24.1 测量
1.测量物高或物宽时，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形对应边 成比例 来解决．
2.在实际问题中，若相关的线段构成直角三角形，可以借助 勾股定理 来解决．
【典例1】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于( B )
A.1.2米 B．1.3米
C．1.5米 D．2米
解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∠AED＝90°，
∴AE＝AB－BE＝2.1－1.6＝0.5（米）.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD＝＝＝1.3（米）.
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
【变式训练】
1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．则AC的长为( A )
A．4.2尺 B．4.3尺
C．4.4尺 D．4.5尺
考点2 利用相似三角形的性质测量
【典例2】如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度CD＝3 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，当A、C、E三点共线时，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
解：过E作EH⊥AB于H，交CD于G，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，∴EG⊥CD，
∴四边形EFDG和四边形BHGD是矩形，
∴EF＝GD＝HB，EG＝FD，EH＝FB，
∴△CGE∽△AHE，∴＝，
即＝，
∴＝，∴AH＝11.9，
∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m).
答：旗杆AB的高度为13.5 m.
(1)在利用相似三角形的性质计算物体的高度时，要找准对应边，根据对应边成比例计算出物体的高度．
(2)在具体的测量中，要注意测量方法的选择，测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减少误差．
【变式训练】
2.在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，求塔的高度．
过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H.
由题意，得FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD－CG＝7－1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH＋AH＝16.8＋1.4＝18.2（米）.
答：塔的高度为18.2米．
知识点1 利用勾股定理测量
1.如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米，踏之何忍”．( B )
A.3 B．4 C．5 D．6
2.数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为 12 米．
知识点2 利用相似三角形的性质测量
3.如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为(B)米．
A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5
4.如图，相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，一根电杆钢索系在离地面4 m处，另一根电杆钢索系在离地面6 m处，则中间两根钢索相交处点P离地面( A )
A．2.4 m B．2.8 m
C．3 m D．高度不能确定
5.操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子(BC)落在水平地面上，另一部分影子(CD)落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2 m，地面的影长为2.6 m，同时测得一根高为2 m的竹竿OM的影长是ON＝1.6 m，根据以上信息，得旗杆的高度是 4.45 m.
由题意可知，留在墙壁上的树影高为1.2 m，设这段影子在地面上的长为a，可得＝，∴a＝0.96 m．∴这棵树全落在地面上时的影子的长为2.6＋0.96＝3.56(m).设树高为x m，再根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同可列比例式为＝，∴x＝4.45.∴树高是4.45 m．
6.如图1，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5 m有一棵树，小奥站在离南岸20 m的点M处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条船的船头和船尾（假设船头，船尾和小奥的眼睛位于同一水平平面内），根据题意画出的示意图如图2所示，若已知船长CD＝18.5 m，该船行驶在河的中心，且船与河岸平行，请你求出河的宽度．
如图，过点M作MF⊥AB，并延长MF交CD于点E，
由题意，得AB＝5 m，MF＝20 m，ME⊥CD，
∵AB∥CD，
∴∠MAB＝∠C，∠MBA＝∠D，
∴△MAB∽△MCD，∴＝，
∴＝，∴EF＝54 m，
∴河的宽度＝2EF＝108 m，∴河的宽度为108 m．
7.（应用意识）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B、E、F、D在同一水平线上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪AB高2 m，观测仪CD高1 m，BE＝1.6 m，FD＝0.8 m，深坑宽度EF＝8.8 m，请根据以上数据计算深坑深度为多少米？
过点P作PH垂直EF，垂足为H，如图．
∵AB⊥EF，PH⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥HP，CD∥HP，∴△ABE∽△PHE，△CDF∽△PHF，∴＝，＝，∴HP＝，HP＝，∴＝，∵AB＝2 m，BE＝1.6 m，CD＝1 m，DF＝0.8 m，EF＝8.8 m，设EH＝x m，则FH＝(8.8－x)m，∴＝，∴x＝4.4，∴HP＝＝＝5.5 m，∴深坑深度为5.5米．24.1 测量
1.测量物高或物宽时，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形对应边 来解决．
2.在实际问题中，若相关的线段构成直角三角形，可以借助 来解决．
【典例1】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于( )
A.1.2米 B．1.3米
C．1.5米 D．2米
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
【变式训练】
1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．则AC的长为( )
A．4.2尺 B．4.3尺
C．4.4尺 D．4.5尺
考点2 利用相似三角形的性质测量
【典例2】如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度CD＝3 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，当A、C、E三点共线时，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
(1)在利用相似三角形的性质计算物体的高度时，要找准对应边，根据对应边成比例计算出物体的高度．
(2)在具体的测量中，要注意测量方法的选择，测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减少误差．
【变式训练】
2.在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，求塔的高度．
知识点1 利用勾股定理测量
1.如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米，踏之何忍”．( )
A.3 B．4 C．5 D．6
2.数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为 米．
知识点2 利用相似三角形的性质测量
3.如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为( )米．
A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5
4.如图，相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，一根电杆钢索系在离地面4 m处，另一根电杆钢索系在离地面6 m处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )
A．2.4 m B．2.8 m
C．3 m D．高度不能确定
5.操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子(BC)落在水平地面上，另一部分影子(CD)落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2 m，地面的影长为2.6 m，同时测得一根高为2 m的竹竿OM的影长是ON＝1.6 m，根据以上信息，得旗杆的高度是 m.
6.如图1，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5 m有一棵树，小奥站在离南岸20 m的点M处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条船的船头和船尾（假设船头，船尾和小奥的眼睛位于同一水平平面内），根据题意画出的示意图如图2所示，若已知船长CD＝18.5 m，该船行驶在河的中心，且船与河岸平行，请你求出河的宽度．
7.（应用意识）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B、E、F、D在同一水平线上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪AB高2 m，观测仪CD高1 m，BE＝1.6 m，FD＝0.8 m，深坑宽度EF＝8.8 m，请根据以上数据计算深坑深度为多少米？
