23.2 相似图形
1.相似多边形的性质：相似多边形的对应边 ，对应角 ．
2.相似多边形的判定：两个边数相同的多边形，如果各边对应 ，各角对应 ，那么这两个多边形相似．
考点1 利用相似图形的性质进行计算
【典例1】如图，一幅装饰画的长为220 cm、宽为132 cm，镶在其外围的横向木质边框宽9 cm.若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度．
相似多边形的定义既是相似多边形的性质，也是相似多边形的判定；如果两个多边形全等，那么这两个多边形一定是相似多边形，但相似多边形不一定是全等的．
【变式训练】
1.如图，一个矩形广场的长为100 m、宽为80 m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m(x<1.5)，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
考点2 相似多边形的判断
【典例2】观察下面多边形，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗，为什么？
两个多边形相似必须同时满足：(1)边数相同；(2)各对应角分别相等；(3)各对应边成比例．
【变式训练】
2.观察下面多边形：
多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？
知识点1 利用网格图画相似图形
1.如图，图1中有一个五边形，请在图2的格点中画一个与该五边形形状相同、大小不同的图形．
知识点2 相似多边形的性质
2.若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )
A.增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
3.（海南海口期末）如图两个形状相同的举重图案，则x的值是 ．
4.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 ．
5.（海南定安县期中）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
(1)∠D′的度数为 ，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为 ；
(2)分别求边BC与边CD的长度．
知识点3 相似多边形的判定
6.下列图形是相似多边形的是( )
A．所有矩形 B．所有菱形
C．所有平行四边形 D．所有正六边形
7.如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( )
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．甲、乙和丙
8.一个多边形的边长分别为2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为( )
A．6 B．8 C．12 D．10
9.（海南定安县期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是( )
A．∠D＝81° B．∠F＝83°
C．∠G＝78° D．∠H＝76°
10.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【母题P60T5】将一张矩形纸片ABCD沿一组对边AD和BC的中点连线EF对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．求原矩形纸片的长与宽之比．
【变式】如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，那么原矩形纸片的长与宽之比为( )
A.∶1 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
11.（推理能力）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．23.2 相似图形
1.相似多边形的性质：相似多边形的对应边 成比例 ，对应角 相等 ．
2.相似多边形的判定：两个边数相同的多边形，如果各边对应 成比例 ，各角对应 相等 ，那么这两个多边形相似．
考点1 利用相似图形的性质进行计算
【典例1】如图，一幅装饰画的长为220 cm、宽为132 cm，镶在其外围的横向木质边框宽9 cm.若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度．
解：设纵向木质边框的宽度为x.∵边框的内外边缘所成的矩形相似，∴＝，解得x＝15，
答：纵向木质边框的宽度为15 cm.
相似多边形的定义既是相似多边形的性质，也是相似多边形的判定；如果两个多边形全等，那么这两个多边形一定是相似多边形，但相似多边形不一定是全等的．
【变式训练】
1.如图，一个矩形广场的长为100 m、宽为80 m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m(x<1.5)，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
当(100＋3)∶100＝(80＋2x)∶80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，解得x＝1.2.
答：当x为1.2 m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
考点2 相似多边形的判断
【典例2】观察下面多边形，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗，为什么？
解：∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠A1＝∠B1＝∠C1＝∠D1＝90°.
∵＝，＝，≠，
∴≠，
∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似；
两个多边形相似必须同时满足：(1)边数相同；(2)各对应角分别相等；(3)各对应边成比例．
【变式训练】
2.观察下面多边形：
多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？
它们是相似图形．∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，∴它们对应各角相等，且各对应边成比例，∴它们是相似图形．
知识点1 利用网格图画相似图形
1.如图，图1中有一个五边形，请在图2的格点中画一个与该五边形形状相同、大小不同的图形．
如图所示：
知识点2 相似多边形的性质
2.若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( D )
A.增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B.
3.（海南海口期末）如图两个形状相同的举重图案，则x的值是 22.5 ．
4.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 135° ．
∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°＋45°＝135°，∴∠BAC＝135°.
5.（海南定安县期中）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
(1)∠D′的度数为 48° ，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为 3∶2 ；
(2)分别求边BC与边CD的长度．
(1)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝102°，∠B＝∠B′＝90°，∠C＝∠C′＝120°，
∴∠D′＝360°－102°－90°－120°＝48°，
相似比为＝＝；
(2)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝＝，
∴BC＝×8＝12，CD＝×10＝15.
知识点3 相似多边形的判定
6.下列图形是相似多边形的是( D )
A．所有矩形 B．所有菱形
C．所有平行四边形 D．所有正六边形
7.如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( B )
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．甲、乙和丙
甲：邻边的比为3∶2，乙：邻边的比为2.5∶1.5＝5∶3，丙：邻边的比为1.5∶1＝3∶2，所以，是相似图形的是甲和丙．
8.一个多边形的边长分别为2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为( B )
A．6 B．8 C．12 D．10
9.（海南定安县期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是( D )
A．∠D＝81° B．∠F＝83°
C．∠G＝78° D．∠H＝76°
10.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
∵∠GEA＝∠EAF＝∠GFA＝90°，∴四边形EAFG为矩形．∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠DAB.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE＝GF.∴四边形EAFG为正方形．∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【母题P60T5】将一张矩形纸片ABCD沿一组对边AD和BC的中点连线EF对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．求原矩形纸片的长与宽之比．
.
【变式】如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，那么原矩形纸片的长与宽之比为( B )
A.∶1 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
设原矩形ABCD的长为x、宽为y，∴小矩形的长为y，宽为，∵小矩形与原矩形相似，∴＝，∴x∶y＝2∶1.
11.（推理能力）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
(1)观点一正确；观点二不正确．理由如下：①如图1，连结并延长DA，交FC的延长线于点O，
图1
∵△ABC和△DEF对应的边的间距都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO＋∠ODE＝∠CAO＋∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；
图2
②如图2，由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴≠，
∴新矩形与原矩形不相似，∴观点二不正确．
