23.3.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理1： 两角 分别相等的两个三角形相似．
考点 利用两角分别相等判断两个三角形相似
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：
△ADE∽△ABC.
证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，
∴∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△ABC.
两角分别相等的两个三角形相似．特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似．
【变式训练】
如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC＝CD.求证：△AEB∽△CED.
∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE.
∵BC＝CD，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE.
又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED.
知识点 相似三角形的判定定理1
1.在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝69°，∠B＝40°，∠B′＝40°，∠C′＝20°，则这两个三角形( B )
A.不相似 B．相似
C．全等 D．无法确定
2.下列三角形一定相似的是( B )
A．两个等腰三角形
B．两个等边三角形
C．两个直角三角形
D．有一角为70°的两个等腰三角形
3.（河南安阳期中）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有( C )
A．△ADE∽△AEF B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△ECF D．△ADE∽△ABF
4.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠B的平分线交AC于点D，则与△ABC相似的三角形为 △BCD ．
5.如图，三个三角形中，相似的是 (2)与(3) ．（填序号）
6.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，且∠ADE＝60°，BD＝1，CE＝，则△ABC的边长为( A )
A．3 B．4 C．5 D．6
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°＝∠C，∵∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，且∠ABC＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴AB＝3.
7.（安徽合肥肥西县期末）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°.
∵∠FBE＝∠ABD，∴△FBE∽△ABD.
∵∠BFE＝∠CFD，∴△BFE∽△CFD.
∵∠FCD＝∠ACE，∴△CFD∽△CAE，
∴△BFE∽△CAE.
综上，图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE共3个．
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝9，AD＝4，那么CD＝ 6 ；AC＝ 2 ．
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD·BD，∵AD＝4，BD＝9，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝52，∴AC＝2.
9.（海南海口秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
(1)∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD＋∠B＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD，
∴＝，∴CD2＝AD·DB.
∵AD＝3，BD＝2，∴CD2＝6，
∵CD＞0，∴CD＝.
【母题P76T7】如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1.证明△AFD∽△DCE，并计算点A至直线DE的距离．（精确到0.1）
∵∠CDE＝90°－∠ADE＝∠DAF，∠DCB＝∠AFD＝90°，
∴△AFD∽△DCF，∴＝，
∵AB＝3，AD＝2，CE＝1，
∴DE＝＝，
∴AF＝＝≈1.9.
【变式】如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F.
(1)证明：△AEF∽△DCE；
(2)若AB＝2，AE＝3，AD＝7，求线段AF的长．
(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵CE⊥EF，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
又∵∠F＋∠AEF＝90°，
∴∠F＝∠DEC，∴△AEF∽△DCE；
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴DC＝AB＝2，
∵AE＝3，AD＝7，∴ED＝AD－AE＝4，
∵△AEF∽△DCE，∴＝，
∴＝，∴AF＝6.
10.（推理能力）已知，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.
特例解析：(1)如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；
类比探究：(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B＋∠EGC＝180°，求证：＝.
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵DE⊥CF，∴∠FGD＝90°，
∴∠ADE＋∠CFD＝∠DCF＋∠CFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，
∴＝，
又∵AB＝CD，∴＝；
(2)如图，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，
∴∠CMF＝∠CFM，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠A＝∠CDM，∠B＋∠A＝180°，
∵∠B＋∠EGC＝180°，∠EGF＋∠EGC＝180°，
∴∠EGF＋∠A＝180°，
∴∠AED＋∠AFG＝180°，
∵∠CFM＋∠AFG＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，∴＝，
又∵AB＝CD，CM＝CF，∴＝.
第2课时 相似三角形的判定定理2、3
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
考点1 利用两边成比例且夹角相等判断两个三角形相似
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D，E分别在AB，AC上，BD＝2，CE＝5.求证：△AED∽△ABC.
证明：∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，∴AE＝3，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC.
当条件中有一角相等或两边成比例时通常考虑此方法．
【变式训练】
1.如图，点B、C分别在△ADE的边AD、AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5.求证：△ABC∽△AED.
∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5.
∴AE＝5，AD＝6，∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED.
考点2 利用三边成比例判断两个三角形相似
【典例2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，若△ABC和△EFD的顶点都在格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由．
解：△ABC与△EFD相似．理由如下：
由勾股定理，可得AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，
EF＝＝，ED＝＝2，
DF＝＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△EFD.
本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似．
【变式训练】
2.（海南陵水县期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( A )
知识点1 相似三角形的判定定理2
1.（海南海口龙华区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( D )
A.∠B＝∠D B．＝
C．∠C＝∠AED D．＝
2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AD·AB，则( A )
A．△ADC∽△ACB
B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△CDB
D．无相似三角形
3.如图，点D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC.
∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝8，
∴＝＝，＝＝，∴＝，
又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
知识点2 相似三角形的判定定理3
4.已知△ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( C )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
5.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连结DE，若只从边的角度考虑，使△ADE∽△ACB，需添加一个条件： ＝＝ ．
6.根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x与y的值．
相似．∵∠B＝∠D＝90°，∴x＝CD＝＝4，y＝＝10，∴＝＝＝，∴△ABC∽△EDC.
易错易混点 受思维定式，未分类讨论而出错
7.如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝ 54或 时，△AOC与△BOD相似．
∵OC＝45，OD＝30，OB＝36，若△AOC∽△BOD，∴＝，即＝，解得OA＝54；若△AOC∽△DOB，∴＝，即＝，解得OA＝，综上所述，OA的长为54或.
8.（浙江杭州下城区期中）在△ABC中，AC＝6，AB＝9，D是AC边上一点，且AD∶DC＝1∶2，若E为AB边上的点，△ABC与以A、D、E为顶点的三角形相似，则AE的长度为( C )
A．3 B．4.5
C．或3 D．2或4.5
∵AC＝6，AD∶DC＝1∶2，
∴AD＝2，DC＝4.由题意，知当△ABC与以A、D、E为顶的三角形相似时，存在以下两种情况：
①当△ACB∽△ADE时，
＝，即＝，解得AE＝3.
②当△ABC∽△ADE时，
＝，即＝，解得AE＝.
综上，当△ABC与以A、D、E为顶点的三角形相似时，AE的长度为3或.
9.（海南东方一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( C )
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B
C．＝ D．＝
10.如图1，已知：∠E＝∠C.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)如图2，分别连结CE，BD，请判断△ACE与△ABD是否相似，若相似，请给出证明，若不相似，请说明理由．
(1)∵∠E＝∠C，∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)△ACE与△ABD相似，
证明：由(1)可知：△ADE∽△ABC，
∴＝，∴＝，
∵∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD.
【母题P97T15】如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？
BD＝.
【变式】如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.问：当AB等于 3或3 时，这两个直角三角形相似．
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2，∴CD＝＝，设AB＝x，当AC∶AD＝AB∶AC时，△ABC∽△ACD，∴＝，解得AB＝3；当AB∶AC＝AC∶CD时，△ABC∽△CAD，∴＝，解得AB＝3，∴AB＝3或3.
11.（空间观念）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明三角形△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点并且与△ABC相似，并予以证明．
(1)∵AB2＝20，AC2＝5，BC2＝25，
∴AB2＋AC2＝BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；
(2)△ABC和△DEF相似．理由如下：
由(1)中数据得AB＝2，AC＝，BC＝5，
又∵DE＝4，DF＝2，EF＝2.
∴＝＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF；
(3)如图：连结P2P5、P2P4、P4P5，
∵P2P5＝，P2P4＝，P4P5＝2，
AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△P4P5P2.23.3.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理1： 分别相等的两个三角形相似．
考点 利用两角分别相等判断两个三角形相似
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：
△ADE∽△ABC.
两角分别相等的两个三角形相似．特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似．
【变式训练】
如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC＝CD.求证：△AEB∽△CED.
知识点 相似三角形的判定定理1
1.在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝69°，∠B＝40°，∠B′＝40°，∠C′＝20°，则这两个三角形( )
A.不相似 B．相似
C．全等 D．无法确定
2.下列三角形一定相似的是( )
A．两个等腰三角形
B．两个等边三角形
C．两个直角三角形
D．有一角为70°的两个等腰三角形
3.（河南安阳期中）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有( )
A．△ADE∽△AEF B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△ECF D．△ADE∽△ABF
4.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠B的平分线交AC于点D，则与△ABC相似的三角形为 ．
5.如图，三个三角形中，相似的是 ．（填序号）
6.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，且∠ADE＝60°，BD＝1，CE＝，则△ABC的边长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7.（安徽合肥肥西县期末）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝9，AD＝4，那么CD＝ ；AC＝ ．
9.（海南海口秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【母题P76T7】如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1.证明△AFD∽△DCE，并计算点A至直线DE的距离．（精确到0.1）
【变式】如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F.
(1)证明：△AEF∽△DCE；
(2)若AB＝2，AE＝3，AD＝7，求线段AF的长．
10.（推理能力）已知，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.
特例解析：(1)如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；
类比探究：(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B＋∠EGC＝180°，求证：＝.
第2课时 相似三角形的判定定理2、3
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
考点1 利用两边成比例且夹角相等判断两个三角形相似
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D，E分别在AB，AC上，BD＝2，CE＝5.求证：△AED∽△ABC.
当条件中有一角相等或两边成比例时通常考虑此方法．
【变式训练】
1.如图，点B、C分别在△ADE的边AD、AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5.求证：△ABC∽△AED.
考点2 利用三边成比例判断两个三角形相似
【典例2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，若△ABC和△EFD的顶点都在格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由．
本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似．
【变式训练】
2.（海南陵水县期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
知识点1 相似三角形的判定定理2
1.（海南海口龙华区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.∠B＝∠D B．＝
C．∠C＝∠AED D．＝
2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AD·AB，则( )
A．△ADC∽△ACB
B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△CDB
D．无相似三角形
3.如图，点D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC.
知识点2 相似三角形的判定定理3
4.已知△ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
5.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连结DE，若只从边的角度考虑，使△ADE∽△ACB，需添加一个条件： ．
6.根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x与y的值．
易错易混点 受思维定式，未分类讨论而出错
7.如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝ 时，△AOC与△BOD相似．
8.（浙江杭州下城区期中）在△ABC中，AC＝6，AB＝9，D是AC边上一点，且AD∶DC＝1∶2，若E为AB边上的点，△ABC与以A、D、E为顶点的三角形相似，则AE的长度为( )
A．3 B．4.5
C．或3 D．2或4.5
9.（海南东方一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( )
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B
C．＝ D．＝
10.如图1，已知：∠E＝∠C.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)如图2，分别连结CE，BD，请判断△ACE与△ABD是否相似，若相似，请给出证明，若不相似，请说明理由．
【母题P97T15】如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？
【变式】如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.问：当AB等于 时，这两个直角三角形相似．
11.（空间观念）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明三角形△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点并且与△ABC相似，并予以证明．
