13.1 勾股定理及其逆定理同步练习（含答案）华东师大版数学八年级上册

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13.1勾股定理及其逆定理
一、填空题
1．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是　 　．
2．如图，在中，，分别以，为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为　 　．
3．如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点E，垂足为点D，如果，则　 　．
4．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于　 　．
5．如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转90°得到线段，连接，则最小值为 　 　．
二、单选题
6．如图，直角三角形三边向形外作了三个正方形，其中数字表示该正方形的面积，那么正方形的面积是（　　）
A．360 B．164 C．400 D．60
7．在直角三角形中，两直角边的长度分别为和．则斜边的长为（　　）
A． B． C． D．
8．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A．4，5，3 B．，2， C．2，2，2 D．1，2，2
9．以下列长度的线段为边不能组成直角三角形的是（　　）
A．8，15，17 B．4，5， C．，1， D．40，50，60
10．在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是( )
A．如果，那么是直角三角形
B．如果，那么是直角三角形
C．如果，那么是直角三角形
D．如果，那么是直角三角形且
11．如图，在数轴上以长为2的为边，作一个正方形，以正方形的对角线的长为半径作圆，其与数轴的两个交点分别为A，B，则点B在数轴上表示的数是（　　）
A． B． C． D．
12．用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
13．已知△ABC的三边长为a，b，c，且分别满足下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A＝2∠B＝3∠C；③a2＋b2＝c2；④∠A＝∠B＝∠C；⑤a2－b2＝c2；⑥a＝，b＝2，c＝1，以上条件中可以判定△ABC为直角三角形的个数( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
14．如图所示，在数轴上点所表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
15．在中，，，、为上两点，，为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
16．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是(　　)
A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1
17．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
三、解答题
18．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且DC⊥BC，DE⊥DC交AC于点E，DE=，CE=2，BC=4，求AB的长．
19．如图，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看．
20．如图，中，，，，将绕点按顺时针旋转，得到，求的长度．
21．某开发区有一空地，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，，，若每种植1平方米草皮需要100元．问总共需要投入多少元？
22．如图，在中，，，是上一点．
（1）如图1，若垂直平分，交于，且，求的长；
（2）如图2，连接，若平分，且，求的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，点A与点B重合．
（1）若∠EBC＝18°，则∠A的度数为 　 　；
（2）若AD＝6.5，BC＝5，求CE的长；
（3）当△BCE的周长为m（m＞0），AB＝n（n＞0），求△ABC的面积．（用含m、n的代数式表示）
24．（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示）
（2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________；
②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________；
（3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．
答案
1．
2．4
【解析】【解答】
解：∵以AC，AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别是9和25
∴
∵∠ACB=90°
∴BC=
故答案为：4
【分析】本题考查勾股定理和正方形的面积，熟知勾股定理和正方形的面积是解题关键，本题根据正方形的面积可求得，在Rt△ACB中，由∠ACB=90°勾股定理可知：BC=，即可得出答案.
3．10
4．
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，
∴BC=，
∵折叠，
∴AE=CE，
∴C△ABE=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=12+5=17.
故答案为：17.
【分析】根据勾股定理得BC，再利用翻折得AE=CE，从而可求出答案.
5．
6．A
【解析】【解答】解：由图可知，正方形的面积等于直角三角形边长的平方，由勾股定理可得出A的面积是1000-640=360.
故答案为：A.
【分析】本题考查了勾股定理的运用.由图可知正方形A的边长是直角三角形的一条直角边，则A的面积是直角边的平方.同理可知1000是直角三角形的斜边的平方，640是直角三角形另一条直角边的平方.再由勾股定理可得出答案.
7．A
8．A
【解析】【解答】解：A：32+42=25，52=25，故A满足题意；
B：()2+22=7，()2=5，7≠5，故B不满足题意；
C：22+22=8，22=4，8≠4，故C不满足题意；
D：12+22=5，22=4，5≠4，故D不满足题意.
故答案为：A.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
9．D
10．D
11．A
12．A
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”，第一步应是假设，
故答案为：A．
【分析】根据反证法，结合题意求解即可。
13．B
14．D
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在Rt△OCB中，OC=2，BC=1，
∴，
∴AO=OB=，
∴在数轴上点所表示的实数是，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出OB的值，再求出AO=OB=，最后求解即可。
15．C
16．A
17．C
【解析】【解答】解：设正△XYZ的边长为u，过顶点X作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴ ，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有 ，
∴正△XYZ的面积为： ，
如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，
设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有： ，
则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为： 、 、 ，
则根据上图有： ， ， ，
即有 ，
∵ ，
∴ ，
即 .
故答案为：C.
【分析】设正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，则利用勾股定理可得XV，然后根据三角形的面积公式表示出S△XYZ，由题意可得△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，设Rt△ABC的三边为AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有a2+b2=c2，表示出△AGC、△AFB、△BCH的面积，结合面积间的和差关系进行计算即可.
18．
19．
20．4
21．总共需要投入元
22．（1）
（2）
23．（1）36°
（2）解：由折叠的性质可得AE＝BE，AD＝BD＝6.5，
∴AB＝AD+BD＝13，
∵BC=5，∠C=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，
设CE＝x，则AE＝BE＝12-x，
∴在Rt△EBC中，由勾股定理得BE2＝CE2+BC2，
∴（12﹣x）2＝x2+52，
解得，
∴；
（3）解：∵△BCE的周长为m（m＞0），
∴BC+CE+BE＝m，
由折叠的性质得AE＝BE，
∴BC+CE+AE＝m，
∴BC+AC＝m，
∴AC＝m﹣BC，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，
∵AB=n，
∴（m﹣BC）2+BC2＝n2，
∴m2﹣2BC m+2BC2＝n2，
∴-2BC2+2BC m＝m2-n2，
∴，
∴
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质得∠EBD=∠A，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠A+∠EBD+∠EBC=90°，
∴2∠A+∠EBC=90°，
∵∠EBC=18°，
∴2∠A+18°=90°，
∴∠A=36°，
故答案为：36°.
【分析】（1）由折叠的性质得到∠EBD=∠A，再根据三角形内角和定理得到2∠A+∠EBC=90°，即可求解；
（2）由折叠的性质可得AE=BE，AD=BD，从而求出AB，再由勾股定理得AC，设CE=x，则AE=BE=12-x，接下来由勾股定理得关于x的方程，解方程即可；
（3）根据三角形周长公式得到BC+CE+BE=m，由折叠的性质得AE=BE，由此得到AC=m-BC，再根据三角形面积公式得到，接下来利用勾股定理得AC2+BC2＝AB2，进而有
-2BC2+2BC m＝m2-n2，最后即可求出.
24．（1）；（2）①，②；（3）
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