第十三章 勾股定理同步练习（含答案）华东师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第十三章 勾股定理同步练习（含答案）华东师大版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 759.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-04 06:23:29 | ||
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文档简介
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第十三章勾股定理
一、填空题
1．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
2．2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若，，则小正方形的面积为 ．
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝ .
4．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．在旋转过程中，当∠ADM=90时，则AM的长为 ，若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，则BD2的长为 ．
5．如图，平行四边形中，，E是边上一点，且是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是 ．
二、单选题
6．小华用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形共用火柴棒（ ）
A．10根 B．14根 C．24根 D．30根
7．把米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙米，则梯子顶端到离地面（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ）
A．3 B． C． D．或
9．如图，小逸家的房门左下角受潮了，他想检测房门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余
10．已知下列各组线段的长度，能作为一个直角三角形三边的是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．如图，在Rt中，，分别以AC、BC为边作正方形，若，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．144 B．120 C．100 D．无法计算
12．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝ B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
13． 用反证法证明“四边形至少有一个角钝角或直角”时，应先假设（ ）
A．四边形中每个角都是锐角
B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角
D．四边形中有三个角是钝角或直角
14．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
15． 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．（ ）
A． B． C． D．
17．如图， 在矩形 中， 点 在 边上， 把 沿直线 折叠， 使点 落在 边上的点 处， 连结 ， 过点 作 ， 垂足为 ， 若 ， 则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
18．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
19．如图，在电线杆上的点处，向地面拉有一条长的钢缆，地面固定点到电线杆底部的距离于，电线杆上的固定点到电线杆顶端的距离为，求电线杆的高度．
20．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形，请直接写出阴影部分的面积 ．
（3）把正方形放到数轴上，如图2，使得A与重合，请直接写出D在数轴上表示的数 ．
21．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.
（1）求公路CD、AD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．
22．如图甲所示，在中，是AC边上的两点，且满足.以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连结DF.
（1）求证：DF=DE.
（2）如图乙所示，若，其他条件不变.求证：.
23．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四， 则弦五”的记载， 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” （如图 ①， 后人称之为 “赵爽弦图”， 流传至今．
（1） ①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明， 人们已经找到了 400 多种方法， 请从以下三种常见的证明方法中任选一种来证明该定理 （图 ①②③均满足证明勾股定理所需的条件）．
（2） ①如图④⑤⑥， 以直角三角形的三边为边或直径， 分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 ▲ 个．
②如图⑦， 分别以直角三角形三边为直径作半圆， 设图中两个月牙形图案（图中阴影部分） 的面积分别为 ， ， 直角三角形的面积为 ， 请判断 的数量关系并证明．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B'，C'处，且边DB'与DC'在同一直线上，连结AC'．
（1）求证：△ADE是直角三角形；
（2）当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
答案
1．
2．4
3．5
4．；
5．
6．C
7．B
8．D
9．C
10．C
11．A
12．D
13．A
14．A
15．A
16．B
17．A
18．解：根据题意，得，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴风筝距离地面的高度为12米．
19．解：在Rt中，由勾股定理得，
，
，
电线杆的高度为．
20．（1）解：．
答：这个魔方的棱长为4；
（2）8
（3）
21．（1）解：千米，千米，
（千米），
千米，
千米，
（千米）；
（2）解：，
解得千米，
修建公路DH的费用为（万元）.
22．（1）证明：，
.
由旋转的性质，得，
.
在与中，
，
（2）解：由旋转的性质，得，
.
又，
在中，
又同（1）可得
23．（1）解：（1）①勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么.
②选择图①，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
选择图②，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
化简得：
选择图③，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
即：
化简得：.
（2）3.
②∵
∴
∵
∴.
24．（1）证明：根据题意得∠ADB＝∠ADB'，∠CDE＝∠C'DE，
∵∠ADB+∠ADB'+∠CDE+∠C'DE＝180°，
∴2∠ADB'+2∠C'DE＝180°，
∴∠ADB'+∠C'DE＝90°，
即∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形；
（2）解：①当AD＝DC'时，设BD＝x，
得DC＝4-x，
∵DC'＝DC，
∴AD＝DC＝4-x，
在Rt△ABC中AB2+BD2＝AD2，
∴9+x2＝（4-x）2，
∴；
②当AD＝AC'时，
∵AB'⊥DC'，
∴B'是DC'的中点，
∵DC'＝DC，
∴，
设BD＝x，则DC＝4-x，
∴，
∵BD＝DB'，
∴，
∴，
∴当 或 时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
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第十三章勾股定理
一、填空题
1．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
2．2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若，，则小正方形的面积为 ．
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝ .
4．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．在旋转过程中，当∠ADM=90时，则AM的长为 ，若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，则BD2的长为 ．
5．如图，平行四边形中，，E是边上一点，且是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是 ．
二、单选题
6．小华用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形共用火柴棒（ ）
A．10根 B．14根 C．24根 D．30根
7．把米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙米，则梯子顶端到离地面（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ）
A．3 B． C． D．或
9．如图，小逸家的房门左下角受潮了，他想检测房门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余
10．已知下列各组线段的长度，能作为一个直角三角形三边的是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．如图，在Rt中，，分别以AC、BC为边作正方形，若，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．144 B．120 C．100 D．无法计算
12．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝ B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
13． 用反证法证明“四边形至少有一个角钝角或直角”时，应先假设（ ）
A．四边形中每个角都是锐角
B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角
D．四边形中有三个角是钝角或直角
14．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
15． 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．（ ）
A． B． C． D．
17．如图， 在矩形 中， 点 在 边上， 把 沿直线 折叠， 使点 落在 边上的点 处， 连结 ， 过点 作 ， 垂足为 ， 若 ， 则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
18．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
19．如图，在电线杆上的点处，向地面拉有一条长的钢缆，地面固定点到电线杆底部的距离于，电线杆上的固定点到电线杆顶端的距离为，求电线杆的高度．
20．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形，请直接写出阴影部分的面积 ．
（3）把正方形放到数轴上，如图2，使得A与重合，请直接写出D在数轴上表示的数 ．
21．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.
（1）求公路CD、AD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．
22．如图甲所示，在中，是AC边上的两点，且满足.以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连结DF.
（1）求证：DF=DE.
（2）如图乙所示，若，其他条件不变.求证：.
23．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四， 则弦五”的记载， 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” （如图 ①， 后人称之为 “赵爽弦图”， 流传至今．
（1） ①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明， 人们已经找到了 400 多种方法， 请从以下三种常见的证明方法中任选一种来证明该定理 （图 ①②③均满足证明勾股定理所需的条件）．
（2） ①如图④⑤⑥， 以直角三角形的三边为边或直径， 分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 ▲ 个．
②如图⑦， 分别以直角三角形三边为直径作半圆， 设图中两个月牙形图案（图中阴影部分） 的面积分别为 ， ， 直角三角形的面积为 ， 请判断 的数量关系并证明．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B'，C'处，且边DB'与DC'在同一直线上，连结AC'．
（1）求证：△ADE是直角三角形；
（2）当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
答案
1．
2．4
3．5
4．；
5．
6．C
7．B
8．D
9．C
10．C
11．A
12．D
13．A
14．A
15．A
16．B
17．A
18．解：根据题意，得，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴风筝距离地面的高度为12米．
19．解：在Rt中，由勾股定理得，
，
，
电线杆的高度为．
20．（1）解：．
答：这个魔方的棱长为4；
（2）8
（3）
21．（1）解：千米，千米，
（千米），
千米，
千米，
（千米）；
（2）解：，
解得千米，
修建公路DH的费用为（万元）.
22．（1）证明：，
.
由旋转的性质，得，
.
在与中，
，
（2）解：由旋转的性质，得，
.
又，
在中，
又同（1）可得
23．（1）解：（1）①勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么.
②选择图①，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
选择图②，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
化简得：
选择图③，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
即：
化简得：.
（2）3.
②∵
∴
∵
∴.
24．（1）证明：根据题意得∠ADB＝∠ADB'，∠CDE＝∠C'DE，
∵∠ADB+∠ADB'+∠CDE+∠C'DE＝180°，
∴2∠ADB'+2∠C'DE＝180°，
∴∠ADB'+∠C'DE＝90°，
即∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形；
（2）解：①当AD＝DC'时，设BD＝x，
得DC＝4-x，
∵DC'＝DC，
∴AD＝DC＝4-x，
在Rt△ABC中AB2+BD2＝AD2，
∴9+x2＝（4-x）2，
∴；
②当AD＝AC'时，
∵AB'⊥DC'，
∴B'是DC'的中点，
∵DC'＝DC，
∴，
设BD＝x，则DC＝4-x，
∴，
∵BD＝DB'，
∴，
∴，
∴当 或 时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
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