12.3 等腰三角形 同步练习（含解析） 华东师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 12.3 等腰三角形 同步练习（含解析） 华东师大版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 491.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-04 06:07:49 | ||
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文档简介
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12.3等腰三角形
一、填空题
1．如图，，，于，则 ．
2．若是等腰三角形，且，则 °．
3．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．
4．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ .
5．如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 （用含a，b的式子表示）．
二、单选题
6．一个三角形的两边长分别为5cm和10cm，如果选取一条线段组成等腰三角形则第三条边长为（ ）
A．5cm或10cm B．5cm C．10cm D．不确定
7．如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到．若点A恰好在的延长线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，EC、BD是正五边形ABCDE的对角线，则∠1的大小为（ ）
A．72° B．75° C．60° D．80°
9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．7cm B．16cm C．19cm D．17cm或19cm
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的一个底角的度数是（ ）
A．45° B．22.5°或67.5°
C．45°或135° D．45°或67.5°
12．如图，直线，等边的顶点在直线上.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13． 已知某等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长为（ ）
A．9 B．11 C．16 D．11或16
14．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC
C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
15．在和中，，，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．不只是，还有可能是其他值
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）
A．（3，4），（2，4）
B．（3，4），（2，4），（8，4）
C．（2，4），（8，4）
D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）
17．如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
三、解答题
18．（1）已知，，求的值；
（2）如图，中，，，的角平分线交于点．点为上一点，且，，交于点，求的度数．
19．如图，已知△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD，垂足为Q，BE交AD于点P．
（1）求∠PBQ的度数；
（2）判断PQ与BP的数量关系．
20．已知，在中，，且．
（1）求a的取值范围；
（2）若为等腰三角形，求a的值．
21．如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB＝12，AC＝8，求△AEF的周长。
22．如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=2∠A，BD是∠ABC的平分线.
（1）求∠A和∠C的度数.
（2）写出图①中与BD相等的线段，并说明理由.
（3）直线BC上是否存在其他的点P，使△BDP为等腰三角形 如果存在，在图②中画出所有满足条件的点P，并直接写出对应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由.
23．如图，点A，B分别在两互相垂直的直线，上．
（1）如图1，在三角形尺子中，，如果点C到直线的距离是5，求的长；
（2）如图2，若，点B在射线上运动时，分别以，为边作与图1中相同形状的，，，连接交射线于点P．
①当时，，求的大小；
②当点B在射线上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
24．如图所示，在△ABC 中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F.
(1)若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BOE+∠COF的度数；
(2)若△AEF的周长为8 cm，且BC=4 cm，求△ABC的周长.
答案
1．3
2．或或
3．
4．72°
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝ ×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝ ×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
故答案是：72°.
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数.
5．
6．C
7．C
8．A
【解析】【解答】解：正五边形的一个内角度数是：，
在 Δ BCD中，BC=CD， ，
∴，
同理， ，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据多边形内角和定理求出五边形的每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出，，最后利用外角的性质计算。
9．C
10．D
【解析】【解答】解：①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形，
则其周长；
②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
则其周长.
故答案为：D.
【分析】分腰为5cm，底边为5cm，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
11．B
12．B
【解析】【解答】解：如图，
则∠ADE=∠1=42°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠DEC=∠ADE+∠A=42°+60°=102°，
又∵a∥b，
∴∠2=∠DEC=102°，
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等得到∠ADE=∠1=42°，然后根据等边三角形得到∠A=60°，即可得到∠DEC=∠ADE+∠A=102°，然后根据平行线得到∠2=∠DEC即可解题.
13．C
【解析】【解答】解：假设等腰三角形的腰是2，则2+2=4，4<7，也就是说两边之和小于第三边，所以假设不成立；
假设等腰三角形的腰是7，则7+7=14，14>7，也就是说两边之和大于第三边；7-7=0，则0<2，即两边之差小于第三边，所以假设成立，所以等腰三角形的周长是7+7+2=16，即等腰三角形的周长是16.
故答案为：C.
【分析】首先需要判断等腰三角形的腰和底边的长度，然后根据三角形的三边关系来计算周长.
14．D
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中 ，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中 ，
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中 ，
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
【分析】首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．
15．D
16．B
17．D
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，
即平分，故③正确；
∵，
∴，
又，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故答案为：D．
【分析】根据定理推出，根据全等三角形的对应角相等得出，然后推出，根据定理推出，即可判断 ① ；根据垂直的定义得出，结合四边形的内角和可推出，即可判断 ② ；根据全等三角形的性质得出，根据SSS定理得出，可得出，即可判断 ③ ；推出，根据三角形的面积公式推出，再推出即可判断 ④ ．
18．（1）；（2）
19．（1）30°；（2） BP=2PQ
20．（1）
（2）10
21．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C△AEF=12+8=20
【解析】【分析】抓住已知条件BO平分∠CBA，得出∠EBO=∠OBC，再根据平行线的性质，由EF∥BC，得出∠EOB=∠OBC，从而证得∠EBO=∠EOB，得出BE=OE，同理证得CF=OF，因此求△AEF的周长就转化为求AB与AC之和，计算即可得出答案。
22．（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=2∠A，
∴∠ACB=∠ABC=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°，
∴∠C=2∠A=72°.
（2）解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠A=36°，
∴∠BDC=∠A+∠CBD=72°=∠C，
∴BD=AD=CB.
（3）解：如图，BD是腰时，以B为圆心，BD为半径画弧，交直线BC于点P1(点C除外)，
此时∠BDP1=∠DBC=18°；
以D为圆心，以BD为半径画弧，交直线BC于点P3，此时∠BDP3=108°；
当BD是底时，作BD的垂直平分线，与BC交于点P2，此时∠BDP2=∠PBD=36°。
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出角的度数即可；
（2）先求出∠ABD=∠CBD=∠A=36°，∠BDC=∠A+∠CBD=72°=∠C，再利用等角对等边的性质分析求解即可；
（3）分类讨论，再利用三角形内角和及等腰三角形的性质求解即可.
23．（1）解：过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，由题意可知：CD=5
∵OM⊥ON，CD⊥OM
∴∠AOB=∠BDC=∠ABC=90°
∴∠BAO＋∠ABO=90°，∠CBD＋∠ABO=90°
∴∠BAO=∠CBD
在△AOB和△BDC中，
∴△AOB≌△BDC
∴OB=CD=5；
（2）解：①∵，
∴∠BAO=∠EAO－∠EAB=30°
∵∠BOA=90°
∴∠ABO=90°－∠BAO=60°
∵∠ABE=90°
∴∠EBP=180°－∠ABO－∠ABE=30°；
②不变，
过点E作EG⊥OM于G，如下图所示
由题意可知：，都是等腰直角三角形
∴∠ABE=∠OBF=90°，BE=AB，OB=FB
∴∠EBG＋∠ABO=180°－∠ABE=90°，∠FBP=180°－∠OBF=90°
∵∠BGE=∠AOB=90°，
∴∠BAO＋∠ABO=90°，
∴∠EBG=∠BAO
在△EBG和△BAO中，
∴△EBG≌△BAO
∴BG=OA=6，EG=OB，
∴EG=FB，
在△EGP和△FBP中，
∴PB=PG
∵PB＋PG=BG
∴PB=BG=3．
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，根据垂直的定义得到：利用"AAS"证明即可求出OB的长度；
（2）①根据角的运算求出的度数，进而求出的度数，最后角的运算即可求出的度数；
②过点E作EG⊥OM于G，根据等腰三角形的性质得到利用"AAS"证明得到再利用"AAS"证明得到，最后根据线段间的数量关系，即可知PB是一个定值.
24．（1）∠BOE+∠COF=50°；（2）12cm.
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12.3等腰三角形
一、填空题
1．如图，，，于，则 ．
2．若是等腰三角形，且，则 °．
3．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．
4．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ .
5．如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 （用含a，b的式子表示）．
二、单选题
6．一个三角形的两边长分别为5cm和10cm，如果选取一条线段组成等腰三角形则第三条边长为（ ）
A．5cm或10cm B．5cm C．10cm D．不确定
7．如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到．若点A恰好在的延长线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，EC、BD是正五边形ABCDE的对角线，则∠1的大小为（ ）
A．72° B．75° C．60° D．80°
9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．7cm B．16cm C．19cm D．17cm或19cm
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的一个底角的度数是（ ）
A．45° B．22.5°或67.5°
C．45°或135° D．45°或67.5°
12．如图，直线，等边的顶点在直线上.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13． 已知某等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长为（ ）
A．9 B．11 C．16 D．11或16
14．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC
C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
15．在和中，，，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．不只是，还有可能是其他值
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）
A．（3，4），（2，4）
B．（3，4），（2，4），（8，4）
C．（2，4），（8，4）
D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）
17．如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
三、解答题
18．（1）已知，，求的值；
（2）如图，中，，，的角平分线交于点．点为上一点，且，，交于点，求的度数．
19．如图，已知△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD，垂足为Q，BE交AD于点P．
（1）求∠PBQ的度数；
（2）判断PQ与BP的数量关系．
20．已知，在中，，且．
（1）求a的取值范围；
（2）若为等腰三角形，求a的值．
21．如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB＝12，AC＝8，求△AEF的周长。
22．如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=2∠A，BD是∠ABC的平分线.
（1）求∠A和∠C的度数.
（2）写出图①中与BD相等的线段，并说明理由.
（3）直线BC上是否存在其他的点P，使△BDP为等腰三角形 如果存在，在图②中画出所有满足条件的点P，并直接写出对应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由.
23．如图，点A，B分别在两互相垂直的直线，上．
（1）如图1，在三角形尺子中，，如果点C到直线的距离是5，求的长；
（2）如图2，若，点B在射线上运动时，分别以，为边作与图1中相同形状的，，，连接交射线于点P．
①当时，，求的大小；
②当点B在射线上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
24．如图所示，在△ABC 中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F.
(1)若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BOE+∠COF的度数；
(2)若△AEF的周长为8 cm，且BC=4 cm，求△ABC的周长.
答案
1．3
2．或或
3．
4．72°
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝ ×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝ ×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
故答案是：72°.
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数.
5．
6．C
7．C
8．A
【解析】【解答】解：正五边形的一个内角度数是：，
在 Δ BCD中，BC=CD， ，
∴，
同理， ，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据多边形内角和定理求出五边形的每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出，，最后利用外角的性质计算。
9．C
10．D
【解析】【解答】解：①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形，
则其周长；
②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
则其周长.
故答案为：D.
【分析】分腰为5cm，底边为5cm，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
11．B
12．B
【解析】【解答】解：如图，
则∠ADE=∠1=42°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠DEC=∠ADE+∠A=42°+60°=102°，
又∵a∥b，
∴∠2=∠DEC=102°，
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等得到∠ADE=∠1=42°，然后根据等边三角形得到∠A=60°，即可得到∠DEC=∠ADE+∠A=102°，然后根据平行线得到∠2=∠DEC即可解题.
13．C
【解析】【解答】解：假设等腰三角形的腰是2，则2+2=4，4<7，也就是说两边之和小于第三边，所以假设不成立；
假设等腰三角形的腰是7，则7+7=14，14>7，也就是说两边之和大于第三边；7-7=0，则0<2，即两边之差小于第三边，所以假设成立，所以等腰三角形的周长是7+7+2=16，即等腰三角形的周长是16.
故答案为：C.
【分析】首先需要判断等腰三角形的腰和底边的长度，然后根据三角形的三边关系来计算周长.
14．D
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中 ，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中 ，
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中 ，
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
【分析】首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．
15．D
16．B
17．D
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，
即平分，故③正确；
∵，
∴，
又，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故答案为：D．
【分析】根据定理推出，根据全等三角形的对应角相等得出，然后推出，根据定理推出，即可判断 ① ；根据垂直的定义得出，结合四边形的内角和可推出，即可判断 ② ；根据全等三角形的性质得出，根据SSS定理得出，可得出，即可判断 ③ ；推出，根据三角形的面积公式推出，再推出即可判断 ④ ．
18．（1）；（2）
19．（1）30°；（2） BP=2PQ
20．（1）
（2）10
21．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C△AEF=12+8=20
【解析】【分析】抓住已知条件BO平分∠CBA，得出∠EBO=∠OBC，再根据平行线的性质，由EF∥BC，得出∠EOB=∠OBC，从而证得∠EBO=∠EOB，得出BE=OE，同理证得CF=OF，因此求△AEF的周长就转化为求AB与AC之和，计算即可得出答案。
22．（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=2∠A，
∴∠ACB=∠ABC=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°，
∴∠C=2∠A=72°.
（2）解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠A=36°，
∴∠BDC=∠A+∠CBD=72°=∠C，
∴BD=AD=CB.
（3）解：如图，BD是腰时，以B为圆心，BD为半径画弧，交直线BC于点P1(点C除外)，
此时∠BDP1=∠DBC=18°；
以D为圆心，以BD为半径画弧，交直线BC于点P3，此时∠BDP3=108°；
当BD是底时，作BD的垂直平分线，与BC交于点P2，此时∠BDP2=∠PBD=36°。
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出角的度数即可；
（2）先求出∠ABD=∠CBD=∠A=36°，∠BDC=∠A+∠CBD=72°=∠C，再利用等角对等边的性质分析求解即可；
（3）分类讨论，再利用三角形内角和及等腰三角形的性质求解即可.
23．（1）解：过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，由题意可知：CD=5
∵OM⊥ON，CD⊥OM
∴∠AOB=∠BDC=∠ABC=90°
∴∠BAO＋∠ABO=90°，∠CBD＋∠ABO=90°
∴∠BAO=∠CBD
在△AOB和△BDC中，
∴△AOB≌△BDC
∴OB=CD=5；
（2）解：①∵，
∴∠BAO=∠EAO－∠EAB=30°
∵∠BOA=90°
∴∠ABO=90°－∠BAO=60°
∵∠ABE=90°
∴∠EBP=180°－∠ABO－∠ABE=30°；
②不变，
过点E作EG⊥OM于G，如下图所示
由题意可知：，都是等腰直角三角形
∴∠ABE=∠OBF=90°，BE=AB，OB=FB
∴∠EBG＋∠ABO=180°－∠ABE=90°，∠FBP=180°－∠OBF=90°
∵∠BGE=∠AOB=90°，
∴∠BAO＋∠ABO=90°，
∴∠EBG=∠BAO
在△EBG和△BAO中，
∴△EBG≌△BAO
∴BG=OA=6，EG=OB，
∴EG=FB，
在△EGP和△FBP中，
∴PB=PG
∵PB＋PG=BG
∴PB=BG=3．
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，根据垂直的定义得到：利用"AAS"证明即可求出OB的长度；
（2）①根据角的运算求出的度数，进而求出的度数，最后角的运算即可求出的度数；
②过点E作EG⊥OM于G，根据等腰三角形的性质得到利用"AAS"证明得到再利用"AAS"证明得到，最后根据线段间的数量关系，即可知PB是一个定值.
24．（1）∠BOE+∠COF=50°；（2）12cm.
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