23.5 位似图形
1.位似图形必须满足两个条件：(1)是 相似 的图形；(2)对应顶点的连线 相交于一点 ．(3)两个相似的图形，如果对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形是位似图形．
2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 相似比 ．
3.画位似图形的步骤：(1)确定位似中心；(2)把位似中心与对应顶点连线（或延长）；(3)在直线上找对应点，使对应点、关键点到位似中心的距离之比等于 相似比 ；(4)顺次连结各对应点．
【典例1】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
(1)若△ABC与△DEF的相似比为1∶2，AC＝2，求DF的长；
(2)若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数．
解：(1)∵△ABC与△DEF的相似比为1∶2，∴＝，∴DF＝2AC＝4；
(2)∵∠O＝22°，∠ABC＝38°，
∴∠OCB＝180°－22°－38°＝120°.
∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，∴＝＝，
∴△OBC∽△OEF，
∴∠OFE＝∠OCB＝120°.
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，位似图形的周长比等于相似比，位似图形的面积比等于相似比的平方．
【变式训练】
1.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，相似比为3∶1.若AC＝12，则A′C′的长为( D )
A.1 B．2 C．3 D．4
考点2 位似图形的画法
【典例2】作图题：如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)△A′B′C′与△ABC的位似比是________________________________________________________________________；
(3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
解：(1)如图，点O为所作；
(2)∵OA′∶OA＝6∶12＝1∶2，
∴△A′B′C′与△ABC的位似比是1∶2；
(3)如图，△A″B″C″为所作；A″(6，0)，B″(3，－2)，C ″(4，－4).
位似中心通过两组对应点的连线相交即可确定，不必画得太多．另外，要注意位似中心的位置不一定在位似图形的外部，还可以在位似图形的内部或位似图形上．
【变式训练】
2.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和点A1在格点上，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上）.
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1和C1；
(2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为 3∶1 ．
知识点1 位似图形及其性质
1.下列判断中，正确的是( B )
A.相似图形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似图形
C．全等的图形一定是位似图形
D．位似图形一定是全等图形
2.（海南海口二模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2∶3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是( B )
A．4 B．6 C．9 D．16
3.在如图所示的网格中，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，位似中心是点O，则四边形ABCD与四边形NPMQ的位似比是( A )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D．∶1
4.（海南海口龙华区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AC∶DF的值为( A )
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶13
5.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2∶3，点A、B的对应点分别为点A′、B′.若AB＝6，则A′B′的长为 9 ．
知识点2 位似图形的画法
6.如图，△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的有 ①②③④ ．（填序号）
7.(1)如图，作出△ABC关于点O的位似三角形，使位似中心在两个图形的同侧，且位似比为1∶2.（画出图形，不写作法）
(2)利用位似图形的方法把四边形ABCD缩小为原来的.
(1)如图所示：△A′B′C′即为所求．
(2)作图如下：
8.视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是( B )
A.①和④ B．②和③
C.①和② D．②和④
9.（海南海口龙华区校级期末）如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB′＝4，DD′＝2，则AB和AD的长是( B )
A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6
∵矩形ABCD的周长是24，∴AB＋AD＝12，∴AD＝12－AB，∴AB′＝AB＋4，AD′＝12－AB＋2＝14－AB.
∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，∴CD∥C′D′，BC∥B′C′，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得AB＝8，则AD＝12－AB＝4.
10.如图，A是反比例函数y＝(x>0)图象上的一点，点B，D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1∶3，△ABD的面积为1，则k的值为 8 ．
过A作AE⊥x轴，
∴OE＝AB，∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似是1∶3，∴＝，∴＝＝.假设BD＝x，AB＝y，∴DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，∵△ABD的面积为1，∴xy＝1，∴xy＝2，∴AB·AE＝4xy＝8，即：k＝4xy＝8.
11.如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为格点．请你仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)△ABC的顶点均为格点，D为AB中点，以点D为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，得到△A1B1C1；
(2)求线段BB1的长．
(1)如图所示（画出其中一种情况即可）
(2)∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝，∵△ABC∽△AB1C1，相似比为2，∴＝，∴A1B1＝2，
∴BB1＝(A1B1－AB)＝，
同理：BB2＝A2B2－A2B＝.
12.（应用意识）如图，电影放映机的原理利用了位似图形的知识，光源O可看作位似中心，幻灯片与屏幕的距离PP′是6 m，光源到幻灯片的距离OP是0.5 m，幻灯片上的四边形的面积是20 cm2，周长是30 cm，那么屏幕上的四边形的面积是多少？周长是多少？
设幻灯片上的四边形为ABCD，屏幕上的四边形为A′B′C′D′，∵光源O为位似中心，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB∥A′B′，
∴四边形ABCD的周长∶四边形A′B′C′D′的周长＝OP∶OP′，∴四边形A′B′C′D′的周长＝×30＝390(cm)，
四边形A′B′C′D′的面积＝×20＝3 380(cm2).
答：屏幕上的四边形的面积是3 380 cm2，周长为390 cm.23.5 位似图形
1.位似图形必须满足两个条件：(1)是 的图形；(2)对应顶点的连线 ．(3)两个相似的图形，如果对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形是位似图形．
2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ．
3.画位似图形的步骤：(1)确定位似中心；(2)把位似中心与对应顶点连线（或延长）；(3)在直线上找对应点，使对应点、关键点到位似中心的距离之比等于 ；(4)顺次连结各对应点．
【典例1】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
(1)若△ABC与△DEF的相似比为1∶2，AC＝2，求DF的长；
(2)若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数．
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，位似图形的周长比等于相似比，位似图形的面积比等于相似比的平方．
【变式训练】
1.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，相似比为3∶1.若AC＝12，则A′C′的长为( )
A.1 B．2 C．3 D．4
考点2 位似图形的画法
【典例2】作图题：如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)△A′B′C′与△ABC的位似比是________________________________________________________________________；
(3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
位似中心通过两组对应点的连线相交即可确定，不必画得太多．另外，要注意位似中心的位置不一定在位似图形的外部，还可以在位似图形的内部或位似图形上．
【变式训练】
2.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和点A1在格点上，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上）.
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1和C1；
(2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为 ．
知识点1 位似图形及其性质
1.下列判断中，正确的是( )
A.相似图形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似图形
C．全等的图形一定是位似图形
D．位似图形一定是全等图形
2.（海南海口二模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2∶3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是( )
A．4 B．6 C．9 D．16
3.在如图所示的网格中，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，位似中心是点O，则四边形ABCD与四边形NPMQ的位似比是( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D．∶1
4.（海南海口龙华区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AC∶DF的值为( )
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶13
5.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2∶3，点A、B的对应点分别为点A′、B′.若AB＝6，则A′B′的长为 ．
知识点2 位似图形的画法
6.如图，△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的有 ．（填序号）
7.(1)如图，作出△ABC关于点O的位似三角形，使位似中心在两个图形的同侧，且位似比为1∶2.（画出图形，不写作法）
(2)利用位似图形的方法把四边形ABCD缩小为原来的.
8.视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是( )
A.①和④ B．②和③
C.①和② D．②和④
9.（海南海口龙华区校级期末）如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB′＝4，DD′＝2，则AB和AD的长是( )
A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6
10.如图，A是反比例函数y＝(x>0)图象上的一点，点B，D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1∶3，△ABD的面积为1，则k的值为 ．
11.如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为格点．请你仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)△ABC的顶点均为格点，D为AB中点，以点D为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，得到△A1B1C1；
(2)求线段BB1的长．
12.（应用意识）如图，电影放映机的原理利用了位似图形的知识，光源O可看作位似中心，幻灯片与屏幕的距离PP′是6 m，光源到幻灯片的距离OP是0.5 m，幻灯片上的四边形的面积是20 cm2，周长是30 cm，那么屏幕上的四边形的面积是多少？周长是多少？
