22.3 实践与探索
第1课时 利用一元二次方程解决几何与变化率问题
1.列方程解应用题的一般步骤．
①审题；②设未知数；③ ；④列方程；⑤ ；⑥答．
2.列方程解决面积类问题，一般是找出图形面积的数量关系，根据面积关系列方程，需要根据图形的特征寻找表示图形面积的关系式．
3.平均变化率问题规律：若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为 .（其中增长取“＋”，降低取“－”）.
考点1 利用一元二次方程解决围墙问题
【典例1】如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20 m长的篱笆，怎样围成一个面积为50 m2的长方形场地？
解决围墙问题，需要注意铁栏总长用于矩形的哪些边，解出所得的长不能超过围墙的长，若是有留门问题，实质是铁栏的总长多出门的宽度，根据所设未知数，将矩形的长和宽表示出来，根据其面积得出等量关系求解即可．
【变式训练】
1.如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？
考点2 利用一元二次方程解决变化率问题
【典例2】某网店9月份盈利20 000元，11月份盈利28 800元，且从9月到11月，每个月盈利的增长率相同，求这两个月每个月盈利的增长率．
求平均增长率（降低率）问题：一般列方程a(1±x)n＝b，其中a为原始数据，b为增长（降低）后的数据，n为变化次数，x为增长率（降低率）.
【变式训练】
2.某商场在节日期间将单价200元的某商品经过连续两次降价后，现在的价格为128元.求平均每次降价的百分率．
知识点1 用一元二次方程解决图形面积问题
1.（黑龙江哈尔滨中考）为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是( )
A.x(x－6)＝720 B．x(x＋6)＝720
C．x(x－6)＝360 D．x(x＋6)＝360
2.（海南海口秀英区校级期中）如图，在宽为20米、长为34米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为( )
A．2 B．2或35
C．1 D．1或35
知识点2 用一元二次方程解决变化率问题
3.（海南海口龙华区校级期中）某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达12亿元，若把增长率记作x，则方程可列为( )
A．3(1＋x)＝12
B．3(1＋x)2＝12
C．3＋3(1＋x)2＝12
D．3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝12
4.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为200元的药品进行连续两次降价后为162元，则平均每次降价的百分率为 ．
5.为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同．
(1)求入馆人次的月均增长率；
(2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？请说明理由．
6.（河南漯河召陵区期中）2024年4月23日是第29个世界读书日．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月，进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2 850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为( )
A．600(1＋2x)＝2 850
B．600(1＋x)2＝2 850
C．600＋600(1＋x)＋600(1＋x)2＝2 850
D．2 850(1－x)2＝600
7.（海南澄迈县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( )
A．2秒钟 B．3秒钟
C．4秒钟 D．5秒钟
8.我市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商连续两次下调价格后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( C)
A．8% B．9% C．10% D．11%
9.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、AD两边），设AB＝x米．
(1)若花园的面积为300米2，求x的值；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC、CD的距离分别是10米、24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
10.（建模意识）如图，要利用一面墙（墙长为55 m），用100 m的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．
(1)如果围成的总面积为400 m2，求羊圈的边长AB，BC各为多少？
(2)保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到800 m2？请说明理由．
第2课时 利用一元二次方程解决利润与其他问题
1.列一元二次方程解决销售问题，关键是表示利润，利润＝ － ；总利润＝单件商品利润× ．
2.若一个两位数为xy，则这个数可表示为 ，若一个三位数为xyz，则这个数可表示为 ．
考点1 商品销售问题
【典例1】某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件，设这种商品每件涨价x元．
(1)填空：原来每件商品的利润是 元；涨价后每件商品的实际利润是 元（可用含x的代数式表示）；
(2)为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少？
列一元二次方程解决利润问题的“一二三”：
(1)一个相等关系：单件利润×销售数量＝总利润．
(2)两个量：单件利润、销售数量是较难表示的两个量．
(3)三检验：列方程后检验每项意义、检验方程根求解是否正确、作答前验根是否符合实际．
【变式训练】
1.商场以每件200元的价格购进一批商品，以单价300元销售．预计每月可售出250件，该商场为尽可能减少库存，决定降价销售，根据市场调查，该商品单价每降低5元，可多售出25件，但最低售价应高于购进的价格；若该商场希望该商品每月获利28 000元，则销售单价应定为多少元？每月可销售多少件？
考点2 利用一元二次方程解决球队比赛问题
【典例2】2024年某县青少年篮球赛正如火如荼地在县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛66场．试求初中组共有多少支球队参加比赛．
单循环与主客场比赛问题：
(1)相互握手类似于单循环，x支球队的单循环赛场数＝；
(2)相互寄送贺卡类似于主客场，x支球队的主客场赛场数＝x(x－1).
【变式训练】
2.在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为( )
A.9人 B．10人 C．11人 D．12人
考点3 利用一元二次方程解决传播问题
【典例3】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，第三轮有多少个人患流感？
解决传播问题的关键点：
(1)每一轮传播的传播源的数量；
(2)每一个传播源每轮传播的数量．
【变式训练】
3.有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 人．
知识点1 用一元二次方程解决营销问题
1.某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为x(x≥120)元/间，若宾馆每天利润为5 000元，则可列方程为( )
A.(x－30)＝5 000
B．(x－50)＝5 000
C．(x－30)＝5 000
D．(x－50)＝5 000
2.（河北石家庄赵县期中）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元．
(1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达3 600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
知识点2 用一元二次方程解决其他问题
3.（海南临高县期中）临高教育局要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（每两队都赛一场），计划安排36场比赛，则参加比赛的球队有( )支．
A．7 B．8 C．9 D．10
4.（海南文昌校级期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( )
A．25 B．36
C．25或36 D．－25或－36
5.某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有144台电脑被感染（假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）.
(1)求每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？
(2)如果按照这样的感染速度，经过三轮感染后被感染的电脑总数会不会超过1 700台？
6.某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
7.我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210
8.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（单位：元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x的方程是 （不需化简和解方程）.
9.如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2、3、9、10）.如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，那么这4个数中最小的数是 ．
【母题P46T20】某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%.若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答．
【变式】（河南洛阳汝阳县期中）某产品每件的生产成本为500元，原定销售价为625元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价将下降20%，第二季度又将回升6%.该产品每件的生产成本平均每个季度应降低的百分率是多少时，才能使半年后的销售利润不变．
10.（建模意识）某蛋糕店开业在即，老板要求员工进行宣传，于是蛋糕店开业的消息在朋友圈快速流转起来．
(1)开始只有老板和员工共9个人知道开业消息，两天后知道此店开业消息的人数达到1 089人，如果每个人每天转发的人数相同，那么每个人每天把消息传递了几个人？
(2)老板根据经验估计；该店将进货价格为8元的蛋糕按每个10元售出，每天可销售200个，如果这种蛋糕每涨价1元，其销售量就减少20个，老板想通过卖这种蛋糕每天获得800元利润，他能梦想成真吗？22.3 实践与探索
第1课时 利用一元二次方程解决几何与变化率问题
1.列方程解应用题的一般步骤．
①审题；②设未知数；③ 找相等关系 ；④列方程；⑤ 解方程 ；⑥答．
2.列方程解决面积类问题，一般是找出图形面积的数量关系，根据面积关系列方程，需要根据图形的特征寻找表示图形面积的关系式．
3.平均变化率问题规律：若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n＝b .（其中增长取“＋”，降低取“－”）.
考点1 利用一元二次方程解决围墙问题
【典例1】如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20 m长的篱笆，怎样围成一个面积为50 m2的长方形场地？
解：设垂直于墙的一边长为x m，那么另一边长为(20－2x) m，由题意得x(20－2x)＝50，解得x1＝x2＝5，(20－2×5)＝10(m).
答：长方形场地的长和宽分别为10 m、5 m.
解决围墙问题，需要注意铁栏总长用于矩形的哪些边，解出所得的长不能超过围墙的长，若是有留门问题，实质是铁栏的总长多出门的宽度，根据所设未知数，将矩形的长和宽表示出来，根据其面积得出等量关系求解即可．
【变式训练】
1.如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？
设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为(25＋1－2x)米，依题意，得x(25＋1－2x)＝80，
整理，得x2－13x＋40＝0，解得：x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，25＋1－2x＝25＋1－2×5＝16>15，不符合题意，舍去；
当x＝8时，25＋1－2x＝25＋1－2×8＝10<15，符合题意．
答：车棚垂直于墙的一边的长为8米．
考点2 利用一元二次方程解决变化率问题
【典例2】某网店9月份盈利20 000元，11月份盈利28 800元，且从9月到11月，每个月盈利的增长率相同，求这两个月每个月盈利的增长率．
解：设这两个月每个月盈利的增长率为x.
根据题意，得20 000(1＋x)2＝28 800，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去），
答：这两个月每个月盈利的增长率为20%.
求平均增长率（降低率）问题：一般列方程a(1±x)n＝b，其中a为原始数据，b为增长（降低）后的数据，n为变化次数，x为增长率（降低率）.
【变式训练】
2.某商场在节日期间将单价200元的某商品经过连续两次降价后，现在的价格为128元.求平均每次降价的百分率．
设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的价格为200(1－x)2元．根据题意，得200(1－x)2＝128，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率为20%.
知识点1 用一元二次方程解决图形面积问题
1.（黑龙江哈尔滨中考）为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是( A )
A.x(x－6)＝720 B．x(x＋6)＝720
C．x(x－6)＝360 D．x(x＋6)＝360
2.（海南海口秀英区校级期中）如图，在宽为20米、长为34米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为( A )
A．2 B．2或35
C．1 D．1或35
设道路宽为x米，通过平移可以得到宽为(20－x)米、长为(34－2x)米的长方形，所以可列方程(20－x)(34－2x)＝540，解得x1＝35（大于矩形地面的宽，故舍去），x2＝2.
知识点2 用一元二次方程解决变化率问题
3.（海南海口龙华区校级期中）某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达12亿元，若把增长率记作x，则方程可列为( D )
A．3(1＋x)＝12
B．3(1＋x)2＝12
C．3＋3(1＋x)2＝12
D．3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝12
4.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为200元的药品进行连续两次降价后为162元，则平均每次降价的百分率为 10% ．
5.为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同．
(1)求入馆人次的月均增长率；
(2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？请说明理由．
(1)设入馆人次的月均增长率为x，
依题意得128(1＋x)2＝288，
解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（不合题意，舍去）.
故入馆人次的月均增长率为50%；
(2)体育馆不能接纳5月的入馆人次，理由如下：
∵入馆人次的月平均增长率为50%，
∴5月的入馆人次为288×(1＋50%)＝432（人次）.
∵432>400，
∴体育馆不能接纳5月的入馆人次．
6.（河南漯河召陵区期中）2024年4月23日是第29个世界读书日．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月，进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2 850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为( C )
A．600(1＋2x)＝2 850
B．600(1＋x)2＝2 850
C．600＋600(1＋x)＋600(1＋x)2＝2 850
D．2 850(1－x)2＝600
7.（海南澄迈县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( B )
A．2秒钟 B．3秒钟
C．4秒钟 D．5秒钟
设动点P、Q运动t秒时，能使△PBQ的面积为15 cm2，则BP为(8－t)cm，BQ为2t cm.由三角形的面积计算公式列方程，得×(8－t)×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去），∴动点P、Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15 cm2.
8.我市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商连续两次下调价格后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( C)
A．8% B．9% C．10% D．11%
9.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、AD两边），设AB＝x米．
(1)若花园的面积为300米2，求x的值；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC、CD的距离分别是10米、24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
(1)∵AB＝x米，∴BC＝(40－x)米，
由题意得x(40－x)＝300，解得x1＝10，x2＝30，
即x的值为10或30.
(2)花园的面积不能为400米2，
理由如下：由题意得x(40－x)＝400，解得x1＝x2＝20，
当x＝20时，40－x＝40－20＝20，
即AB＝20米，BC＝20米<24米，
这棵树没有被围在花园内，
∴要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积不能为400米2.
10.（建模意识）如图，要利用一面墙（墙长为55 m），用100 m的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．
(1)如果围成的总面积为400 m2，求羊圈的边长AB，BC各为多少？
(2)保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到800 m2？请说明理由．
(1)设AB＝x m，则BC＝(100－4x)m，
∵100－4x≤55，∴x≥11.25，
由题意，知x(100－4x)＝400，即x2－25x＋100＝0，
解得x1＝20，x2＝5（舍去），
∴AB＝20 m，BC＝100－4×20＝20(m)，
答：羊圈的边长AB长为20 m，BC长为20 m；
(2)设羊圈的面积为y m2，
则y＝x(100－4x)＝－4x2＋100x＝－4＋625，
当x＝时，y有最大值为625，
所以羊圈总面积不可能达到800 m2.
第2课时 利用一元二次方程解决利润与其他问题
1.列一元二次方程解决销售问题，关键是表示利润，利润＝ 售价 － 进价 ；总利润＝单件商品利润× 销售商品数量 ．
2.若一个两位数为xy，则这个数可表示为 10x＋y ，若一个三位数为xyz，则这个数可表示为 100x＋10y＋z ．
考点1 商品销售问题
【典例1】某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件，设这种商品每件涨价x元．
(1)填空：原来每件商品的利润是 元；涨价后每件商品的实际利润是 元（可用含x的代数式表示）；
(2)为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少？
解：(1)原来每件商品的利润是2元；涨价后每件商品的实际利润是2＋x元；
(2)根据题意，得(2＋x)(200－20x)＝700.整理，得x2－8x＋15＝0，解这个方程得x1＝3，x2＝5，所以10＋3＝13，10＋5＝15，又因为提高售价，减少进货量，所以售价为15元/件．
答：为了使每天获得700元的利润，售价应定为15元．
列一元二次方程解决利润问题的“一二三”：
(1)一个相等关系：单件利润×销售数量＝总利润．
(2)两个量：单件利润、销售数量是较难表示的两个量．
(3)三检验：列方程后检验每项意义、检验方程根求解是否正确、作答前验根是否符合实际．
【变式训练】
1.商场以每件200元的价格购进一批商品，以单价300元销售．预计每月可售出250件，该商场为尽可能减少库存，决定降价销售，根据市场调查，该商品单价每降低5元，可多售出25件，但最低售价应高于购进的价格；若该商场希望该商品每月获利28 000元，则销售单价应定为多少元？每月可销售多少件？
设售价降低x个5元，得(300－200－5x)(250＋25x)＝28 000.解得x1＝4，x2＝6.
当x＝4时，300－5×4＝280（元）>200（元）；
当x＝6时，300－5×6＝270（元）>200（元）；
因为要减少库存，所以售价为270元．
销售件数为250＋6×25＝400（件）.
答：销售单价应定为270元，每月销售400件．
考点2 利用一元二次方程解决球队比赛问题
【典例2】2024年某县青少年篮球赛正如火如荼地在县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛66场．试求初中组共有多少支球队参加比赛．
解：设初中组共有x支球队参加比赛．根据题意，得x(x－1)＝66，
整理，得x2－x－132＝0，
解方程，得x1＝12，x2＝－11（不符合题意，舍去）.
答：初中组共有12支球队参加比赛．
单循环与主客场比赛问题：
(1)相互握手类似于单循环，x支球队的单循环赛场数＝；
(2)相互寄送贺卡类似于主客场，x支球队的主客场赛场数＝x(x－1).
【变式训练】
2.在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为( D )
A.9人 B．10人 C．11人 D．12人
考点3 利用一元二次方程解决传播问题
【典例3】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，第三轮有多少个人患流感？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人．
由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝225，
解得x1＝14，x2＝－16.
∵x＞0，∴x2＝－16（不合题意，舍去），
∴x＝14，
答：每轮传染中平均一个人传染14个人．
(2)根据(1)可得每轮传染中平均一个人传染14个人，则第三轮的患病人数为225×(14＋1)＝3 375，故第三轮有3 375个人患流感．
解决传播问题的关键点：
(1)每一轮传播的传播源的数量；
(2)每一个传播源每轮传播的数量．
【变式训练】
3.有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 343 人．
知识点1 用一元二次方程解决营销问题
1.某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为x(x≥120)元/间，若宾馆每天利润为5 000元，则可列方程为( C )
A.(x－30)＝5 000
B．(x－50)＝5 000
C．(x－30)＝5 000
D．(x－50)＝5 000
2.（河北石家庄赵县期中）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元．
(1)商场日销售量增加 3x 件，每件商品盈利 (60－x) 元（用含x的代数式表示）；
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达3 600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
(1)根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280－x－220＝(60－x)元，
故答案为：3x，(60－x)；
(2)根据题意得：(30＋3x)(60－x)＝3 600，
解得x1＝20，x2＝30，
∵要更有利于减少库存，∴x＝30.
答：每件商品应降价30元．
知识点2 用一元二次方程解决其他问题
3.（海南临高县期中）临高教育局要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（每两队都赛一场），计划安排36场比赛，则参加比赛的球队有(C)支．
A．7 B．8 C．9 D．10
设参加比赛的球队有x支．根据题意，得x(x－1)＝36，整理，得x2－x－72＝0，解方程，得x1＝9，x2＝－8（不符合题意，舍去），故参加比赛的球队有9支．
4.（海南文昌校级期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( C )
A．25 B．36
C．25或36 D．－25或－36
设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x－3.由题意，得10(x－3)＋x＝x2，解得x1＝5，x2＝6，则x－3＝2或3，故这个两位数应该是25或36.
5.某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有144台电脑被感染（假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）.
(1)求每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？
(2)如果按照这样的感染速度，经过三轮感染后被感染的电脑总数会不会超过1 700台？
(1)设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑，依题意，得1＋x＋(1＋x)x＝144，整理，得(1＋x)2＝144，
解得x1＝11，x2＝－13（不合题意，舍去）.
答：每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑；
(2)(1＋x)2＋x(1＋x)2＝(1＋x)3＝(1＋11)3＝1 728>1 700.
答：经过三轮感染后被感染的电脑总数会超过1 700台．
6.某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是( B )
A．4 B．5 C．6 D．7
7.我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( A )
A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210
8.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（单位：元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x的方程是 (x－10)(－2x＋60)＝150 （不需化简和解方程）.
9.如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2、3、9、10）.如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，那么这4个数中最小的数是 8 ．
设这4个数中最小的数是x，则最大的数是x＋8，根据题意，得x(x＋8)＝128，整理，得x2＋8x－128＝0，解得x1＝8，x2＝－16（不合题意，舍去）.故这4个数中最小的数是8.
【母题P46T20】某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%.若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答．
本题是开放题，下列情境供参考：
①降低产品成本．问题：求每个季度平均降低成本的百分率［提示：设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意，得65(1－10%)(1＋4%)－50(1－x)2＝15，求得符合题意的近似解x≈4.3%］；
②降低产品成本．问题：求半年后每件产品成本降低多少元［提示：设半年后每件产品成本降低x元，根据题意，得65(1－10%)(1＋4%)－(50－x)＝15，解得x＝4.16］；
③增加产量．问题：求每个季度产品的平均增长率［提示：设每个季度产品的平均增长率为x，原单位时间内的产量为a件，根据题意，得65a(1－10%)(1＋4%)(1＋x)2－50a(1＋x)2＝15a，解得符合题意的近似解x≈17.6%］.
【变式】（河南洛阳汝阳县期中）某产品每件的生产成本为500元，原定销售价为625元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价将下降20%，第二季度又将回升6%.该产品每件的生产成本平均每个季度应降低的百分率是多少时，才能使半年后的销售利润不变．
设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得625×(1－20%)×(1＋6%)－500(1－x)2＝625－500，
解得x1＝1.9（舍去），x2＝0.1＝10%.
答：该产品每件的生产成本平均每个季度应降低的百分率是10%.
10.（建模意识）某蛋糕店开业在即，老板要求员工进行宣传，于是蛋糕店开业的消息在朋友圈快速流转起来．
(1)开始只有老板和员工共9个人知道开业消息，两天后知道此店开业消息的人数达到1 089人，如果每个人每天转发的人数相同，那么每个人每天把消息传递了几个人？
(2)老板根据经验估计；该店将进货价格为8元的蛋糕按每个10元售出，每天可销售200个，如果这种蛋糕每涨价1元，其销售量就减少20个，老板想通过卖这种蛋糕每天获得800元利润，他能梦想成真吗？
(1)设每个人每天把消息传递了x个人，根据题意得：9(1＋x)2＝1 089，(1＋x)2＝121，
解得x1＝－12（舍），x2＝10，
答：每个人每天把消息传递了10个人；
(2)设这种蛋糕涨价x元，老板卖这种蛋糕每天获得800元利润，根据题意，得(10－8＋x)(200－20x)＝800，整理，得x2－8x＋20＝0，Δ＝82－4×1×20＝－16<0，此方程无实数解，∴他不能梦想成真，不能每天获得800元利润．
