21.2 二次根式的乘除
21.2.1，21.2.2 二次根式的乘法与积的算术平方根
1.二次根式的乘法：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，·＝ (a ≥0 ，b ≥0 ).
2.积的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的 积 ，即＝ · (a ≥0 ，b ≥0 ).
考点1 二次根式法则及积的算术平方根成立的条件
【典例1】若＝·，则( A )
A.x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
解析：先利用积的算术平方根的法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x－6≥0，再求出两不等式的公共部分即可．根据题意，得x≥0且x－6≥0，即x≥6.
本题考查了积的算术平方根成立的条件：
＝·(a≥0，b≥0).
【变式训练】
1.能使＝·成立的所有整数a的和是 6 ．
考点2 二次根式的乘法计算
【典例2】计算：(1)×；(2)×；
(3)·；(4)·.
解：(1)原式＝；(2)原式＝＝8；
(3)原式＝；(4)原式＝＝2.
二次根式相乘时，先把被开方数相乘，如果积中有能开得尽方的因数（式），一定要开尽方．在计算多个二次根式相乘时，要对被开方数分解因数（式），以便能将开得尽方的因数（式）移到根号外，从而可以使运算简便．
【变式训练】
2.计算：(1)×；(2)×；
(3)×；(4)2×.
(（1)×＝＝2；
(2)×＝＝6；
(3)×＝＝10；
(4)原式＝2＝2.
考点3 利用积的算术平方根的法则进行化简
【典例3】化简．
(1)；(2)；
(3)(a＞0，b＞0).
解：(1)＝＝2；
(2)＝5|a|；
(3)原式＝＝＝(a＋b).
利用积的算术平方根的法则进行化简，被开方数中含有字母的需注意字母的取值范围；若被开方数是多项式的，则先因式分解再化简．
【变式训练】
3.化简．
(1)；(2).
(1)＝＝×＝10；
(2)＝＝＝.
知识点1 二次根式的乘法
1.（海南琼中县校级月考）×＝( B )
A. B． C．2 D．3
2.若·的值是整数，则n的值可以是( B )
A．25 B．20 C．15 D．2
3.（河南郑州中原区月考）矩形的长和宽分别是和，则矩形的面积是 3 ．
4.计算：
(1)×；(2)×；
(3)2·；(4)×.
(1)原式＝3；
(2)原式＝＝＝6；
(3)原式＝2＝2；
(4)原式＝＝＝2.知识点2 积的算术平方根
5.化简的结果是( B )
A．－4 B．4 C．±4 D．20
6.（河南南阳宛城区月考）若＝·＝0成立，则a的值为 5 ．
7.化简下列各式：
(1)＝ 77 ；
(2)＝ 4 ．
8.化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
(1)＝5；(2)＝3x；
(3)＝＝10；
(4)＝＝3.
易错易混点 忽略题干隐含的条件导致化简出错
9.把m根号外的因式移入根号内得( D )
A． B．
C．－ D．－
10.（河南商丘夏邑县期中）下列各数中，与的积仍为无理数的是( D )
A． B． C． D．
11.（海南三亚校级期中）若x是整数，且·有意义，则·的值是( C )
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
∵·有意义，
∴解得3≤x≤5.
∵x是整数，∴x＝3或4或5，
∴原式＝0或1.
12.计算·(a>0，b≥0)的结果是 3 ．
13.（河南汝州校级月考）当a＜0时，化简a·的结果是 －4a2 ．
a·＝a＝a|4a|，∵a＜0，∴a·＝a|4a|＝－4a2.
14.计算：
(1)·(a≥0)；
(2)×；
(3)2·(a≥0)；
(4)3a·(a≥0，b≥0).
(1)原式＝＝6a；
(2)原式＝＝7；
(3)原式＝2＝10a；
(4)原式＝－2a＝－12ab.
15.（推理能力）先来看一个有趣的现象：＝＝＝2.这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等．
(1)猜想：＝ 5 ，并验证你的猜想；
(2)你能用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？
(3)请你再写出一个具有“穿墙”性质的数．
(1)＝5；
验证：＝＝＝5；
(2)规律：＝n（n为正整数，n≥2），
证明：＝＝＝n；
(3)根据规律写出一个符合规律的式子：（答案不唯一）.
21.2.3 二次根式的除法
1.二次根式的除法法则：一般地，有＝ ( a≥0，b>0 ).这就是说，两个数的算术平方根的商，等于 它们商的算术平方根 ．
2.商的算术平方根：＝(a ≥0 ，b >0 ).这就是说，两个数商的算术平方根，等于它们 算术平方根的商 ．
3.最简二次根式：(1)被开方数中不含 分母 ；(2)被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都 小于2 ．
考点1 商的算术平方根法则成立的条件
【典例1】若＝成立，则x的值可以是( B )
A.－2 B．0
C．2 D．3
解析：∵若＝成立，
∴解得－1≤x＜2，
故x的值可以是0.
直接根据商的算术平方根的法则成立的条件，构造不等式组求解．
【变式训练】
1.等式＝成立的条件是 x＜2 ．
考点2 识别最简二次根式
【典例2】下列二次根式中，是最简二次根式的是( A )
A． B． C． D．
解析：A选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；B选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；C选项，原式＝，故该选项不符合题意；D选项，原式＝2，故该选项不符合题意．
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【变式训练】
2.若是最简二次根式，则x的值可以是 3（答案不唯一） .（写出一个即可）
考点3 二次根式的乘除混合运算
【典例3】计算：(1)－×2÷；
(2)12÷×.
解：(1)原式＝－×2÷
＝－××＝－.
(2)原式＝·
＝8＝8a.
在进行二次根式的乘除混合运算时，要注意运算顺序．
【变式训练】
3.（黑龙江哈尔滨南岗区校级月考）当a、b均为正数时，计算：÷·等于( A )
A． B．
C． D．b
知识点1 二次根式的除法
1.（海南海口校级月考）计算÷的结果正确的是( C )
A．4 B．3 C．2 D．
2.（河南信阳潢川县期末）计算：÷＝3，则中的数是( D )
A．6 B． C．2 D．
3.已知一个三角形的面积为，一边长为，这条边上的高为( A )
A．4 B．2 C． D．2
4.计算＝ 2 ．
5.计算：
(1)；(2)；(3)÷；
(4)÷.
(1)＝＝3；
(2)＝＝＝2；
(3)原式＝＝＝2|a|；
(4)原式＝＝.
6.用电器的电阻R(Ω)、电流强度I(A)与它两端的电压U(V)之间的关系是U＝IR.现有一个用电器的电阻为3 Ω，它两端的电压为8 V，则电流强度为多少？
由U＝IR，得I＝，∴I＝＝(A).
知识点2 商的算术平方根
7.化简：
(1)；(2)；(3).
(1)原式＝；(2)原式＝；
(3)原式＝＝.
知识点3 最简二次根式
8.（海南琼中县校级月考）下列各式是最简二次根式的是( A )
A． B． C． D．
9.请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 （答案不唯一） .
10.把下列二次根式化简成最简二次根式．
(1)；(2)；(3)；(4).
(1)＝＝4；
(2)＝＝2；
(3)＝＝＝；
(4)＝＝.
易错易混点 忽略隐含的分母非0条件导致错误
11.若＝成立，则x满足 2≤x<3 ．
12.（河南驻马店驿城区期中）下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13.下列各式计算正确的是( B )
A．÷＝4 B．÷＝
C．÷＝5 D．÷＝7
14.化简的结果是 ．
15.计算：
(1)2÷×；
(2)÷（－）×；
(3)×4÷.
(1)原式＝2××＝.
(2)原式＝2××3＝2×(－3)＝－6.
(3)原式＝2×4×÷4＝8÷4＝2.
16.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”．即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈9.8 m/s2）.已知一幢大楼高78.4 m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
将h＝78.4，g＝9.8代入公式t＝，得t＝＝4，答：落到地面所用时间为4 s．
17.（推理能力）先阅读，再解答：由（＋）（－）＝（）2－（）2＝2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：＝＝－，请回答下列问题：
(1)－1的有理化因式是 ＋1 ；
(2)化去式子分母中的根号：＝ 3＋ ；（直接写结果）
(3)－ < （填“>”或“<”）－.
(1)－1的有理化因式是＋1；
(2)原式＝＝3＋；
(3)∵＝＋，
＝＋，
而>，
∴>.
∴－<－.21.2 二次根式的乘除
21.2.1，21.2.2 二次根式的乘法与积的算术平方根
1.二次根式的乘法：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，·＝ (a ，b ).
2.积的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的 ，即＝ (a ，b ).
考点1 二次根式法则及积的算术平方根成立的条件
【典例1】若＝·，则( )
A.x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
本题考查了积的算术平方根成立的条件：
＝·(a≥0，b≥0).
【变式训练】
1.能使＝·成立的所有整数a的和是 ．
考点2 二次根式的乘法计算
【典例2】计算：(1)×；(2)×；
(3)·；(4)·.
二次根式相乘时，先把被开方数相乘，如果积中有能开得尽方的因数（式），一定要开尽方．在计算多个二次根式相乘时，要对被开方数分解因数（式），以便能将开得尽方的因数（式）移到根号外，从而可以使运算简便．
【变式训练】
2.计算：(1)×；(2)×；
(3)×；(4)2×.
考点3 利用积的算术平方根的法则进行化简
【典例3】化简．
(1)；(2)；
(3)(a＞0，b＞0).
利用积的算术平方根的法则进行化简，被开方数中含有字母的需注意字母的取值范围；若被开方数是多项式的，则先因式分解再化简．
【变式训练】
3.化简．
(1)；(2).
知识点1 二次根式的乘法
1.（海南琼中县校级月考）×＝( )
A. B． C．2 D．3
2.若·的值是整数，则n的值可以是( )
A．25 B．20 C．15 D．2
3.（河南郑州中原区月考）矩形的长和宽分别是和，则矩形的面积是 ．
4.计算：
(1)×；(2)×；
(3)2·；(4)×.
5.化简的结果是( )
A．－4 B．4 C．±4 D．20
6.（河南南阳宛城区月考）若＝·＝0成立，则a的值为 ．
7.化简下列各式：
(1)＝ ；
(2)＝ ．
8.化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
易错易混点 忽略题干隐含的条件导致化简出错
9.把m根号外的因式移入根号内得( )
A． B．
C．－ D．－
10.（河南商丘夏邑县期中）下列各数中，与的积仍为无理数的是( )
A． B． C． D．
11.（海南三亚校级期中）若x是整数，且·有意义，则·的值是( )
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
12.计算·(a>0，b≥0)的结果是 ．
13.（河南汝州校级月考）当a＜0时，化简a·的结果是 ．
14.计算：
(1)·(a≥0)；
(2)×；
(3)2·(a≥0)；
(4)3a·(a≥0，b≥0).
15.（推理能力）先来看一个有趣的现象：＝＝＝2.这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等．
(1)猜想：＝ ，并验证你的猜想；
(2)你能用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？
(3)请你再写出一个具有“穿墙”性质的数．
21.2.3 二次根式的除法
1.二次根式的除法法则：一般地，有＝ ( ).这就是说，两个数的算术平方根的商，等于 ．
2.商的算术平方根：＝(a ，b ).这就是说，两个数商的算术平方根，等于它们 ．
3.最简二次根式：(1)被开方数中不含 ；(2)被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都 ．
考点1 商的算术平方根法则成立的条件
【典例1】若＝成立，则x的值可以是( )
A.－2 B．0
C．2 D．3
直接根据商的算术平方根的法则成立的条件，构造不等式组求解．
【变式训练】
1.等式＝成立的条件是 ．
考点2 识别最简二次根式
【典例2】下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【变式训练】
2.若是最简二次根式，则x的值可以是 .（写出一个即可）
考点3 二次根式的乘除混合运算
【典例3】计算：(1)－×2÷；
(2)12÷×.
在进行二次根式的乘除混合运算时，要注意运算顺序．
【变式训练】
3.（黑龙江哈尔滨南岗区校级月考）当a、b均为正数时，计算：÷·等于( )
A． B．
C． D．b
知识点1 二次根式的除法
1.（海南海口校级月考）计算÷的结果正确的是( )
A．4 B．3 C．2 D．
2.（河南信阳潢川县期末）计算：÷＝3，则中的数是( )
A．6 B． C．2 D．
3.已知一个三角形的面积为，一边长为，这条边上的高为( )
A．4 B．2 C． D．2
4.计算＝ ．
5.计算：
(1)；(2)；(3)÷；
(4)÷.
6.用电器的电阻R(Ω)、电流强度I( )与它两端的电压U(V)之间的关系是U＝IR.现有一个用电器的电阻为3 Ω，它两端的电压为8 V，则电流强度为多少？
知识点2 商的算术平方根
7.化简：
(1)；(2)；(3).
知识点3 最简二次根式
8.（海南琼中县校级月考）下列各式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
9.请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 .
10.把下列二次根式化简成最简二次根式．
(1)；(2)；(3)；(4).
(1)＝＝4；
(2)＝＝2；
(3)＝＝＝；
(4)＝＝.
易错易混点 忽略隐含的分母非0条件导致错误
11.若＝成立，则x满足 ．
12.（河南驻马店驿城区期中）下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13.下列各式计算正确的是( )
A．÷＝4 B．÷＝
C．÷＝5 D．÷＝7
14.化简的结果是 ．
15.计算：
(1)2÷×；
(2)÷（－）×；
(3)×4÷.
16.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”．即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈9.8 m/s2）.已知一幢大楼高78.4 m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
17.（推理能力）先阅读，再解答：由（＋）（－）＝（）2－（）2＝2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：＝＝－，请回答下列问题：
(1)－1的有理化因式是 ；
(2)化去式子分母中的根号：＝ ；（直接写结果）
(3)－ （填“>”或“<”）－.
