第十二章 全等三角形同步练习（含答案）华东师大版数学八年级上册

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第十二章全等三角形
一、填空题
1．如图，两个三角形全等，则的度数是　 　．
2．如图，已知中，，，垂直平分，点D为垂足，交于点 E．那么的周长为　 　．
3．若等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边长为　 　．
4．如图，在直角中，，，，，平分，是上一动点（不与重合），是上一动点（不与重合），则的最小值为　 　．
5．如图，在中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动．若发现与恰好全等，则点Q运动速度可能为　 　
二、单选题
6．如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．若，则
C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
D．两直线平行，同位角相等
8．如图，是等边三角形，．若，则的周长为（　　）
A．12 B．18 C．20 D．24
9．如图，是的平分线，是的平分线．若，，则是（　　）度．
A．40 B．60 C．70 D．80
10． 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
11．如图，已知正五边形，，交的延长线于点F，则等于（　　）
A． B． C． D．
12．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：
求作：，使
作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；
（4）过点画射线，则．
小聪作法正确的理由是（　　）
A．由可得，进而可证
B．由可得，进而可证
C．由可得，进而可证
D．由“等边对等角”可得
13．已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A． B． C．或 D．或
14．下列命题的逆命题不成立的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．若，则
15．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　）
A． B．3 C． D．9
16．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
17．如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（　　）
A．75° B．90° C．95° D．105°
三、解答题
18．如图，在中，，，垂直平分，交于点，求的度数.
19．如图，，平分，，求的大小．
20．已知：如图，平分，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的度数．
21．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内：①a//b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b.请你用①②③④所给出的其中两个作为条件，其中一个作为结论（用“如果……那么……”的形式，写出命题.例如：如果a⊥c，b⊥c，那么a//b）.
（1）写出一个真命题，并说明它的正确性.
（2）写出一个假命题，并举出反例.
22．如图所示，在等边三角形ABC中，P、Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°．
（1）求∠AQB的度数；
（2）在（1）的条件下，点Q关于直线AC的时称点为M， 连接MM、PM、QC， 求证：AP＝PM．
23． 在中，为直线AC上一点，过点作于点，交直线BC于点。
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？　 　（填“成立”或“不成立”）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA= ▲ 度时，存在AQ=2BD，说明理由。
24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型建立】
（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到　　，　　．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点坐标是，点，，且，连接．求的度数；
【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．
答案
1．
2．8
3．5cm
【解析】【解答】解：如图所示，
设AD=DC=x，BC=y，由题意得
或
解之：或
当时等腰三角形的三边为8，8，17，不符合三角形的三边关系；
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
所以，这个等腰三角形的底边长是5，
故答案为：5cm
【分析】根据题意作出图形，设AD=DC=x，BC=y，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解。
4．
5．2或3
6．D
7．D
8．B
9．C
10．A
【解析】【解答】解：由题意得：MC=NC．
在△OMC和△ONC中，
∵OM=ON，OC=OC，MC=NC，
∴△OMC≌△ONC（SSS）．
故答案为：A.
【分析】根据题意可得到MC=NC 再结合OM=ON，OC=OC， 从而可得△OMC≌△ONC，于是可得判定两个三角形全等的依据。
11．B
12．A
13．D
14．B
15．C
16．B
17．C
18．
19．
20．（1）
（2）
21．（1）解：如果，那么.
理由：如图，，
，
.
（2）解：如果，那么.反例：见(1)
图，如果，那么.(答案不唯一)
【解析】【分析】（1）写一个真命题：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；
（2）可根据（1）答案改变结果，写出假命题（答案不唯一）.
22．（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝60°，
∵∠BAP＝20°，
∴∠APB＝180°-60°-20°＝100°，
∴∠APQ＝180°-100°＝80°，
∵AP＝AQ，
∴∠AQB＝∠APQ＝80°；
（2）证明：∵点Q关于直线AC的时称点为M，
∴AC垂直平分QM，
∴AQ＝AM，∠QAC＝∠CAM，
∵AP＝AQ，
∴AP＝AM，
∴△APM是等腰三角形，
在△APQ中，∠APQ＝∠AQP＝80°，
∴∠PAQ＝20°，
∴∠PAQ＝∠QAC＝∠CAM＝20°，
∴∠PAM＝60°，
∴△APM是等边三角形，
∴AP＝PM．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理得出∠APB＝100°，再根据等腰三角形的性质，结合三角形外角性质计算；
（2）根据轴对称的性质可得AC垂直平分QM， 再根据等腰三角形的判定得出△APM是等腰三角形，最后利用等边三角形的判定证△APM是等边三角形即可．
23．（1）证明：，
在 和 中，
（2）成立
（3）22.5
【解析】【解答】解：（2）∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中，
，
∴△AQC≌△BPC(ASA)，
∴ AQ=BP，
故答案为：成立.
（3） ，
在 与 中，
，
当 度时， 存在
【分析】(1)首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而利用“ASA”得出△ACQ≌△BCP，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
(2)根据题意得到∠CAQ=∠DBQ，利用“ASA”推出△AQC≌△BPC，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
(3)根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，再利用“AAS”△PBC≌△ACQ，再根据全等三角形的性质即可得到结论.
24．（1）；；（2）；（3）点的坐标为或或或．
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