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11.3乘法公式
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.若是完全平方式,则的值是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
2.下列各式不能用乘法公式进行计算的是( )
A. B.
C. D.
3.将图(甲)中阴影部分的小长方形变换到图(乙)位置,你能根据两个图形面积得到的公式是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知关于x的式子,则( )
A.9 B.10 C.11 D.7
5.下列各式中,为完全平方式的是( )
A. B. C. D.
6.已知,则( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
8.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
9.下列各式中,与相等的是( )
A. B. C. D.
10.如图1,现有边长为和的正方形纸片各一张,长和宽分别为,的长方形纸片一张.把纸片Ⅰ,Ⅱ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内,若图2中阴影部分的面积和满足,则,满足的关系式为( )
A. B. C. D.
11.计算的结果是( )
A.1 B.0 C. D.
12.若,,则的值为( )
A.9 B.18 C. D.0
二、填空题
13.如图,某小区有一块长为米,宽为米的长方形地块,物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为米,将阴影部分进行绿化,则阴影部分的面积 (用含有,的式子表示).
14.若,,则的值为 .
15.设.若,则 .
16.已知,,,当时,则的值是 .
17.已知,且,则 .
三、解答题
18.阅读与思考
下面是小米同学的数学笔记,请仔细阅读并完成相应的任务. 如果,,那么,即,得,即是的最小值,当时,等号成立. 例题:当时,求的最小值. 解:令,,由,得, ∴, 故当时,有最小值2.
任务:
(1)填空:已知,只有当______时,有最小值,最小值为______.
(2)如图,P为双曲线上的一点,过点P作轴于点C,轴于点D,求的最小值.
19.请认真观察图形中阴影部分与整个图形之间的关系,解答下列问题:
(1)根据图中条件,你能得到怎样的等量关系?请直接用等式表示出来;
(2)如果图中的a,b满足,,求ab的值;
(3)已知,求的值.
20.运用完全平方公式计算:
(1);
(2);
(3).
21.数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一,在研究代数问题时,我们常常可以通过构造几何图形,用面积直观地推导公式.
(1)观察下图,通过下图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 .
(2)请你借助下面的正方形,画出能说明完全平方公式的图形,并在图上标注清楚相应的字母.(只画出图形,不写推理过程)
(3)有两个大小不同的正方形A和B,现将A,B并列放置后构造新的正方形得到图①,其阴影部分的面积为20;将B放在A的内部得到图②,其阴影部分(正方形)的面积为9.求正方形A、B的面积之和.
22.观察下列等式:
①
②
③
④
(1)请按以上规律写出第⑥个等式:___________;
(2)猜想并写出符合上述规律的第个等式:___________;并证明猜想的正确性.
23.如图1,边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形,然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示).
(1)上述操作能验证的等式是______(用,表示);
(2)请利用你从(1)得出的等式,完成下列各题:
①已知,,则______;
②计算:.
24.综合与实践
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如:在学习“整式的乘除”时,我们通过构造几何图形,用“等积法”直观地推导出了两数和的平方公式:(如图①).利用“数形结合”的思想方法,可以从代数角度解决图形问题,也可以用图形关系解决代数问题.
【方法应用】
(1)由图②可得等式:;
(2)由图③可得等式:;
【解决问题】若,利用图③得到的结论,求的值;
【方法拓展】已知正数和满足,试通过构造边长为的正方形,利用图形面积来说明.
《11.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C A D D A C C
题号 11 12
答案 A B
1.A
【分析】本题考查完全平方公式,熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键.先根据完全平方式的结构特征,列出关于的方程,解方程求出即可.
【详解】解:是完全平方式,,
,
即或,
解得:或,
故选:A.
2.D
【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可.
【详解】解:A、中与互为相反数,与相等,故能进行平方差公式计算,故此选项不符合题意;
B、中与互为相反数,与相等,故能进行平方差公式计算,故此选项不符合题意;
C、中与互为相反数,与互为相反数,故不能进行平方差公式计算,但是可以变形为,这样就可以运用完全平方公式计算,故此选项不符合题意;
D、中与不是相反数,与不相等,故不能用乘法公式计算,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式的运用.解题的关键是熟记平方差公式,根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同,另一项互为相反数.
3.C
【详解】
【分析】首先求出甲的面积为,然后求出乙图形的面积为,根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式.
【解答】
解:甲图形的面积为,乙图形的面积为,
根据两个图形的面积相等知,,
故选:.
【点评】
本题主要考查平方差的几何背景的知识点,求出两个图形的面积相等是解答本题的关键.
4.C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用,利用完全平方公式解答即可.
【详解】解:,
,
故选:C.
5.A
【分析】本题主要考查了完全平方公式,
根据完全平方公式的形式解答即可.
【详解】解:因为符合完全平方公式的形式,所以A正确;
因为不符合完全平方公式的形式,所以B不正确;
因为不符合完全平方公式的形式,所以C不正确;
因为不符合完全平方公式的形式,所以D不正确.
故选:A.
6.D
【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用,把已知条件两边平方,然后利用完全平方公式展开整理即可得解.
【详解】解:∵,
∴
即,
∴
故选:D.
7.D
【分析】本题考查平方差公式,根据平方差公式,进行判断即可.
【详解】解:A、,不符合题意;
B、,不符合题意;
C、,不符合题意;
D、,符合题意;
故选:D.
8.A
【分析】本题考查了多项式乘以多项式,完全平方公式,平方差公式,解题关键是掌握上述法则或公式.
先利用多项式乘以多项式,完全平方公式,平方差公式,逐一对四个式子计算,再作出判断.
【详解】解:
与选项A一致,故A正确;
选项B为,漏掉和,故B错误;
根据完全平方公式,,而选项C为,少这一项,故C错误;
根据平方差公式,,但选项D为,不相等,故D错误,
故选:A.
9.C
【分析】本题主要考查了完全平方公式,牢记完全平方公式成为解题的关键.
利用完全平方公式对原式进行变形,再逐项判断即可解答.
【详解】解:原式为,根据完全平方公式,可变形为,对应选项C符合题意.
故选C.
10.C
【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用,分别表示出,根据,进行求解即可.
【详解】解:由题意可得:,
∵,
∴,
∴,
∴;
故选C.
11.A
【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便计算,掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.
先将原式化为,再由平方差公式计算即可.
【详解】解:
故选:A.
12.B
【分析】本题考查完全平方公式的变形,根据,利用整体代入计算解题.
【详解】解:,
故答案为:B.
13./
【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用.将阴影部分看作长为,宽为的长方形.
【详解】解:阴影部分的面积为:
,
故答案为:.
14.3
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值,利用平方差公式计算,解题关键是掌握平方差公式.
先利用平方差公式展开,再整体代入求值.
【详解】解:当,时,
,
故答案为:3.
15.27
【分析】本题考查完全平方公式的运用,找到a、b、c之间的关系是解答的关键.先根据已知得到,,进而得到,然后利用完全平方公式即可求解.
【详解】解:,,,
,.
,
,即,
∴,
.
故答案为:27.
16.
【分析】本题考查了完全平方公式,对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键.根据题意将,代入,进而得出,即可求解.
【详解】解:∵,,
∴
∴
∴
∴
即
故答案为:.
17.4
【分析】根据,结合,求平方根解答即可.
本题考查了完全平方公式的应用,平方根,熟练掌握公式变形,平方根是解题的关键.
【详解】解:根据题意,得,,
由,
得,
解得或,
由,
得,
故,
故答案为:4.
18.(1)2,4
(2)
【分析】(1)利用阅读材料的结论、并仿照阅读材料的例题解答即可;
(2)设的坐标为,,可得,然后根据阅读材料的结论解答即可.
【详解】(1)解:令,,由,得,
∴,
故当时,有最小值4.
故答案为2,4.
(2)解:设的坐标为,
∴
∴
∴的最小值为.
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、完全平方公式的应用等知识点,读懂材料、理解成为解答本题的关键.
19.(1)
(2)12
(3)28
【分析】(1)根据图形从两种思路,表示面积即可得;
(2)由(1)的结论,运用完全平方公式进行变形,整体代入求解即可;
(3)设,,,然后利用完全平方公式计算即可.
【详解】(1)解:根据图中的条件,可以得到.
(2)解:∵,,
∴.
∴
∴.
(3)解:设,,
则,.
∵,
∴.
∴.
∴.
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释,解决问题的关键是熟练运用完全平方公式.
20.(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式,解题的关键是熟记完全平方公式.
(1)利用完全平方公式直接求解即可.
(2)利用完全平方公式直接求解即可.
(3)利用完全平方公式直接求解即可.
【详解】(1)解:原式;
(2)解:原式
;
(3)解:原式
.
21.(1)
(2)见解析
(3)正方形A、B的面积之和为29
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景和平方差公式,解题的关键是根据图形得出数量关系.
(1)根据阴影部分的面积相等列出等式即可;
(2)根据画出图形即可;
(3)设正方形A、B的边长分别为m,n,根据图①和图②中的阴影面积得到,,然后利用完全平方公式的变形求解即可
【详解】(1)解:图一中阴影面积
图二中阴影面积
∵阴影部分的面积相等
∴;
(2)解:如图所示,
大正方形的面积为
大正方形的面积还可以表示为
∴
∴;
(3)解:设正方形 A、B 的边长分别为 m,n,
∵图①中阴影部分的面积为20,
∴,即,
∵图②中阴影部分(正方形)的面积为9,
即
∴正方形A、B的面积之和为29.
22.(1);
(2),证明见解析.
【分析】本题主要考查根据规律运算、完全平方公式应用、整式的混合运算法则等知识点,根据题干得到式子之间存在的规律是解题的关键.
(1)根据题干规律直接写出答案即可;
(2)找出分子两个数之间关系直接写出答案,利用完全平方公式以及整式的相关运算法则即可证明.
【详解】(1)解:由题意可得,第⑥个等式为:.
故答案为:.
(2)解:第个:,证明如下:
∵左边,右边,
∴左边右边,
∴.
23.(1)
(2)①;②
【分析】(1)图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即,图2阴影部分是长为,宽为的长方形,可表示其面积,由两种方法所求的面积相等可得答案;
(2)①根据平方差公式将转化为,再根据,进而求出的值;
②利用平方差公式将原式化为,进而得出即可.
【详解】(1)解:图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即,
图2阴影部分是长为,宽为的长方形,因此面积为,
由图1、图2的面积相等得,,
故答案为:;
(2)解:①,
,
又,
,
故答案为:3;
②原式
.
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景,掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提.
24.[解决问题] 155;[方法拓展]见解析
【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积,解题的关键是数形结合,熟练掌握整式乘法运算法则.
[解决问题]结合(2)的公式变形,把字母的值代入可以得解;
[方法拓展]拓展造一个边长为的正方形,并根据对各边进行分割,然后根据正方形、矩形的面积计算公式即可得解.
【详解】解:[解决问题]由图3得,
.
当时,
.
[方法拓展]如图,构造了一个边长为k的正方形,在正方形的4条边上分别截取.
.
,
.
∴三个长方形的面积和为,大正方形的面积为.
根据图形可知,三个长方形的面积和小于大正方形的面积,
.
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