23.4 中位线
1.连结三角形的两边 的线段叫做三角形的中位线．
2.三角形的中位线 第三边，且等于第三边的 ．
3.三角形三条边上的中线相交于一点，这个点就是三角形的 ，与一边中点的连线的长是对应中线长的 ．
考点 利用三角形中位线定理进行计算
【典例】如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，求EF的长．
(1)三角形的中位线定理有两个结论，第一个结论说明中位线与第三边的位置关系，第二个结论说明中位线与第三边的数量关系；(2)三角形有三条中位线，由三角形的三条中位线构成的三角形与原三角形相似，且相似比为1∶2.
【变式训练】
如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，
BD⊥AC于点D，点F在BC上，且
BF＝4，连结AF，E为AF的中点，
连结DE，求DE的长．
知识点1 三角形的中位线
1.（海南文昌期中）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝2，则BC的长度为( )
A.1 B．2 C．3 D．4
2.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为( )
A.9 B．10
C.11 D．12
3.（海南中考）跷跷板示意图如图所示，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm.
4.（海南三亚二模）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D.若AE＝2，DF＝1，则边BC的长为 ．
知识点2 三角形的重心
5.如图，G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D，E，则AD∶AB的值为( )
A．1∶2 B．2∶3
C．4∶9 D．3∶2
6.如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，则＝ ，AG＝ AD，如果DG＝2，那么线段AD的长是 ．
7.（海南海口龙华区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是BC、AC的中点，连结DE.以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB于点M、N；以点D为圆心，AM长为半径作弧交DE于点P；以点P为圆心，MN长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线DQ交AB于点F，则AF的长为( )
A．3 B．4 C．5 D.6
8.如图，△AOB在平面直角坐标系中，点C、D分别是AB、OB的中点，点A的坐标为(－6，0)，点D的坐标为(－1，2)，则点C的坐标为( )
A．(－4，2) B．(4，－2)
C．(－2，1) D．(－1，－2)
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 ．
10.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF＝CF.
11.（推理能力）在四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F分别是边AD、BC的中点．
(1)如图1，点P为对角线BD的中点，连结PE、PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝ 度；
(2)如图2，直线EF分别与BA、CD的延长线交于点M、N.求证：∠BMF＝∠CNF.
23.4 中位线
1.连结三角形的两边 中点 的线段叫做三角形的中位线．
2.三角形的中位线 平行于 第三边，且等于第三边的 一半 ．
3.三角形三条边上的中线相交于一点，这个点就是三角形的 重心 ，与一边中点的连线的长是对应中线长的 ．
考点 利用三角形中位线定理进行计算
【典例】如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，求EF的长．
解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CE＝ED，
∵F是BC的中点，
∴EF是△CDB的中位线，
∴EF＝BD＝×10＝5.
(1)三角形的中位线定理有两个结论，第一个结论说明中位线与第三边的位置关系，第二个结论说明中位线与第三边的数量关系；(2)三角形有三条中位线，由三角形的三条中位线构成的三角形与原三角形相似，且相似比为1∶2.
【变式训练】
如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，
BD⊥AC于点D，点F在BC上，且
BF＝4，连结AF，E为AF的中点，
连结DE，求DE的长．
∵BC＝12，BF＝4，∴FC＝BC－BF＝12－4＝8，
∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，
∵E为AF的中点，∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×8＝4.
知识点1 三角形的中位线
1.（海南文昌期中）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝2，则BC的长度为( D )
A.1 B．2 C．3 D．4
2.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为( A )
A.9 B．10
C.11 D．12
3.（海南中考）跷跷板示意图如图所示，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 80 cm.
4.（海南三亚二模）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D.若AE＝2，DF＝1，则边BC的长为 6 ．
知识点2 三角形的重心
5.如图，G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D，E，则AD∶AB的值为( B )
A．1∶2 B．2∶3
C．4∶9 D．3∶2
6.如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，则＝ ，AG＝ AD，如果DG＝2，那么线段AD的长是 6 ．
7.（海南海口龙华区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是BC、AC的中点，连结DE.以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB于点M、N；以点D为圆心，AM长为半径作弧交DE于点P；以点P为圆心，MN长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线DQ交AB于点F，则AF的长为( C )
A．3 B．4 C．5 D.6
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10.∵D，E分别是BC、AC的中点，∴DE＝AB＝5，DE∥AB，∴∠CED＝∠A.由作图，可知∠EDF＝∠A，∴∠CED＝∠EDF，∴AE∥DF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AF＝DE＝5.
8.如图，△AOB在平面直角坐标系中，点C、D分别是AB、OB的中点，点A的坐标为(－6，0)，点D的坐标为(－1，2)，则点C的坐标为( A )
A．(－4，2) B．(4，－2)
C．(－2，1) D．(－1，－2)
∵点C、D分别是AB、OB的中点，∴DC为△OAB的中位线，∴DC∥OA，DC＝OA，∵点A的坐标为(－6，0)，∴OA＝6，∴DC＝3，∵点D的坐标为(－1，2)，∴点C的坐标为(－4，2).
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 ．
连结CM，如图，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，∴DE＝CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，由勾股定理得AB＝＝＝10，∵S△ABC＝×AB×CM＝×AC×BC，∴CM＝，∴DE＝CM＝.
10.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF＝CF.
如图，过D作DG∥AC，则∠EAF＝∠EDG，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，
∴G为BF中点，
∴DG＝CF，
∵E为AD中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEG中，
∴△AEF≌△DEG(A.S.A.)，∴DG＝AF，
∴AF＝CF.
11.（推理能力）在四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F分别是边AD、BC的中点．
(1)如图1，点P为对角线BD的中点，连结PE、PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝ 128 度；
(2)如图2，直线EF分别与BA、CD的延长线交于点M、N.求证：∠BMF＝∠CNF.
(1)∵点E、F分别是边AD、BC的中点，点P为对角线BD的中点，
∴PE为△ABD的中位线，PF为△BCD的中位线，
∴PE＝AB，PF＝CD，
∵AB＝CD，∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝26°，
∴∠EPF＝180°－∠PFE－∠PEF＝180°－26°－26°＝128°；
图2
(2)如图，连结BD，取BD的中点P，连结PE、PF，同(1)得：PE为△ABD的中位线，PF为△BCD的中位线，∴PE∥AB，PF∥CD，PE＝AB，PF＝CD，∴∠PEF＝∠BMF，∠PFE＝∠CNF，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠BMF＝∠CNF.
