23.3.1 相似三角形
考点1 相似三角形的对应边、对应角的性质
【典例1】已知△ABC∽△DEF，若∠A＝33°，∠B＝77°，则∠F的度数是( D )
A.100° B．90° C．80° D．70°
解析：∵△ABC∽△DEF，
∴∠A＝∠D＝33°，∠B＝∠E＝77°，
∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－33°－77°＝70°.
利用相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角分别相等．
【变式训练】
1.已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，若AB＝6，则A′B′为( A )
A．2 B．9 C．18 D．
考点2 利用三角形的相似进行相关计算
【典例2】如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.
(1)求的值；
(2)求BC的长．
解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，∴BC＝9.
证三角形相似求线段长的方法：当三角形被平行线所截形成“A”形或“X”形的图形，并且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段的长．
【变式训练】
2.如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD∶DA＝3∶2，BF＝6，DF＝8.
(1)求EF的长；
(2)求EA的长．
(1)∵DF∥AE，∴＝，即＝，解得EF＝4；
(2)∵DF∥AE，∴△BDF∽△BAE，∴＝，即＝，解得EA＝.
知识点1 相似三角形的相似比
1.已知△ABC∽△DEF，若AB∶DE＝1∶3，则△DEF与△ABC的相似比为( B )
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
2.已知△ABC∽△DEF，AB＝2，DE＝4，则△ABC与△DEF的相似比是 1∶2 ．
知识点2 相似三角形的对应边、对应角的性质
3.如图，△ABC∽△ADE，如果∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝( A )
A．75° B．105° C．60° D．45°
4.（海南澄迈县月考）如果两个相似三角形的相似比是1∶2，那么它们的面积比是( B )
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶ D．2∶1
5.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，DF>DE，AB＝9，AE＝12，DE＝3，求FC的长．
∵△ABE∽△DEF，∴＝，∵AB＝9，AE＝12，DE＝3，∴＝，解得DF＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝9，∴FC＝DC－DF＝9－4＝5.即FC的长度为5.
知识点3 由平行线判定三角形相似
6.如图，E是 ABCD的边BC的延长线上一点，连结AE交CD于点F，则图中共有相似三角形有 △ADF∽△EBA∽△ECF （用相似符号来表示）.
7.（海南儋州期中）如图DE∥BC，AD∶DB＝2∶1，那么△ADE与△ABC的相似比为 2∶3 .
8.如图，点D在△ABC的边AC上，若CD＝2，AC＝6，且△CDB∽△CBA，则BC的值为( B )
A．3 B．2 C．6 D．12
∵△CDB∽△CBA，∴CD∶CB＝CB∶CA，∴BC2＝CD·CA＝2×6＝12.∴BC＝2.
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB、AC于点D、E.点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，直尺宽BD的长为，则AB的长为 ．
由题意得BC＝3，DE＝1，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵直尺宽BD的长为，
∴＝，解得AB＝.
10.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴＝，即＝，解得DF＝3.
∴EF＝＝＝.
【母题P64T3】如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12.求四边形DECF的周长．
因为DE∥AC，DF∥BC，
所以四边形DECF是平行四边形，
从而可得△ADF∽△ABC，得＝＝＝，
∵AC＝8，BC＝12，∴AF＝2，DF＝3，
∴FC＝6，因此 DECF的周长为2×(6＋3)＝18.
【变式】如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，AE＝3，EC＝6，DE＝2，求FC的长．
∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BFED是平行四边形，∴BF＝DE＝2，∵AE＝3，EC＝6，∴AC＝9，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，
∴BC＝6，∴CF＝BC－BF＝4.
11.（几何直观）如图1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC上一动点，连结DO并延长交AB于点E，得到的△DOC与△EOA相似．
(1)当O点运动到何处时，△DOC与△EOA的相似比为2？
(2)当O点运动到何处时，△DOC与△EOA全等？
(3)当O点运动到何处时点E与点B重合？此时△DOC与△EOA的相似比是多少？如图2，若点O继续往C点运动，DO的延长线与BC交于F，且有△DFC∽△EFB，当点F是BC中点时，求△DOC与△EOA的相似比．
(1)∵△DOC与△EOA相似，且相似比为2，∴＝＝2，∴OC＝2OA，∴当点O是AC的三等分点（靠近点A的三等分点）时，△DOC与△EOA的相似比为2；
(2)当点O运动到AC的中点时，△DOC与△EOA全等；
(3)当O点运动到AC的中点时，E与B重合，此时△DOC与△EOA的相似比是1；当点F是BC中点时，△DOC与△EOA的相似比是1∶2.
?23.3.1 相似三角形
考点1 相似三角形的对应边、对应角的性质
【典例1】已知△ABC∽△DEF，若∠A＝33°，∠B＝77°，则∠F的度数是( )
A.100° B．90° C．80° D．70°
利用相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角分别相等．
【变式训练】
1.已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，若AB＝6，则A′B′为( )
A．2 B．9 C．18 D．
考点2 利用三角形的相似进行相关计算
【典例2】如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.
(1)求的值；
(2)求BC的长．
证三角形相似求线段长的方法：当三角形被平行线所截形成“A”形或“X”形的图形，并且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段的长．
【变式训练】
2.如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD∶DA＝3∶2，BF＝6，DF＝8.
(1)求EF的长；
(2)求EA的长．
知识点1 相似三角形的相似比
1.已知△ABC∽△DEF，若AB∶DE＝1∶3，则△DEF与△ABC的相似比为( )
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
2.已知△ABC∽△DEF，AB＝2，DE＝4，则△ABC与△DEF的相似比是 ．
知识点2 相似三角形的对应边、对应角的性质
3.如图，△ABC∽△ADE，如果∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝( )
A．75° B．105° C．60° D．45°
4.（海南澄迈县月考）如果两个相似三角形的相似比是1∶2，那么它们的面积比是( )
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶ D．2∶1
5.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，DF>DE，AB＝9，AE＝12，DE＝3，求FC的长．
知识点3 由平行线判定三角形相似
6.如图，E是 ABCD的边BC的延长线上一点，连结AE交CD于点F，则图中共有相似三角形有 （用相似符号来表示）.
7.（海南儋州期中）如图DE∥BC，AD∶DB＝2∶1，那么△ADE与△ABC的相似比为 .
8.如图，点D在△ABC的边AC上，若CD＝2，AC＝6，且△CDB∽△CBA，则BC的值为( )
A．3 B．2 C．6 D．12
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB、AC于点D、E.点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，直尺宽BD的长为，则AB的长为 ．
10.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
【母题P64T3】如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12.求四边形DECF的周长．
【变式】如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，AE＝3，EC＝6，DE＝2，求FC的长．
11.（几何直观）如图1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC上一动点，连结DO并延长交AB于点E，得到的△DOC与△EOA相似．
(1)当O点运动到何处时，△DOC与△EOA的相似比为2？
(2)当O点运动到何处时，△DOC与△EOA全等？
(3)当O点运动到何处时点E与点B重合？此时△DOC与△EOA的相似比是多少？如图2，若点O继续往C点运动，DO的延长线与BC交于F，且有△DFC∽△EFB，当点F是BC中点时，求△DOC与△EOA的相似比．
