23.6.2 图形的变换与坐标
1.在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的对应点就是把原来的点向右（或向左）平移a个单位长度；如果把这个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的对应点就是把原来的点向上（或向下）平移a个单位长度．
2.若A(x，y)，那么它关于x轴的对称点的坐标是(x，－y)，关于y轴的对称点的坐标是(－x，y)，关于原点的对称点的坐标是(－x，－y).
3.关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky).
考点1 平面直角坐标系中点的平移
【典例1】将点A(3，－1)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′，则点A′在( )
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
坐标与图形变化－平移，正确记忆平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式训练】
1.若将点A(－3，2)先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标为( )
A．(－1，6) B．(－4，－2)
C．(－2，6) D．(－2，－2)
考点2 图形在平面直角坐标系中的平移
【典例2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A(－1，4)，顶点B的坐标为(－4，3)，顶点C的坐标为(－3，1).
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
(2)请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
(3)求三角形ABC的面积．
坐标平面内的图形平移的步骤：
第1步：明确平移的方向和距离；
第2步：找出图形中的关键点；
第3步：利用平移规律确定平移后的各关键点的对应点的坐标，顺次连结各点得到平移后的图形．
【变式训练】
2.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(－3，2)的对应点为A′(2，－1)，点B的对应点B′的坐标为(6，1)，则点B的坐标为( )
A．(－1，3) B．(－1，4)
C．(1，4) D．(2，5)
考点3 利用图形的对称确定字母的值
【典例3】已知点A(2m－n，m－3)，B(2n－1，－m＋n).
(1)若点A、B关于x轴对称，求m、n的值；
(2)若点A、B关于y轴对称，求m、n的值．
本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标特征，正确记忆横纵坐标符号关系是解题关键．
【变式训练】
3.已知点A(a，2 024)与点B(2 025，b)关于x轴对称，则a＋b的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
考点4 平面图形中的位似图形的画法
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)、B(－3，1)、C(－1，3)，请按下列要求画图：
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)以点A为位似中心将△ABC放大2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换（相似比为k）分两种情况：一种是位似图形与原图形在原点的同侧；另一种在原点的两侧．当k>1时，图形扩大为原来的k倍；当0【变式训练】
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的坐标分别为A(－6，6)、B(－8，2)、C(－4，0)、D(－2，4).
(1)画出一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是以原点O为位似中心，相似比为1∶2的位似图形．
(2)直接写出A′、B′、C′、D′点的坐标．
知识点1 图形的平移与坐标
1.（海南中考）在平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A′(2，1)，则点A的坐标是( )
A．(5，1) B．(2，4)
C．(－1，1) D．(2，－2)
2.（海南海口秀英区期末）如图，点A(－1，0)、点B(0，2)，线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′(2，a)、点B′(b，1)，则a－b的值是( )
A．4 B．－2 C．2 D．－4
3.（河南安阳滑县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向上平移，再向左平移得到四边形A1B1C1D1，已知A1(－3，5)、B1(－4，3)、A(3，3)，则点B的坐标为( )
A．(1，2) B．(2，1) C．(1，4) D．(4，1)
知识点2 图形的对称与坐标
4.（海南琼中县期中）已知点A(2，m)和点B(n，－1)关于原点对称，则m＋n＝( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
5.如图，是蜡烛的平面镜成像的原理图．若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是(－4，2)，那么此时对应的虚像顶尖S′点的坐标是 ．
知识点3 图形的位似与坐标
6.（河南南阳卧龙区期末）如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′与△ABC位似，位似中心为原点O.已知点A(－1，－1)、C(－4，－1)，A′C′＝6，则点C′的坐标为( )
A．(2，2) B．(4，2) C．(6，3) D．(8，2)
7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－5，0).
(1)直接写出点A，C的坐标；
(2)△A1B1C1可以看作是由△ABC经过怎样的变换得到的？写出变换过程；
(3)作△A1B1C1关于x轴对称的图形；
(4)求△ABC在x轴上方阴影部分的面积．
易错易混点 平面直角坐标系中位似变换求点的坐标漏解
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为A(4，3)、B(3，0)，以O为位似中心，作与△OAB的位似比是的位似图形△OCD，则点C的坐标是 ．
9.（山东潍坊中考）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是( )
A．(－2，1) B．(－1，1)
C．(1，－2) D．(－1，－2)
10.（海南海口校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P(－1，2)关于直线x＝1的对称点的坐标为( )
A．(1，2) B．(2，2) C．(3，2) D．(4，2)
11.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD＝2，则点B的坐标为 ．
12.（抽象能力）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 024次旋转结束时，点A的坐标为( )
A．（，－1） B．（－1，－）
C．（－，－1） D．（1，）23.6.2 图形的变换与坐标
1.在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的对应点就是把原来的点向右（或向左）平移a个单位长度；如果把这个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的对应点就是把原来的点向上（或向下）平移a个单位长度．
2.若A(x，y)，那么它关于x轴的对称点的坐标是(x，－y)，关于y轴的对称点的坐标是(－x，y)，关于原点的对称点的坐标是(－x，－y).
3.关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky).
考点1 平面直角坐标系中点的平移
【典例1】将点A(3，－1)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′，则点A′在( A )
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵将点A(3，－1)向左平移2个单位长度后再向上平移4个单位长度得到点A′，∴点A′的横坐标为3－2＝1，纵坐标为－1＋4＝3，∴A′的坐标为(1，3)，∴点A′在第一象限．
坐标与图形变化－平移，正确记忆平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式训练】
1.若将点A(－3，2)先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标为( D )
A．(－1，6) B．(－4，－2)
C．(－2，6) D．(－2，－2)
考点2 图形在平面直角坐标系中的平移
【典例2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A(－1，4)，顶点B的坐标为(－4，3)，顶点C的坐标为(－3，1).
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
(2)请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
(3)求三角形ABC的面积．
解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)A′(4，0)、B′(1，－1)、C′(2，－3)；
(3)△ABC的面积＝3×3－×2×1－×3×1－×3×2＝3.5.
坐标平面内的图形平移的步骤：
第1步：明确平移的方向和距离；
第2步：找出图形中的关键点；
第3步：利用平移规律确定平移后的各关键点的对应点的坐标，顺次连结各点得到平移后的图形．
【变式训练】
2.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(－3，2)的对应点为A′(2，－1)，点B的对应点B′的坐标为(6，1)，则点B的坐标为( C )
A．(－1，3) B．(－1，4)
C．(1，4) D．(2，5)
考点3 利用图形的对称确定字母的值
【典例3】已知点A(2m－n，m－3)，B(2n－1，－m＋n).
(1)若点A、B关于x轴对称，求m、n的值；
(2)若点A、B关于y轴对称，求m、n的值．
解：(1)∵A(2m－n，m－3)，B(2n－1，－m＋n)关于x轴对称，
∴解得
(2)∵A(2m－n，m－3)，B(2n－1，－m＋n)关于y轴对称，
∴解得
本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标特征，正确记忆横纵坐标符号关系是解题关键．
【变式训练】
3.已知点A(a，2 024)与点B(2 025，b)关于x轴对称，则a＋b的值为( A )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
考点4 平面图形中的位似图形的画法
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)、B(－3，1)、C(－1，3)，请按下列要求画图：
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)以点A为位似中心将△ABC放大2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△AB2C2为所作，B2(－6，7)或(－2，－1).
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换（相似比为k）分两种情况：一种是位似图形与原图形在原点的同侧；另一种在原点的两侧．当k>1时，图形扩大为原来的k倍；当0【变式训练】
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的坐标分别为A(－6，6)、B(－8，2)、C(－4，0)、D(－2，4).
(1)画出一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是以原点O为位似中心，相似比为1∶2的位似图形．
(2)直接写出A′、B′、C′、D′点的坐标．
(1)如图，四边形A′B′C′D′为所作；
(2)A′(－3，3)、B′(－4，1)、C′(－2，0)、D′(－1，2).
知识点1 图形的平移与坐标
1.（海南中考）在平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A′(2，1)，则点A的坐标是( C )
A．(5，1) B．(2，4)
C．(－1，1) D．(2，－2)
2.（海南海口秀英区期末）如图，点A(－1，0)、点B(0，2)，线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′(2，a)、点B′(b，1)，则a－b的值是( D )
A．4 B．－2 C．2 D．－4
3.（河南安阳滑县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向上平移，再向左平移得到四边形A1B1C1D1，已知A1(－3，5)、B1(－4，3)、A(3，3)，则点B的坐标为( B )
A．(1，2) B．(2，1) C．(1，4) D．(4，1)
知识点2 图形的对称与坐标
4.（海南琼中县期中）已知点A(2，m)和点B(n，－1)关于原点对称，则m＋n＝( B )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
5.如图，是蜡烛的平面镜成像的原理图．若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是(－4，2)，那么此时对应的虚像顶尖S′点的坐标是 (4，2) ．
知识点3 图形的位似与坐标
6.（河南南阳卧龙区期末）如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′与△ABC位似，位似中心为原点O.已知点A(－1，－1)、C(－4，－1)，A′C′＝6，则点C′的坐标为( D )
A．(2，2) B．(4，2) C．(6，3) D．(8，2)
7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－5，0).
(1)直接写出点A，C的坐标；
(2)△A1B1C1可以看作是由△ABC经过怎样的变换得到的？写出变换过程；
(3)作△A1B1C1关于x轴对称的图形；
(4)求△ABC在x轴上方阴影部分的面积．
(1)A(－4，2)，C(－3，－2).
(2)△A1B1C1可以看作是由△ABC向右平移4个单位再向上平移2个单位变换得到的．
(3)如图所示，△A2B2C2即为所求．
(4)A，C的中点坐标为（，），即(－3.5，0)，故△ABC在x轴上方阴影部分的面积为(－3.5＋5)×2÷2＝1.5.
易错易混点 平面直角坐标系中位似变换求点的坐标漏解
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为A(4，3)、B(3，0)，以O为位似中心，作与△OAB的位似比是的位似图形△OCD，则点C的坐标是 或 ．
9.（山东潍坊中考）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是( B )
A．(－2，1) B．(－1，1)
C．(1，－2) D．(－1，－2)
10.（海南海口校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P(－1，2)关于直线x＝1的对称点的坐标为( C )
A．(1，2) B．(2，2) C．(3，2) D．(4，2)
11.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD＝2，则点B的坐标为 （，0） ．
如图：
连结CB，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∴点A为OC的中点，AB∥CD，∴点B为OD的中点，∵CO＝CD＝2，∠OCD＝90°，∴CB⊥OD，OD＝＝2，∴B（，0）.
12.（抽象能力）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 024次旋转结束时，点A的坐标为( D )
A．（，－1） B．（－1，－）
C．（－，－1） D．（1，）
∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，∵AB∥x轴，∴∠APO＝90°，∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP＝，∴A（1，），∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，
由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，
∵2 024÷4＝506，∴点A2 024与点A4重合，
∴第2 024次旋转结束时，点A的坐标为（1，）.
