11.1 幂的运算 同步练习（含解析）华东师大版数学八年级上册

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11.1幂的运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面是小颖同学计算的过程：
解：，则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ）
A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法
B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法
C．积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方
D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方
2．下列4个算式中，计算错误的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．已知，那么大小顺序为（　　）
A． B．
C． D．
4．，，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．2
5．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则m的值为（ ）
A．5 B．24 C．9 D．10
7．已知，那么x的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
10．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
11．下列属于幂的乘方的是（ ）
A． B． C． D．
12．若，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
13．若，则 ．
14．计算： ．
15．阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示．
解：因为知，，所以．
（1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案： ；
（2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示 ．
16．已知，，则 ．
17．计算的结果是 ．
三、解答题
18．如果，那么我们规定．
如：因为，所以．
(1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________；
(2)【说理】记．试说明：；
(3)【应用】若，直接写出的值．
19．计算：
(1)
(2)
20．将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
21．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：_____；
(2)若，，且，求的值．
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：设，，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算：_____．
22．计算：
(1)；
(2)．
23．计算：
(1)；
(2)．
24．计算：
(1)；
(2)．
《11.1幂的运算》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A C D C C D B
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】本题考查幂的运算性质，包括积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法．根据解题步骤逐一判断对应的运算法则即可．
【详解】步骤①：原式为，将其展开为．此处将括号内的乘积整体进行乘方，应用了积的乘方法则．
步骤②：将化简为．此处对幂的乘方进行运算，应用了幂的乘方法则．
步骤③：将合并为．此处将同底数的幂相乘，应用了同底数幂的乘法法则．
综上，步骤①②③依次对应的运算性质为积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，
故选：A．
2．C
【分析】根据同底数幂的乘法及除法法则进行逐一计算即可．
【详解】解：∵，
∴（1）计算错误，符合题意；
∵，
∴（2）计算正确，不符合题意；
∵
∴（3）计算正确，不符合题意；
∵，
∴（4）计算错误，符合题意，
∴（1）（4）两项错误，计算错误的有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法及除法法则∶（1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；（2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减，熟记同底数幂的乘法及除法法则是解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用．
本题应先将、d化为指数都为2的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出结果．
【详解】解：，，，，
∵，
∴ ，
故选：D．
4．A
【分析】先逆用同底数幂除法法则将变形为，再用幂的乘方法则及其逆用，变形为，然后代入已知计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
=
=，
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂除法，幂的乘方法，熟练掌握同底数幂除法法则的逆用和幂的乘方法则及其逆用是解题的关键．
5．C
【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出，，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知，是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘．将每个乘数表示为2的幂次，利用同底数幂相乘法则，指数相加即可求解．
【详解】解：将各数分解为2的幂次：
原式可化为：
∴，
∴．
故选：D．
7．C
【分析】根据，列出关于x的方程，解关于x的方程即可．
【详解】解：∵，
∴2+x-4＝5，
解得：x＝7，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据题意得出2+x-4＝5，是解题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题．
【详解】解：A. 不是同类项，不能运算，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】本题考查的是逆用同底数幂的乘法与积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．根据逆用同底数幂的乘法与积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
11．D
【分析】此题考查的是幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
根据积的乘方与幂的乘方进行计算即可得到答案．
【详解】解：A.没有运算，故不符合题意
B.，是积的乘方，故不符合题意
C.,是积的乘方和幂的乘方，故不符合题意
D.,是幂的乘方，故符合题意
故选：D ．
12．B
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先由幂的乘方的逆运算法则把原式变形为，进一步可变形，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
13．2
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘运算法则“底数不变，指数相加”计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了积的乘方逆用，同底数幂的乘发，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用运算法则进行运算即可；
（2）利用积的乘方公式运算求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
故答案为：．
16．/0.5
【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查同底数幂的除法运算，解题的关键是熟知其运算法则．
17．
【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方的运算法则将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
18．(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，幂的乘方的运算法则，读懂题意理解新定义规定是解题的关键．
（1）根据新定义规定即可解答；
（2）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答；
（3）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答；
【详解】（1）解：∵ ，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的运算．
（1）先计算积的乘方和同底数幂乘法，再合并同类项计算即可；
（2）利用多项式乘单项式法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
20．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）逆用积的乘方法则计算即可；
（2）先逆用幂的乘方法则，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求出m的值．
【详解】（1）解：原式，
，
，
；
（2）解：，
．
21．(1)3
(2)
(3)①见解析；②
【分析】本题考查了新运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，理解新运算是解题的关键．
（1）根据规定的运算计算即可；
（2）根据规定的运算得，，则，由即可求解；
（3）①由规定的运算得，，，再根据，即，即可证明结论成立；
②由材料中结论得；设，，则，再由规定的运算即可求得c的值，从而求得结果．
【详解】（1）解：∵，
∴；
故答案为：3；
（2）解：∵，，且，
∴，，
∴；
（3）①证明：，，，
，，，
，
，
即：，
；
②解：
；
设，，则，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据同底数幂乘法，积的乘方和单项式除以单项式的计算法则求解即可；
（2）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了幂的混合计算，整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
23．(1)；
(2)；
【分析】（1）根据幂的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项的法则来计算．先根据幂的乘方法则计算与，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项．
（2）依据幂的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项的法则进行计算．先根据积的乘方及幂的乘方法则计算与，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项．
本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项的运算法则．
熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
24．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则化简，进而合并同类项得出答案．
【详解】（1）
（2）
【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
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