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专题04 实际问题与一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）解一元二次方程步骤
解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”：就是求出说列方程的解；
“答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
（二）一元二次方程实际应用常见类型
（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
考点一遍过
考点1：增长率问题
典例1：在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均降低率问题，熟练掌握是解决问题的关键，其中a是起始量，b是终止量，x是平均降低率，n是降低次数．
根据“2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，”可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】根据题意得：，
即
故选：C．
【变式1】某市2021年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，列方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
【变式2】某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．
【答案】
【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得，
故答案为：．
【变式3】习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三周参与阅读人次第一周参与阅读人次参与阅读人次的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
考点2：传播问题
典例2：近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人，由等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，
由题意，得：，即，
解得：（舍去），，
故选：．
【变式1】国庆期间，某市一中学发起了“热爱祖国，说句心里话”征集活动．学校学生会主席将征集活动通知发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动通知，每个好友转发朋友圈后，再分别邀请n个互不相同的好友将征集活动通知转发朋友圈，以此类推，已知经过两轮转发后，共有人将征集活动通知发在自己的朋友圈，则n所满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
由题意知，第一轮结束后共有个人，第二轮结束后共有个人，然后列方程，判断作答即可．
【详解】解：由题意知，第一轮结束后共有个人，第二轮结束后共有个人，
依题意得，，
故选：C．
【变式2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮有 人被感染流感．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每轮传染中平均每人传染了人，，根据题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】设每轮传染中平均每人传染了人，
由题意得：，
解得：，（舍去），
则第三轮有（人）
故答案为：．
【变式3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出 个小分支．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
所以每个支干长出6个小分支，
故答案为：6．
考点3：循环问题
典例3：“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有 m 名运动员相互握手，一共 握手了 45 次，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．每个人都要和自己以外的人握手，但两个人之间只握手一次，以此得出等量关系．
【详解】解：每个人都要和自己以外的人握手，但两个人之间只握手一次，
．
故选C．
【变式1】为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动．近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
【变式2】小区篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，兰亭小区以全胜成绩卫冕世界杯冠军，则兰亭小区队在本次比赛中连胜 场．
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设兰亭小区队在本次比赛中连胜场，则共有支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设兰亭小区队在本次比赛中连胜场，则共有支队伍参加比赛，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：11．
【变式3】群力经纬中学组织篮球比赛（每两队之间都赛一场），共进行45场比赛，这次参加比赛的球队个数为 ．
【答案】10
【分析】设这次参加比赛的球队个数为，根据共进行了45场比赛以及每两队之间都赛一场，可列出一元二次方程并求解，取正值即可获得答案．
【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为，
根据题意，可得，
整理可得，
解得，（舍去），
所以，这次参加比赛的球队个数为10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
考点4：几何面积问题
典例4：如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为米，如果绿化面积为平方米，那么与之间的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了列一元二次方程，熟练掌握题意是解题的关键．根据题中图形，矩形的面积计算方法进行求解即可．
【详解】解：依题意可得：，
故选：C．
【变式1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，由题意得出门的高为尺，宽为尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为尺，宽为尺，
根据题意得：．
故选：B．
【变式2】如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．先求出空地的长，设水渠的宽度为，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设水渠的宽度为，
空地的长为：，
根据题意得：，
整理得：，即，
解得：，（不合题意，舍去），
则水渠的宽度为，
故答案为：．
【变式3】如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个面积为矩形花园．设宽，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设宽，则，根据题意列出方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设宽，则，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，
故答案为：．
考点5：销售利润问题
典例5：大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
(1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
(2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【答案】(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个；
(2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
(3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币12个，款纪念币20个；
（2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值（元，
此时（个．
即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式1】成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为．
(1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？
(2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．
①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；
(2)售价应降低元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数的乘方，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方运算求解即可；
（2）①由降低元，得每天可售出千克，②根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：（亩）
答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；
（2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克；
②依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
∵要尽量减少库存，
∴．
答：售价应降低元．
【变式2】云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．
(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
(2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)
(2)6元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题，
（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可；
（2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可．
【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为；
（2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．
【变式3】暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
(1)若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件．
(2)当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．
(3)该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗 若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)元或39元
(3)不可能达到3700元，理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据当天销售量增加的销售单价，即可得到答案；
（2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，列出一元二次方程即可得到答案；
（3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，列出一元二次方程根据根的判别式判断即可．
【详解】（1）解：（件），
故答案为：230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
整理解得，，
答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
，
故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
考点6：数字问题
典例6：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为：
这两个数的平方和为：，
两数相差4，
．
故选：C．
【变式1】如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．56
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键．
根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数．
【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为，
根据题意可列方程，得，
解得 (不符合题意，舍去)，
∴，，，，
∴四个数分别为9，10，16，17，
∵，
故选：C．
【变式2】一个两位数字，十位数字比个位数字大3，且这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为，则可列出方程 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设个位数字为，则十位数字为，根据题意，找出等量关系，即可列出方程，
【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，
可列出方程为：，
故答案为：．
【变式3】若三个连续的正整数中间一个数的9倍比另外两个数的积大9，则这三个数的和为 ．
【答案】24
【分析】设中间数为x，则另外两个数分别为和，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为和，
由题意得，
解得：（舍去），，
则另外两个数分别为7和9，
三个数的和为，
故答案为：24．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
考点7：工程问题
典例7：为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
【答案】(1)300
(2)5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式1】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【答案】(1)甲最多施工900米
(2)的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲施工米，
由题意可得：，
解得：．
答：甲最多施工900米．
（2）解：由题意可得：，
整理得，
解得．
答：的值为2．
【变式2】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米
【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；
【详解】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
经检验：是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
（舍）
经检验：是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式3】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米
(2)m的值为18
【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，
根据题意得，，
解得：，
则，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得，
，
整理得，，
解得：（舍去），
∴m的值为18．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
考点8：动态几何问题
典例8：如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为．
(1)当 时，四边形为平行四边形；
(2)当时，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）当运动时间为时，，由四边形为平行四边形，可得出，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点作于点，则，当运动时间为时，，，，由，利用勾股定理，可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，
根据题意得：，
∴，
解得：，
∴当时，四边形为平行四边形．
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
过点作于点，则，如图所示，
当运动时间为时，，，
根据题意得：，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：的值为或．
【点睛】本题主要考查动点与线段数量关系，平行四边形的性质，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键．
【变式1】如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为
(1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；
(2)多长时间后的面积为？
(3)多长时间后P点、Q点的距离为5？
【答案】(1)，，
(2)或时，的面积为
(3)秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用.
（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据勾股定理解方程即可得到结论.
【详解】（1）解：；
；
的取值范围为：；
（2）设秒后,的面积为
根据题意得，
解得：，
答: 经过或时，的面积为；
（3）设秒后点、点的距离为，
根据题意得，，
解得： 或 (不合题意舍去)，
答：秒后点、点的距离为 ．
【变式2】如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)当为何值时，点在的垂直平分线上？
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
(4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)1
(4)1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，可列出关于t的方程，然后求解即可；
（2）根据勾股定理列方程求解即可；
（3）根据三角形面积公式列方程求解即可；
（4）根据的面积与五边形的面积之比等于，得出的面积与矩形的面积之比等于，然后根据三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解∶∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
解得，
∴当时，点在的垂直平分线上；
（2）解：∵的长度等于，，
∴，
∴，
解得，（舍去）
∴当时，的长度等于；
（3）解：∵的面积等于，
∴，
解得，（舍去）
∴当时，的面积等于，
（4）解：∵的面积与五边形的面积之比等于，
∴的面积与矩形的面积之比等于，
∴，
解得，（舍去）
∴当时，的面积与五边形的面积之比等于．
【变式3】如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？
【答案】(1)经过或之后，的长为cm；
(2)秒或秒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可；
（）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可；
【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm，
根据题意，由勾股定理得：，
即，
解得：，，
答：经过或之后，的长为cm；
（2）设经过秒，的面积等于矩形面积的，
由题意得，，，
∵矩形中，，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∴的面积，
整理得：，
解得，，
答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的．
考点9：图表信息题
典例9：请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）．
【答案】（1）②；（2）．
【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图；
（2）仿照案例构造图形即可求得x的值．
【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②．
故答案为：②；
（2）首先构造了如图2所示的图形．
图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想．
【变式1】根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．
【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数（人）
人均检测时间（秒）
(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
【答案】(1)40，，29，26
(2)他今日检测总人数为人
【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格；
（2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒，
由题意得：、，
补全表格如下：
检测人数人
人均检测时间秒
（2）解：由题意得，，
解得，，
当时，检测总人数为人，
每位大白的检测人数不超过人，
不符合题意，舍去，
当时，检测总人数为人，
答：他今日检测总人数为人．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．
【变式3】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析;
【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可；
【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；
（2）由题意得：5a（7-a）+10=70，
解得：a=3或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：a=3或a=2，
综上，规定用水量为3吨；
（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
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专题04 实际问题与一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）解一元二次方程步骤
解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”：就是求出说列方程的解；
“答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
（二）一元二次方程实际应用常见类型
（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
考点一遍过
考点1：增长率问题
典例1：在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】某市2021年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．
【变式3】习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ．
考点2：传播问题
典例2：近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】国庆期间，某市一中学发起了“热爱祖国，说句心里话”征集活动．学校学生会主席将征集活动通知发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动通知，每个好友转发朋友圈后，再分别邀请n个互不相同的好友将征集活动通知转发朋友圈，以此类推，已知经过两轮转发后，共有人将征集活动通知发在自己的朋友圈，则n所满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮有 人被感染流感．
【变式3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出 个小分支．
考点3：循环问题
典例3：“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有 m 名运动员相互握手，一共 握手了 45 次，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动．近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】小区篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，兰亭小区以全胜成绩卫冕世界杯冠军，则兰亭小区队在本次比赛中连胜 场．
【变式3】群力经纬中学组织篮球比赛（每两队之间都赛一场），共进行45场比赛，这次参加比赛的球队个数为 ．
考点4：几何面积问题
典例4：如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为米，如果绿化面积为平方米，那么与之间的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
【变式1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为 ．
【变式3】如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个面积为矩形花园．设宽，且，则 ．
考点5：销售利润问题
典例5：大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
(1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
(2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【变式1】成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为．
(1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？
(2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．
①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？
【变式2】云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．
(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
(2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
【变式3】暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
(1)若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件．
(2)当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．
(3)该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗 若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
考点6：数字问题
典例6：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．56
【变式2】一个两位数字，十位数字比个位数字大3，且这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为，则可列出方程 ．
【变式3】若三个连续的正整数中间一个数的9倍比另外两个数的积大9，则这三个数的和为 ．
考点7：工程问题
典例7：为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
【变式1】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【变式2】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【变式3】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
考点8：动态几何问题
典例8：如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为．
(1)当 时，四边形为平行四边形；
(2)当时，求t的值．
【变式1】如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为
(1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；
(2)多长时间后的面积为？
(3)多长时间后P点、Q点的距离为5？
【变式2】如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)当为何值时，点在的垂直平分线上？
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
(4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【变式3】如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？
考点9：图表信息题
典例9：请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）．
【变式1】根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【变式2】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数（人）
人均检测时间（秒）
(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
检测人数人
人均检测时间秒
【变式3】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
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