23.1.2 平行线分线段成比例
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）.
2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的线段 对应成比例 ．
考点1 利用平行线分线段成比例的应用
【典例1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，AB＝4，AC＝9，EF＝4，则DE的长为 ．
解析：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝4，AC＝9，EF＝4，∴BC＝5，∴＝.
紧扣平行线分线段成比例的基本事实，找出已知线段和未知线段之间的关系解决问题．
【变式训练】
1.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC.若AE＝2，AC＝4，AB＝5，则AD的长为 ．
2.如图，AB∥CD∥EF，若AD＝3，DF＝5，BC＝4，则BE的长为 ．
考点2 利用平行线分线段成比例的推论求线段的长
【典例2】如图，点D、E、F分别是边AB、BC、AC上的点，已知DE∥AC，DF∥BC，AF＝6 cm，FC＝9 cm，CE＝4 cm，求BE的长．
解：∵DF∥BC，∴＝.
∵DE∥AC，∴＝，∴＝.
∵AF＝6 cm，FC＝9 cm，CE＝4 cm，
∴＝，解得BE＝6，
答：BE的长为6 cm.
用平行线分线段成比例的推论求线段的长度的方法：
根据图中的平行线，确定对应线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长度即可．
【变式训练】
3.如图，点F、D、E分别在△ABC的边AB、AC上，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，求AB的长．
∵FE∥CD，AF＝3，AD＝5，
∴＝，∴＝.
∵DE∥BC，∴＝，
∴＝，∴AB＝，故AB的长为.
考点3 利用推论进行推理证明
【典例3】如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB＝1∶3，AE＝3.
(1)求EC的值；
(2)求证：AD·AG＝AF·AB.
(1)解：∵DE∥BC，∴＝.
又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，
∴EC＝AC－AE＝9－3＝6；
(2)证明：∵DE∥BC，EF∥CG，
∴＝＝，
∴AD·AG＝AF·AB.
找中间比的常见方法：通过找平行线，利用平行线分线段成比例的定理和推论构造比例式．
【变式训练】
4.如图，已知DE∥BC，FE∥CD.
(1)若AF＝3，AD＝5，AE＝4.求CE的长；
(2)求证：＝.
(1)由题意，可知DF＝AD－AF＝5－3＝2.
∵FE∥CD，∴＝，即＝，∴CE＝；
(2)∵DE∥BC，∴＝.
∵FE∥CD，∴＝，∴＝.
知识点1 平行线分线段成比例
1.（海南海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于( C )
A．3 B．3.2
C．3.6 D．4
2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB＝ ．
知识点2 平行于三角形一边的直线的性质
3.（河南周口太康县期中）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为( A )
A． B．
C． D．
4.如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝3，BC＝4，DF＝5，则CE的长为( B )
A．6 B．
C．7 D．
5.（海南海口龙华区校级期中）某商店售卖的花架简图如图所示，其中AD∥BE∥CF，DE＝25 cm，EF＝50 cm，BC＝60 cm，则AC的长为( C )
A． cm B． cm
C．90 cm D．30 cm
∵DE＝25 cm，EF＝50 cm，∴DF＝DE＋EF＝25＋50＝75(cm).∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得AC＝90.
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是( D )
A.＝ B．＝
C．＝ D．＝
7.（海南海口龙华区校级期中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连结AF并延长交BC于点E，若BF∶FD＝5∶2，BC＝9，则BE的长为( D )
A.3 B． C．4 D．5
如图，
过点D作DH∥AE交BC于点H，∴＝＝，∴设BE＝5x，则EH＝2x.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵DH∥AE，∴＝＝1，∴CH＝EH＝2x.∵BC＝9，∴BC＝BE＋EH＋CH＝9，即5x＋2x＋2x＝9，解得x＝1，∴BE＝5x＝5.
8.如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF与AC相交于点E，交CD的延长线于点G，若BE＝2，则EG的值为多少？
设FD＝x，由AF＝2FD，则AF＝2x，AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3x，∴＝＝＝，∴＝＝.∵BE＝2，∴＝，∴EG＝3.
9.如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC.若DE＝5，DF＝3，CE＝AD.
(1)求AD的值；(2)求的值．
(1)设CE＝AD＝x，∵EF∥AC，
∴＝，∴＝，解得x＝7.5，
∴AD＝7.5；
(2)∵AD＝7.5，∴AF＝4.5，
∵EF∥DB，∴＝＝＝.
10.（推理能力）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm.求BD的长．
(1)如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，∵CE∥DA，∴＝，∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝；
(2)∵AD是角平分线，∴＝，∵AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，∴＝，解得BD＝ cm.23.1.2 平行线分线段成比例
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）.
2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的线段 ．
考点1 利用平行线分线段成比例的应用
【典例1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，AB＝4，AC＝9，EF＝4，则DE的长为 ．
紧扣平行线分线段成比例的基本事实，找出已知线段和未知线段之间的关系解决问题．
【变式训练】
1.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC.若AE＝2，AC＝4，AB＝5，则AD的长为 ．
2.如图，AB∥CD∥EF，若AD＝3，DF＝5，BC＝4，则BE的长为 ．
考点2 利用平行线分线段成比例的推论求线段的长
【典例2】如图，点D、E、F分别是边AB、BC、AC上的点，已知DE∥AC，DF∥BC，AF＝6 cm，FC＝9 cm，CE＝4 cm，求BE的长．
用平行线分线段成比例的推论求线段的长度的方法：
根据图中的平行线，确定对应线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长度即可．
【变式训练】
3.如图，点F、D、E分别在△ABC的边AB、AC上，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，求AB的长．
考点3 利用推论进行推理证明
【典例3】如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB＝1∶3，AE＝3.
(1)求EC的值；
(2)求证：AD·AG＝AF·AB.
找中间比的常见方法：通过找平行线，利用平行线分线段成比例的定理和推论构造比例式．
【变式训练】
4.如图，已知DE∥BC，FE∥CD.
(1)若AF＝3，AD＝5，AE＝4.求CE的长；
(2)求证：＝.
知识点1 平行线分线段成比例
1.（海南海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于( )
A．3 B．3.2
C．3.6 D．4
2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB＝ ．
知识点2 平行于三角形一边的直线的性质
3.（河南周口太康县期中）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为( )
A． B．
C． D．
4.如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝3，BC＝4，DF＝5，则CE的长为( )
A．6 B．
C．7 D．
5.（海南海口龙华区校级期中）某商店售卖的花架简图如图所示，其中AD∥BE∥CF，DE＝25 cm，EF＝50 cm，BC＝60 cm，则AC的长为( )
A． cm B． cm
C．90 cm D．30 cm
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是( )
A.＝ B．＝
C．＝ D．＝
7.（海南海口龙华区校级期中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连结AF并延长交BC于点E，若BF∶FD＝5∶2，BC＝9，则BE的长为( )
A.3 B． C．4 D．5
8.如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF与AC相交于点E，交CD的延长线于点G，若BE＝2，则EG的值为多少？
9.如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC.若DE＝5，DF＝3，CE＝AD.
(1)求AD的值；(2)求的值．
10.（推理能力）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm.求BD的长．
