23.3.3 相似三角形的性质
1.相似三角形对应线段的比等于 ．
2.相似三角形对应 、 、 的比也等于相似比．
3.相似三角形对应周长的比等于 ，对应面积的比等于 ．
考点1 利用相似三角形的性质求周长问题
【典例1】已知两个相似三角形的一对对应边长为20 cm、35 cm，若它们的周长差为63 cm，求这两个三角形的周长．
熟记相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
【变式训练】
1.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为( )
A.2 B．4 C．8 D．32
考点2 用相似三角形面积的比求面积或线段
【典例2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝3AD，AC＝3AE.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)如果△ADE的面积为10，求四边形BCDE的面积．
相似三角形面积的比∶相似三角形面积的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则＝k2.
【变式训练】
2.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝.
(1)若BC＝21，求DE的长；
(2)若S四边形DBCE＝45，求S△ADE的值．
知识点1 相似三角形对应线段的比
1.（海南东方校级期中）若两个相似三角形的对应中线之比为2∶3，则它们的对应高之比为( )
A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．3∶2
2.若△ABC∽△DEF，其对应中线之比为2∶3，则∠ABC与∠DEF的平分线之比为( )
A．4∶9 B．2∶3
C．∶ D．16∶81
3.若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2∶3，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
知识点2 相似三角形的周长比
4.两个相似三角形的周长比是1∶2.则其相似比是( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
5.（海南海口秀英区校级期中）两个相似三角形的一对对应边的长分别是20 cm、8 cm，它们的周长差为60 cm，则这两个三角形的周长分别为 、
．
知识点3 相似三角形的面积比
6.（海南三亚校级期中）在打印三角形图片时，打印前后三角形形状没变，其中一条边由原图中的2 cm打印后变成了6 cm，则打印出的三角形的面积是原图中三角形面积的( )
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
7.已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的面积为20，则△DEF的面积为( )
A．5 B．40
C．80 D．无法计算
8.已知△ABC∽△A′B′C′，S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶4，若AB＝2，则A′B′的长为 ．
9.（海南海口期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若＝，则的值为( )
A． B． C． D．
10.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，∠ADE＝∠B，M、N分别是DE、BC的中点，若＝，则的值为( )
A． B． C． D．
11.（海南文昌校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE、BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝( )
A．2∶5 B．3∶5 C．2∶3 D．3∶2
12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，＝.
(1)若AB＝8，求线段AD的长；
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
13.（推理能力）（海南海口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B.设BD的长为x(0＜x＜8).
(1)求证：△DCE∽△ABD.
(2)用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值．
(3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形．23.3.3 相似三角形的性质
1.相似三角形对应线段的比等于 相似比 ．
2.相似三角形对应 高 、 中线 、 角平分线 的比也等于相似比．
3.相似三角形对应周长的比等于 相似比 ，对应面积的比等于 相似比的平方 ．
考点1 利用相似三角形的性质求周长问题
【典例1】已知两个相似三角形的一对对应边长为20 cm、35 cm，若它们的周长差为63 cm，求这两个三角形的周长．
解：设两个三角形的周长分别为x cm、y cm.由题意，得＝＝.
∵它们的周长差为63 cm，
∴x＝63×＝84，y＝63×＝147.
答：这两个三角形的周长为84 cm、147 cm.
熟记相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
【变式训练】
1.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为( C )
A.2 B．4 C．8 D．32
考点2 用相似三角形面积的比求面积或线段
【典例2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝3AD，AC＝3AE.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)如果△ADE的面积为10，求四边形BCDE的面积．
(1)证明：∵AB＝3AD，
AC＝3AE，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：∵△ADE∽△ABC，且＝，
∴＝＝，又∵S△ADE＝10，
∴S△ABC＝9·S△ADE＝9×10＝90，
∴S四边形BCDE＝S△ABC－S△ADE＝90－10＝80.
相似三角形面积的比∶相似三角形面积的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则＝k2.
【变式训练】
2.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝.
(1)若BC＝21，求DE的长；
(2)若S四边形DBCE＝45，求S△ADE的值．
(1)∵＝，∴＝＝，
∵DE∥BC，BC＝21，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，
∴DE＝BC＝×21＝6，∴DE的长是6.
(2)∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∵S△ABC＝S△ADE＋S四边形DBCE，且S四边形DBCE＝45，
∴＝，∴S△ADE＝4，∴S△ADE的值是4.
知识点1 相似三角形对应线段的比
1.（海南东方校级期中）若两个相似三角形的对应中线之比为2∶3，则它们的对应高之比为( A )
A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．3∶2
2.若△ABC∽△DEF，其对应中线之比为2∶3，则∠ABC与∠DEF的平分线之比为( B )
A．4∶9 B．2∶3
C．∶ D．16∶81
3.若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2∶3，则△ABC与△DEF的相似比为 2∶3 ．
知识点2 相似三角形的周长比
4.两个相似三角形的周长比是1∶2.则其相似比是( B )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
5.（海南海口秀英区校级期中）两个相似三角形的一对对应边的长分别是20 cm、8 cm，它们的周长差为60 cm，则这两个三角形的周长分别为 100 cm 、
40 cm ．
知识点3 相似三角形的面积比
6.（海南三亚校级期中）在打印三角形图片时，打印前后三角形形状没变，其中一条边由原图中的2 cm打印后变成了6 cm，则打印出的三角形的面积是原图中三角形面积的( C )
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
7.已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的面积为20，则△DEF的面积为( C )
A．5 B．40
C．80 D．无法计算
8.已知△ABC∽△A′B′C′，S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶4，若AB＝2，则A′B′的长为 4 ．
9.（海南海口期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若＝，则的值为( C )
A． B． C． D．
10.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，∠ADE＝∠B，M、N分别是DE、BC的中点，若＝，则的值为( A )
A． B． C． D．
∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵M、N分别是DE、BC的中点，∴AM、AN分别是△ADE与△ABC的中线，∴＝.
11.（海南文昌校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE、BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝( C )
A．2∶5 B．3∶5 C．2∶3 D．3∶2
12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，＝.
(1)若AB＝8，求线段AD的长；
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
(1)∵＝，∴＝，∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；
(2)∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝，∴＝＝，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16－9－1＝6.
13.（推理能力）（海南海口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B.设BD的长为x(0＜x＜8).
(1)求证：△DCE∽△ABD.
(2)用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值．
(3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形．
(1)∵∠ADC＝∠1＋∠2＝∠B＋∠3，∠1＝∠B，∴∠2＝∠3.
又AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴△DCE∽△ABD.
(2)∵△DCE∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴CE＝－x2＋x.
∵CE＝2，∴－x2＋x＝2，解得x＝2或6.
(3)∵△ADE为等腰三角形，∴存在以下三种情况：
①当DA＝DE时，△DCE≌△ABD，
∴DC＝AB＝6，即8－x＝6，解得x＝2；
②当EA＝ED时，∠DAE＝∠1＝∠B＝∠C，
∴△DAC∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝；
③当AD＝AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x＝0，
（或当AD＝AE时，∠1＝∠AED＞∠C.
∵∠1＝∠B＝∠C，）
∴AD＝AE情况不成立．
综上所述，当x＝2或x＝时，△ADE为等腰三角形．
