11.3 乘法公式 同步练习（含解析）华东师大版数学八年级上册

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11.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是完全平方式，则的值是（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．下列各式不能用乘法公式进行计算的是（　　）
A． B．
C． D．
3．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，你能根据两个图形面积得到的公式是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知关于x的式子，则（　　）
A．9 B．10 C．11 D．7
5．下列各式中，为完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列各式中，与相等的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张．把纸片Ⅰ，Ⅱ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积和满足，则，满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
11．计算的结果是（　　）
A．1 B．0 C． D．
12．若，，则的值为（　　）
A．9 B．18 C． D．0
二、填空题
13．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有，的式子表示）．
14．若，，则的值为 ．
15．设．若，则 ．
16．已知，，，当时，则的值是 ．
17．已知，且，则 ．
三、解答题
18．阅读与思考
下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如果，，那么，即，得，即是的最小值，当时，等号成立． 例题：当时，求的最小值． 解：令，，由，得， ∴， 故当时，有最小值2．
任务：
(1)填空：已知，只有当______时，有最小值，最小值为______．
(2)如图，P为双曲线上的一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求的最小值．
19．请认真观察图形中阴影部分与整个图形之间的关系，解答下列问题：
(1)根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请直接用等式表示出来；
(2)如果图中的a，b满足，，求ab的值；
(3)已知，求的值．
20．运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)．
21．数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式．
(1)观察下图，通过下图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 ．
(2)请你借助下面的正方形，画出能说明完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程）
(3)有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20；将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9．求正方形A、B的面积之和．
22．观察下列等式：
①
②
③
④
(1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________；
(2)猜想并写出符合上述规律的第个等式：___________；并证明猜想的正确性．
23．如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）；
(2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知，，则______；
②计算：．
24．综合与实践
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘除”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了两数和的平方公式：（如图①）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
（1）由图②可得等式：；
（2）由图③可得等式：；
【解决问题】若，利用图③得到的结论，求的值；
【方法拓展】已知正数和满足，试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
《11.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C A D D A C C
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．先根据完全平方式的结构特征，列出关于的方程，解方程求出即可．
【详解】解：是完全平方式，，
，
即或，
解得：或，
故选：A．
2．D
【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可．
【详解】解：A、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、中与互为相反数，与互为相反数，故不能进行平方差公式计算，但是可以变形为，这样就可以运用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
D、中与不是相反数，与不相等，故不能用乘法公式计算，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式的运用．解题的关键是熟记平方差公式，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数．
3．C
【详解】
【分析】首先求出甲的面积为，然后求出乙图形的面积为，根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式．
【解答】
解：甲图形的面积为，乙图形的面积为，
根据两个图形的面积相等知，，
故选：．
【点评】
本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．
4．C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式解答即可．
【详解】解：，
，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了完全平方公式，
根据完全平方公式的形式解答即可．
【详解】解：因为符合完全平方公式的形式，所以A正确；
因为不符合完全平方公式的形式，所以B不正确；
因为不符合完全平方公式的形式，所以C不正确；
因为不符合完全平方公式的形式，所以D不正确．
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【详解】解：∵，
∴
即，
∴
故选：D．
7．D
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式，解题关键是掌握上述法则或公式．
先利用多项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式，逐一对四个式子计算，再作出判断．
【详解】解：
与选项A一致，故A正确；
选项B为，漏掉和，故B错误；
根据完全平方公式，，而选项C为，少这一项，故C错误；
根据平方差公式，，但选项D为，不相等，故D错误，
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记完全平方公式成为解题的关键．
利用完全平方公式对原式进行变形，再逐项判断即可解答．
【详解】解：原式为，根据完全平方公式，可变形为，对应选项C符合题意．
故选C．
10．C
【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用，分别表示出，根据，进行求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
11．A
【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便计算，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
先将原式化为，再由平方差公式计算即可．
【详解】解：
故选：A．
12．B
【分析】本题考查完全平方公式的变形，根据，利用整体代入计算解题．
【详解】解：，
故答案为：B．
13．/
【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用．将阴影部分看作长为，宽为的长方形．
【详解】解：阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，利用平方差公式计算，解题关键是掌握平方差公式．
先利用平方差公式展开，再整体代入求值．
【详解】解：当，时，
，
故答案为：3．
15．27
【分析】本题考查完全平方公式的运用，找到a、b、c之间的关系是解答的关键．先根据已知得到，，进而得到，然后利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：，，，
，．
，
，即，
∴，
．
故答案为：27．
16．
【分析】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．根据题意将，代入，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
即
故答案为：．
17．4
【分析】根据，结合，求平方根解答即可．
本题考查了完全平方公式的应用，平方根，熟练掌握公式变形，平方根是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
由，
得，
解得或，
由，
得，
故，
故答案为：4．
18．(1)2,4
(2)
【分析】（1）利用阅读材料的结论、并仿照阅读材料的例题解答即可；
（2）设的坐标为，，可得，然后根据阅读材料的结论解答即可．
【详解】（1）解：令，，由，得，
∴，
故当时，有最小值4．
故答案为2,4．
（2）解：设的坐标为，
∴
∴
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、完全平方公式的应用等知识点，读懂材料、理解成为解答本题的关键．
19．(1)
(2)12
(3)28
【分析】（1）根据图形从两种思路，表示面积即可得；
（2）由（1）的结论，运用完全平方公式进行变形，整体代入求解即可；
（3）设，，，然后利用完全平方公式计算即可.
【详解】（1）解：根据图中的条件，可以得到．
（2）解：∵，，
∴．
∴
∴．
（3）解：设，，
则，．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，解决问题的关键是熟练运用完全平方公式．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
（1）利用完全平方公式直接求解即可．
（2）利用完全平方公式直接求解即可．
（3）利用完全平方公式直接求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
21．(1)
(2)见解析
(3)正方形A、B的面积之和为29
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景和平方差公式，解题的关键是根据图形得出数量关系．
（1）根据阴影部分的面积相等列出等式即可；
（2）根据画出图形即可；
（3）设正方形A、B的边长分别为m，n，根据图①和图②中的阴影面积得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可
【详解】（1）解：图一中阴影面积
图二中阴影面积
∵阴影部分的面积相等
∴；
（2）解：如图所示，

大正方形的面积为
大正方形的面积还可以表示为
∴
∴；
（3）解：设正方形 A、B 的边长分别为 m，n，
∵图①中阴影部分的面积为20，
∴，即，
∵图②中阴影部分（正方形）的面积为9，
即
∴正方形A、B的面积之和为29．
22．(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】本题主要考查根据规律运算、完全平方公式应用、整式的混合运算法则等知识点，根据题干得到式子之间存在的规律是解题的关键．
（1）根据题干规律直接写出答案即可；
（2）找出分子两个数之间关系直接写出答案，利用完全平方公式以及整式的相关运算法则即可证明．
【详解】（1）解：由题意可得，第⑥个等式为：．
故答案为：．
（2）解：第个：，证明如下：
∵左边，右边，
∴左边右边，
∴．
23．(1)
(2)①；②
【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案；
（2）①根据平方差公式将转化为，再根据，进而求出的值；
②利用平方差公式将原式化为，进而得出即可．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
由图1、图2的面积相等得，，
故答案为：；
（2）解：①，
，
又，
，
故答案为：3；
②原式
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
24．[解决问题] 155；[方法拓展]见解析
【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，解题的关键是数形结合，熟练掌握整式乘法运算法则．
[解决问题]结合（2）的公式变形，把字母的值代入可以得解；
[方法拓展]拓展造一个边长为的正方形，并根据对各边进行分割，然后根据正方形、矩形的面积计算公式即可得解．
【详解】解：[解决问题]由图3得，
．
当时，
．
[方法拓展]如图，构造了一个边长为k的正方形，在正方形的4条边上分别截取．
．
，
．
∴三个长方形的面积和为，大正方形的面积为．
根据图形可知，三个长方形的面积和小于大正方形的面积，
．
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