13.2 勾股定理的应用同步练习（含答案）华东师大版数学八年级上册

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13.2勾股定理的应用
一、填空题
1．如图，一个圆桶，底面直径为，高为，则一只小虫从下底部点爬到上底点处，问小虫所爬的最短路径长是　 　取．
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”（如图中的实线）．其实他们仅仅少走了　 　m，却踩伤了花草．
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为　 　米．
4．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　 　m．
5．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
二、单选题
6．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．如图所示，中，于，若，，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
9．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为9尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处这棵大树在折断前的高度为．(　　)
A． B． C． D．
13．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（　　）
A．4.2尺 B．4.5尺 C．5.2尺 D．5.5尺
14．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为中心，顺时针旋转△ABC得到△DBE，点E恰好在AB上．若AC＝4，BC＝3，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　）
A．28 B．26 C．32 D．30
16．如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　）
A． B． C． D．12
17．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（　　）
A．6 B．12 C．15 D．25
三、解答题
18．如图，小明和小方分别在处同时出发，小明以每小时40千米的速度向南走，小方以每小时30千米的速度向西走，2小时后，小明在处，小方在处，请求出的距离．
19．如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
20．如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点A离树根部C的距离，若在该树正上方离地面处有高压电线，请判断该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．
21． 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
22．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
23． 定义：两边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇妙三角形.
（1）判断：等边三角形是否一定是奇妙三角形？
（2）在 Rt 中， ，且 ，若 Rt 是奇妙三角形，求 的值；
（3）如图，以 为斜边分别在 的两侧作直角三角形，且 ，若四边形 内存在点 ，使得 .
①求证： 是奇妙三角形；
② 当 是直角三角形时，求 的度数.
24．一个三级台阶如图所示，它的每一级台阶的长、宽和高分别为5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点．点A处有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．求这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B的最短线路长．
答案
1．30
2．4
3．8
4．12
5．或4.8或
6．C
7．B
8．B
9．A
10．C
11．A
12．C
13．A
14．B
15．A
16．A
17．B
18．解：由题意可得：，，
则，
答：的距离为．
19．解：地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离为：
（米）．
答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为4.9米．
20．解：不会，理由为：
根据勾股定理可得：，
∴折断前大树高度为：，
∴该树在折断前不会接触到电线．
21．解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
故AB＝（m），
答：树高AB为m．
22．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
即BC=CA，设AC为xcm，则OC=(45-x)cm，由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，
又∵OA=45，OB=15，把它代入关系式152+（45-x）2=x2，
解方程得：x=25．
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．
23．（1）解：等边三角形是奇妙三角形，
理由如下：
设等边三角形的边为 ，则 ，符合奇妙三角形的定义，
等边三角形一定是奇妙三角形
（2）解： ，
①，
是奇妙三角形且 ，
②，
由①②解得： ，
（3）解：① 由题知 和 是直角三角形，
，
，
，
是奇妙三角形.
② 由①知 是奇妙三角形，且 ，
当 是直角三角形时，
由 (2) 可得 或 ，
i) 当 时，即 ，
，
，
，
，
；
ii) 当 时，即 ，
，
.
的度数为 或
24．解：将台阶展开，如图，
∵AC=3×3+1×3=12(cm)，BC=5cm，
∴AB2=AC2+BC2=169，
∴AB=13cm，
∴蚂蚁爬行的最短线路长为13cm
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