22.1 一元二次方程
1.一元二次方程的概念：只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的 整式方程 叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0（其中a ≠0 ），a是 二次项系数 ，b是 一次项系数 ，c是 常数项 ．
3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边 相等 的未知数的值叫做这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 根 ．
考点1 一元二次方程的定义
【典例1】下列方程是一元二次方程的是( A )
A.x2－2x－3＝0 B．2x＋y2＝5
C．＋＝1 D．2x＋1＝x
解析：A.该方程是一元二次方程，故该选项符合题意；B.有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C.该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；D.该方程是一元一次方程，故该选项不符合题意．
判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.
【变式训练】
1.关于x的方程(m－2)x2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则m的取值范围为 m≠2 ．
考点2 运用一元二次方程的概念确定字母的值
【典例2】已知关于x的方程(k－3)x|k|-1＋(2k－3)x＋4＝0是一元二次方程，则k的值应为( C )
A．±3 B．3
C．－3 D．不能确定
解析：∵关于x的方程(k－3)x|k|-1＋(2k－3)x＋4＝0是一元二次方程，
∴解得k＝－3，
∴k的值应为－3.
要确定一元二次方程中待定字母的值，需根据一元二次方程的概念，令方程中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，二次项系数不等于零”，列出关于某个字母的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定字母的值（或范围）.
【变式训练】
2.关于x的方程(m－2)xm2－2＋(m－1)x＋6＝0是一元二次方程，则m的值为 －2 ．
考点3 一元二次方程根的应用
【典例3】若m是方程2x2－3x＋1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 025的值为 2 022 ．
解析：由题意，可知2m2－3m＋1＝0，
∴2m2－3m＝－1，
∴6m2－9m＋2 025＝3(2m2－3m)＋2 025＝2 022.
已知方程的根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值．
【变式训练】
3.若x＝2是关于x的一元二次方程ax2－bx＋2＝0的解，则代数式2 025＋2a－b的值是 2 024 ．
知识点1 一元二次方程的概念
1.（河南郑州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是( C )
A.ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋＝0
C．2x2＋3x＋1＝0 D．x2＋y＋2＝0
2.（海南海口秀英区校级月考）关于x的方程(a＋1)xa2＋1－3x－1＝0是一元二次方程，则a的值是 1 ．
知识点2 一元二次方程的一般形式
3.（河南信阳潢川县期中）一元二次方程2x2－5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B )
A．2，5，6 B．2，－5，－6
C．2，5，－6 D．5，2，－6
4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)(3x－1)(2x＋3)＝4；
(2)(2x＋1)2＝(4x＋1)(4x－1).
(1)去括号，得6x2＋9x－2x－3＝4，
移项、合并同类项，得6x2＋7x－7＝0，
所以二次项系数是6，一次项系数是7，常数项是－7.
(2)去括号，得4x2＋4x＋1＝16x2－1，
移项、合并同类项，得－12x2＋4x＋2＝0，
整理，得6x2－2x－1＝0，
所以二次项系数是6，一次项系数是－2，常数项是－1.
知识点3 一元二次方程的解
5.已知m是一元二次方程x2－x－3＝0的解，则代数式－2m2＋2m的值为( D )
A．3 B．6 C．－3 D．－6
6.（海口模拟）若关于x的方程x2＋kx＋10＝0（k为常数）有一个实数根为－2，则k的值为 7 ．
知识点4 列一元二次方程
7.如图，学校种植园是长32米、宽20米的矩形．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米．若设小道的宽为x米，则应列方程是 (32－2x)(20－x)＝600 ．
8.（河南月考）《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设木柱长度为x尺，根据题意，可列方程为( D )
A．82＋x2＝(x－4)2 B．82＋(x＋4)2＝x2
C．82＋(x－4)2＝x2 D．x2＋82＝(x＋4)2
9.（黑龙江丹江口期中）若a是关于x的方程3x2－x－1＝0的一个根，则2 027－6a2＋2a的值是 2 025 ．
由条件可知3a2－a＝1，
∴2 027－6a2＋2a＝2 027－2(3a2－a)＝2 027－2＝2 025.
10.已知关于x的方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)由题意，得即m＝1时，方程(m2－1)·x2－(m＋1)x＋m＝0是一元一次方程，即－2x＋1＝0；
(2)由题意得，m2－1≠0，即m≠±1时，方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0是一元二次方程.
此时方程的二次项系数是m2－1，一次项系数是－(m＋1)，常数项是m.
【母题P20T2】已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0有一个根是0，求m的值．
将x＝0代入一元二次方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵m≠2，∴m＝－2.
【变式1】（河南南阳卧龙区期中）已知关于x的方程(a－3)x|a-1|＋x－1＝0是一元二次方程，则a的值是( A )
A.－1 B．3
C．－1或3 D．都不对
【变式2】若关于x的一元二次方程(m－1)·x2＋2x－m2＋1＝0的常数项为0，则m的值等于 －1 ．
根据题意得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，当m＝1时，方程为2x＝0，不合题意，则m的值为－1.
11.（创新意识）阅读理解：
定义：如果关于x的方程a1x2＋b1x＋c1＝0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2＋b2x＋c2＝0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1＋a2＝0、b1＝b2、c1＋c2＝0，那么这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2－3x＋1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2－3x＋1＝0可知，a1＝2，b1＝－3，c1＝1，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2、b2、c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面的问题：
(1)填空：方程x2－4x＋3＝0的“对称方程”是 －x2－4x－3＝0 ；
(2)若关于x的方程5x2＋(m－1)x－n＝0与－5x2－x＝1互为“对称方程”，求(m＋n)2的值．
(1)由题意得方程x2－4x＋3＝0的“对称方程”是－x2－4x－3＝0；
(2)由－5x2－x＝1，移项，可得－5x2－x－1＝0，
∵方程5x2＋(m－1)x－n＝0与－5x2－x－1＝0互为对称方程，
∴m－1＝－1，－n＋(－1)＝0，
解得m＝0，n＝－1，
∴(m＋n)2＝(0－1)2＝1.22.1 一元二次方程
1.一元二次方程的概念：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0（其中a ），a是 ，b是 ，c是 ．
3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫做这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ．
考点1 一元二次方程的定义
【典例1】下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2－2x－3＝0 B．2x＋y2＝5
C．＋＝1 D．2x＋1＝x
判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.
【变式训练】
1.关于x的方程(m－2)x2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则m的取值范围为 ．
考点2 运用一元二次方程的概念确定字母的值
【典例2】已知关于x的方程(k－3)x|k|-1＋(2k－3)x＋4＝0是一元二次方程，则k的值应为( )
A．±3 B．3
C．－3 D．不能确定
要确定一元二次方程中待定字母的值，需根据一元二次方程的概念，令方程中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，二次项系数不等于零”，列出关于某个字母的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定字母的值（或范围）.
【变式训练】
2.关于x的方程(m－2)xm2－2＋(m－1)x＋6＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
考点3 一元二次方程根的应用
【典例3】若m是方程2x2－3x＋1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 025的值为 ．
已知方程的根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值．
【变式训练】
3.若x＝2是关于x的一元二次方程ax2－bx＋2＝0的解，则代数式2 025＋2a－b的值是 ．
知识点1 一元二次方程的概念
1.（河南郑州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋＝0
C．2x2＋3x＋1＝0 D．x2＋y＋2＝0
2.（海南海口秀英区校级月考）关于x的方程(a＋1)xa2＋1－3x－1＝0是一元二次方程，则a的值是 ．
知识点2 一元二次方程的一般形式
3.（河南信阳潢川县期中）一元二次方程2x2－5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A．2，5，6 B．2，－5，－6
C．2，5，－6 D．5，2，－6
4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)(3x－1)(2x＋3)＝4；
(2)(2x＋1)2＝(4x＋1)(4x－1).
知识点3 一元二次方程的解
5.已知m是一元二次方程x2－x－3＝0的解，则代数式－2m2＋2m的值为( )
A．3 B．6 C．－3 D．－6
6.（海口模拟）若关于x的方程x2＋kx＋10＝0（k为常数）有一个实数根为－2，则k的值为 ．
知识点4 列一元二次方程
7.如图，学校种植园是长32米、宽20米的矩形．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米．若设小道的宽为x米，则应列方程是 ．
8.（河南月考）《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设木柱长度为x尺，根据题意，可列方程为( )
A．82＋x2＝(x－4)2 B．82＋(x＋4)2＝x2
C．82＋(x－4)2＝x2 D．x2＋82＝(x＋4)2
9.（黑龙江丹江口期中）若a是关于x的方程3x2－x－1＝0的一个根，则2 027－6a2＋2a的值是 ．
10.已知关于x的方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【母题P20T2】已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0有一个根是0，求m的值．
【变式1】（河南南阳卧龙区期中）已知关于x的方程(a－3)x|a-1|＋x－1＝0是一元二次方程，则a的值是( )
A.－1 B．3
C．－1或3 D．都不对
【变式2】若关于x的一元二次方程(m－1)·x2＋2x－m2＋1＝0的常数项为0，则m的值等于 ．
11.（创新意识）阅读理解：
定义：如果关于x的方程a1x2＋b1x＋c1＝0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2＋b2x＋c2＝0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1＋a2＝0、b1＝b2、c1＋c2＝0，那么这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2－3x＋1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2－3x＋1＝0可知，a1＝2，b1＝－3，c1＝1，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2、b2、c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面的问题：
(1)填空：方程x2－4x＋3＝0的“对称方程”是 ；
(2)若关于x的方程5x2＋(m－1)x－n＝0与－5x2－x＝1互为“对称方程”，求(m＋n)2的值．
