题意得：，
即：，
，
故选：D．
【变式2】已知是方程的根，则代数式的值为 .
【答案】4046
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可．
【详解】解：是方程的根，
，
，
，
故答案为：4046．
【变式3】如果是关于x的方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义．
把代入方程得，再整体代入求值．
【详解】解：∵是关于x的方程的一个根，
∴把代入方程，得，
∴，
∴．
故答案为：．
考点7：一元二次方程解的应用——求根
典例7：若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解．
【详解】解：设，则一元二次方程可化为，
，
关于x的一元二次方程有一根为，
一元二次方程有一个根为，
则，即，
一元二次方程必有一根为2025．
故选：B．
【变式1】关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】先用直接开平方法解出，然后再解出，对比两个解的关系，即可得到答案.
【详解】解：，
解得：，
∵，，
∴，，
∵，
解得：，
∴，，
故选择：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握正确解出一元二次方程的解
【变式2】关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解．
【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，
∵关于x的方程的解是，，
∴，，
解得：，，
故答案为：，．
【变式3】关于的方程的两个实数根是，则方程的两个实数根是 ．
【答案】
【分析】设，则方程变为，根据方程的两个实数根是，得或，即可求出方程的两个实数根．
【详解】解：设，则方程变为，
∵方程的两个实数根是，
∴或，
∴或，
∴或，
∴方程的两个实数根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键．
考点8：一元二次方程解的应用——综合
典例8：两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020 B． C．-2020 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
【变式1】输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：
→→→→
输出
分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格得，当时，，即，从而可以判断时的大致范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】根据表格得，当时，，
即，
∴方程的正数解的大致范围为，
故选：．
【变式2】已知m是方程式的根，则式子的值为 ．
【答案】2020
【分析】由题意可得出，可变形为，．再由，将代入化简得，再将代入求值即可．
【详解】∵m是方程式的根，
∴，
∴，．
，
将代入，得：，
再将代入，得：．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．
【变式3】已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ．
【答案】0
【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
【详解】解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t）20，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
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专题01 一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一般形式： ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
（3）【注意】
①只含有一个未知数；
②所含未知数的最高次数是2；
③整式方程。
（二）方程解的应用
（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
（2）方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想）
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）．
①；②；③；
④；⑤．
【变式3】下列方程：（1） （2） （3） （4） （5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是 （填序号）．
考点2：一元二次方程——求字母
典例2：若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．0
【变式1】方程是关于的一元二次方程，则的值是
A．3 B．
C． D．以上答案都不对
【变式2】已知关于的方程是一元二次方程，则为 .
【变式3】若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
考点3：一元二次方程——求取值范围
典例3：若关于x的方程是一元二次方程，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若方程是关于的一元二次方程，则的范围是（ ）
A． B． C． D．且
【变式2】已知关于x的方程（m＋2）x ＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取范围值是 ．
【变式3】若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是
考点4：一元二次方程一般式
典例4：将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【变式1】方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，，
C．2，，0 D．2，，
【变式2】方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
【变式3】将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ．
考点5：一元二次方程解的应用——求字母
典例5：若是方程的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【变式1】已知是关于x的一元二次方程的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1
【变式2】若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为 ．
【变式3】若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ．
考点6：一元二次方程解的应用——求代数式
典例6：已知a是方程 的一个解，则的值为（ ）
A．10 B． C．2 D．
【变式1】已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2028
【变式2】已知是方程的根，则代数式的值为 .
【变式3】如果是关于x的方程的一个根，则 ．
考点7：一元二次方程解的应用——求根
典例7：若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【变式1】关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ．
【变式3】关于的方程的两个实数根是，则方程的两个实数根是 ．
考点8：一元二次方程解的应用——综合
典例8：两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020 B． C．-2020 D．
【变式1】输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：
→→→→
输出
分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知m是方程式的根，则式子的值为 ．
【变式3】已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ．
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