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专题03 根的判别式、根与系数的关系
考点类型
知识一遍过
（一）根的判别式
概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac
①b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。
②b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。
③b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
④b2－4ac≥0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。
（二）根与系数的关系
（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
（2）注意事项：
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
（三）根与系数的关系常见变形
常见与两根有关的代数式变形
①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=;
③+=; ④=-4x1x2
考点一遍过
考点1：由△判断根的情况
典例1：一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式1】一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【变式2】一元二次方程有两个 实根（填“相等”或“不等”）．
【变式3】方程根的情况是 ．
考点2：由根的情况求字母取值
典例2：若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【变式1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．
【变式3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
考点3：由△证明根的必然情况
典例3：证明：方程有两个不相等的实数根．
【变式1】已知关于的方程.
(1)当时，求方程的解；
(2)证明：无论为何值，此方程总有解.
【变式2】已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为，求m的值．
【变式3】已知关于x的方程，
(1)证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程；
(2)当时，解这个方程．
考点4：△与三角形的综合
典例5：关于的一元二次方程中的、、是的三边长，若方程有两个相等的实数根，请判断的形状并加以说明.
【变式1】已知△ABC的边BC长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
【变式2】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程－(2k+3)x++3k+2=0的两个实数根．
（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
【变式3】已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
考点5：由根与系数的关系求代数式
典例5：关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式1】设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【变式2】已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ．
【变式3】已知，，则 ．
考点6：由根与系数的关系求根
典例6：已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式1】已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根及k的值分别是（ ）
A．，0 B．1，4
C．2， D．4，0
【变式2】已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
【变式3】已知是方程的一个根，则方程的另一个根是 ， ．
考点7：由根与系数的关系求变形式
典例7：已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，则的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式2】已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
【变式3】设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ．
考点8：由根与系数的关系求取值范围
典例8：中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式1】若是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若关于x的方程的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是 ．
【变式3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ．
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专题03 根的判别式、根与系数的关系
考点类型
知识一遍过
（一）根的判别式
概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac
①b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。
②b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。
③b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
④b2－4ac≥0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。
（二）根与系数的关系
（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
（2）注意事项：
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
（三）根与系数的关系常见变形
常见与两根有关的代数式变形
①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=;
③+=; ④=-4x1x2
考点一遍过
考点1：由△判断根的情况
典例1：一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程没有实数根，
故选：．
【变式1】一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出一元二次方程根的判别式的值，根据方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：．
【变式2】一元二次方程有两个 实根（填“相等”或“不等”）．
【答案】不等
【分析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用根的判别式进得判断即可．
【详解】解：∵，
∴
该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：不等
【变式3】方程根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
考点2：由根的情况求字母取值
典例2：若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，方程化为，解得：，满足题意；
当时，方程为一元二次方程，则：，
∴；
故选B．
【变式1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，熟悉一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的实数根的情况的关系是本题的关键．
由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：A．
【变式2】已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．
由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，
解得，
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
考点3：由△证明根的必然情况
典例3：证明：方程有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【分析】将方程整理成一元二次方程的一般式，根据根的判别式，进行证明即可．
【详解】证明：，整理为：，
∴，，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式1】已知关于的方程.
(1)当时，求方程的解；
(2)证明：无论为何值，此方程总有解.
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）当时，转化为一元一次方程，解方程即可；
（2）分和讨论即可求解；
本题考查了根的判别式，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）当时，原方程为，解得；
（2）当时，原方程为一元一次方程，有实数解；
当时，原方程为一元二次方程，且，
∴无论为何值，此方程总有解．
【变式2】已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，学会运用非负数判断代数式的符号或范围．
（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了；
（2）把代入已知方程，列出关于的一元一次方程，．通过解该方程求得的值．
【详解】（1）解：
方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：若方程有一个根为，
则．
解得．
【变式3】已知关于x的方程，
(1)证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程；
(2)当时，解这个方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，原方程无解
【分析】（1）无论a取何实数满足一元二次方程的条件是，二次项系数不为0，即，利用配方法即可得出结论；
（2）求出，即此时方程无解．
【详解】（1）证明：
，
∵，
∴，即，
∴当a取任何实数时，关于x的方程都是一元二次方程；
（2）解：当，原方程为，即，
∴，
∴此时方程无解．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，配方法的应用，根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
考点4：△与三角形的综合
典例5：关于的一元二次方程中的、、是的三边长，若方程有两个相等的实数根，请判断的形状并加以说明.
【答案】为直角三角形；证明见解析
【分析】根据方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出，整理即可得出，由此得出为直角三角形．
【详解】解：为直角三角形；理由如下：
∵一元二次方程有两个相等的实数根，、、是的三边长，
∴，
解得：
∴为直角三角形．
【点睛】本题考查一元二次方程和勾股定理，熟练掌握一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．
【变式1】已知△ABC的边BC长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，见解析
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理逆定理即可求出答案.
【详解】（1）△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，
∴原方程化为：x2-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
∴32+42=52，
∴△ABC是直角三角形；
【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的能力以及勾股定理逆定理的应用．
【变式2】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程－(2k+3)x++3k+2=0的两个实数根．
（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，理由见解析；（3）k=3或k=4．k=3时，周长是9+5=14；k=4时，周长是11+5=16．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理逆定理即可求出答案；
（3）根据等腰三角形的性质即可求出k的值．
【详解】解（1）证明：∵△=-4（+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根，
（2）当k=2时，
∴原方程化为：x2-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
∴32+42=52，
∴△ABC是直角三角形；
（3）若AB=BC=5时，5是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的实数根，
把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
由（1）知，无论k取何值，△＞0，所以AB≠AC，
故k只能取3或4．
根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC=2k+3，
当k=3时，AB+AC=9，则周长是9+5=14；
当k=4时，AB+AC=8+3=11．则周长是11+5=16．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质.
【变式3】已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】△ABC是直角三角形．理由见试题解析
【详解】试题分析：根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
试题解析：△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【考点】根的判别式．
考点5：由根与系数的关系求代数式
典例5：关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵的两根为，
∴．，
∵，
∴，，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
【变式1】设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可．
【详解】解：，
故选：A．
【变式2】已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：3．
【变式3】已知，，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查运用一元二次方程的根解代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，结合，，将转化为关于的一元二次方程的两根，由此可求出的值，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴是关于的一元二次方程的两根，
∴，
解得，，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
考点6：由根与系数的关系求根
典例6：已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．
【详解】解：，
∴方程的两根之和，
∴方程的另一根．
故选：D．
【变式1】已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根及k的值分别是（ ）
A．，0 B．1，4
C．2， D．4，0
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据根与系数的关系即可求出另一个根与k的值．
【详解】设方程的另一个根为t．
根据题意，得，
解得．
故选A．
【变式2】已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，将代入原方程求出k值是解题的关键．
将代入原方程求出k值，再根据根与系数的关系结合方程的一根为1即可得出结论．
【详解】将代入原方程得：，
解得：，
原方程为，
设方程的另一个根为，
则，解得，
方程的另一个根是．
故答案为：．
【变式3】已知是方程的一个根，则方程的另一个根是 ， ．
【答案】 3
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之积和两根之和是解题的关键．
根据一元二次方程的两根之积等于代入求出另一个根，然后根据两根之和即可求出m．
【详解】解：设另一个根为x
∵的一个根为，
∴
∴
∴
∴．
故答案为：3，．
考点7：由根与系数的关系求变形式
典例7：已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，然后再整体代入即可解答．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选D．
【变式1】已知，则的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，求代数式的值，根据题意得到可以看作方程的两个实数根，则，把代数式变形后整体代入即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴可以看作方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
【变式2】已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式是解决本题的关键．根据题意，得，根据根与系数的关系可得，，整体代入变形后的代数式即可求出代数式的值．
【详解】解：根据题意，得，
∴
∵，
∴
故答案为：10．
【变式3】设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系；
首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值即可解答．
【详解】方程的两个实数根，
，，，
解得：，
，
，
，
解得：，，
，
．
故答案为：1．
考点8：由根与系数的关系求取值范围
典例8：中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】此题考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系，先根据根与系数的关系得到，然后利用三角形三边关系求解．
【详解】解：∵的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，
∴，
∴对角线长的取值范围是．
故选：D．
【变式1】若是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；已知是一元二次方程的两个实数根，可推出根据根与系数的关系可得且满足不等式代入即可得到一个关于的不等式，由此可解得的取值范围．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
解得
由根与系数的关系，得
∵
，解得
故选：A．
【变式2】若关于x的方程的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
【详解】解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，
，
解得．
故答案为：．
【变式3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，，
∴，
解得，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
当时，解不等式得：，
∴；
当时，解不等式得：，
∴此时无解；
综上分析可知：．
故答案为：．
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